Базовая теория кулоновской блокады

Теория одноэлектронного туннелирования впервые была предложена К.К.Лихаревым в 1986 г. Суть её заключается в следующем. Допустим, что есть система из двух металлических контактов, между которыми происходит туннельный переход, и ёмкость такой системы есть С. Тогда энергия данной системы (т.е. по сути обычного конденсатора) составляет

, (11.1)

где Q – заряд на обкладках конденсатора.

Поскольку заряд электрона является дискретной величиной, то минимальная величина изменения энергии DЕ составит

, (11.2)

где e – элементарный заряд электрона.

Для наблюдения эффектов туннелирования необходимо, чтобы минимальное изменение энергии было больше температурных флуктуаций:

, (11.3)

 

где k – константа Больцмана, Т – температура.

Кроме того, необходимо чтобы данное изменение превышало квантовые флуктуации

, (11.4)

где ; – проводимость туннельного перехода. Исходя из (11.4), можно записать, что где кОм – квантовое сопротивление.

Одним из важнейших положений теории одноэлектронного туннелирования является то, что начальный заряд Q ₀ на туннельном переходе может быть отличен от нуля и, более того, может принимать значения, не кратные целому числу электронов. Данный факт объясняется тем, что начальный заряд может создаваться поляризацией близлежащих электродов, заряженных примесей и т.п. и, таким образом, иметь любые значения.

Тогда заряд в будет иметь вид Q=Q₀ –e. Очевидно, что если заряд Q лежит в пределах от –е/2 до +е/2, то добавление или вычитание целого числа электронов будет увеличивать энергию , т.е. такое состояние является энергетически невыгодным (см. рис. 11.1)

Рис. 11.1. Условие туннельного перехода

 

 

Если заряд хотя бы немного меньше значения е /2, то добавление или вычитание одного электрона (пунктирные стрелки) приводит к увеличению значения общей энергии системы. Если же заряд превышает значение е /2, то выгодным становится туннелирование электрона через диэлектрик. Так как напряжение на конденсаторе U=Q/C, то при – е /2 С ≤ U ≤ + е /2 С ток через туннельный переход протекать не должен. Иначе говоря, для того чтобы обеспечить туннелирование через переход, необходимо преодолеть силу кулоновского отталкивания электронов. Данный эффект отсутствия тока при приложении напряжения в указанных пределах и был назван эффектом кулоновской блокады.

Кулоновская блокада – явление отсутствия тока при приложении напряжения к туннельному переходу из-за невозможности туннелирования электронов вследствие электростатического отталкивания. Напряжение, которое необходимо приложить к переходу для преодоления кулоновской блокады, есть – (напряжение отсечки).

Рассмотрим процесс протекания тока через одиночный туннельный переход. Так как ток является величиной непрерывной, то заряд на одной стороне перехода будет накапливаться постепенно. При достижении величины е /2 происходит туннелирование одного электрона через переход, а затем процесс вновь повторяется.

Вообще данный эффект аналогичен падению капель из неплотно закрытого крана: при достижении некоторой критической массы капля отрывается от крана и начинается образование следующей (такая аналогия была предложена Лихаревым). Заряд одного электрона е накапливается при токе I за некоторое время t: е = I×t, затем электрон туннелирует через переход. Нетрудно понять, что процесс будет повторяться периодически с частотой:

(11.5)

где I – ток через переход.

Такие осцилляции были названы SET-осцилляциями (Single Electron Tunneling) или одноэлектронными туннельными. Заметим, что выполнение кулоновской блокады возможно лишь при (температурное условие) и . Данные условия, особенно температурное, накладывают довольно жёсткие ограничения на конструкции одноэлектронных приборов.

Из температурного условия и следует условие для емкости, необходимое для наблюдения кулоновской блокады при данной температуре Т:

(11.6)

 

Если подставить численные значения е и k, то получим:

Таблица 11.1

T~ 4,2 K	C <<2×10−16Ф
Т = 77 К	С << 10−17Ф
Т=300 К	С <<3×10−18Ф

 

В реальных приборах не удается получить значение емкости менее 10⁻¹⁵ Ф, что как минимум на два порядка больше требуемой для наблюдения одноэлектронного туннелирования даже при температурах жидкого гелия. Таким образом, реализация одноэлектронного туннелирования в системе с одним переходом при сегодняшнем развитии технологии является пока проблематичным.

Для разрешения данной проблемы была предложена конструкция из двух туннельных переходов, включенных последовательно. Общую электростатическую энергию такой системы можно представить в виде

, (11.7)

 

где 1, 2 – индексы переходов. Физически такая конструкция представляет собой малую проводящую частицу, отделенную туннельными переходами от контактов, поэтому Q ₁ =Q ₂ =Q, т.е. заряду, находящемуся на самой частице. Тогда (11.7) можно переписать в виде

С _Σ= С ₁ +С ₂ . (11.8)

 

Заметим, что все ранее написанные формулы остаются справедливыми, только в формулах для G необходимо заменить G на max (G ₁ ,G ₂).

 

 

11.3. "Кулоновская лестница"

 

Рассмотрим двухпереходную систему с несимметричными туннельными переходами. Темп туннелирования через первый переход задается выражением:

(11.9)

где - изменение энергии на 1-м переходе при падении на нем напряжения до U ₁> U _кб. Подставив в выражение (11.9), получим

(11.10)

 

Аналогичное выражение можно записать и для Г₂. Из (11.10) видно, что при различии величин R и C для переходов 1 и 2 будут различаться и температуры туннелирования. Если R ₁ = R ₂, а С ₁ = С ₂, то при увеличении напряжения будет происходить плавный рост тока, так как количество пришедших на кулоновский островок электронов будет равно количеству ушедших. При несимметричности переходов на островке будет существовать заряд из n -электронов. Если напряжение увеличится до значения, достаточного для забрасывания на островок (n +1)-го электрона, то будет происходить резкое увеличение тока, обусловленное переходом с высоким темпом туннелирования. Дальнейшее увеличение тока, обусловленное переходом с низким темпом туннелирования, будет медленным до тех пор, пока на островок не сможет попасть (n +2) электрон. Таким образом, несмотря на то, что ток через систему протекает непрерывно, в каждый момент времени на островке будет существовать определенное количество электронов, зависящее от приложенного напряжения. В результате вольт-амперная характеристика двухпереходной системы имеет характерный ступенчатый вид, называемый "кулоновской лестницей".

Ступеньки кулоновской лестницы будут тем ярче выражены, чем несимметричнее переходы (т.е. R ₂ ≠ R ₁; С ₂ ≠ С ₁), а при симметричности переходов (R ₂ = R ₁; С ₂ = С ₁) ступеньки исчезают. На рис. 11.2 показаны расчетные кулоновские лестницы, полученные Лихаревым для различных значений заряда Q ₀. Как уже отмечалось выше, Q=Q₀−ne, где n =1,2,3,4…. - целое число электронов на кулоновском островке. Так как Q ₀ имеет поляризационную природу, то, расположив рядом с кулоновским островом третий электрод – затворный, можно управлять этим зарядом путем приложения затворного напряжения. Следует заметить, что заряд Q ₀ можно изменять непрерывно и пропорционально затворному напряжению. Таким образом, при непрерывном изменении Q ₀ периодически будет выполняться условие кулоновской блокады для туннельного перехода (рис. 11.1).

Рис. 11.2. Вид расчетных ″кулоновских лестниц″

для различных значений Q ₀

 

 

Поэтому при изменении затворного напряжения будет возникать кулоновская блокада и зависимость тока через точку (или напряжения на ней при постоянном токе) будет носить осцилляционный характер (рис.11.3).

 

 

Рис. 11.3. Осцилляционный характер тока при кулоновской блокаде

11.4. Со – туннелирование

В системах с несколькими переходами кроме последовательных событий туннелирования возможно также туннелирование более высокого порядка, так называемое со-туннелирование (co-tunneling), при котором энергия системы сохраняется лишь между начальными и конечными состояниями всего массива переходов. Другими словами, массив переходов является "черным ящиком", на входе и выходе которого сохраняется энергия проходящего через него электрона, однако поведение электрона на каждом отдельном переходе не определено.

Кроме того, возможно также неупругое туннелирование, при котором происходит генерация или рекомбинация электронно-дырочных пар.