3) Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть 
– выборочный вектор n –наблюдений СВ 
. В этом случае в качестве оценки дисперсии 
используют 
.
В литературе по математической статистике доказано, что 
имеет распределение 
.
По таблице распределения 
определяются квантили 
и 
.
.
.
58. Марковская зависимость испытаний.
Определение цепи Маркова.
Непосредственным обобщением схемы независимых испытаний является схема цепей Маркова.
Пусть производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществляться одно и только одно из k несовместных событий.
верхние индексы обозначают номер испытания.
Опр. Последовательность испытаний образует простую цепь Маркова, если условная вероятность в 
испытании, где S=1,2,3,K осуществится событию 
, зависит только от того, какое событие произошло при S -ом испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях. Замечание. Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой физической системе S, которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний A1,A2,K,Ak и меняет свое состояние только в моменты t1,t2,K,tn,K. Для цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние 
, в момент времени tS зависит только от самого 
и того, в каком состоянии система находилась в момент времени 
и не изменяется оттого, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты времени.
Пример 1. В модели Бора атома водорода, электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим, через – электрон находится на i орбите и предположим, что изменение состояние атома может наступать только в моменты 
(в действительности эти моменты представляют собой СВ), то тогда вероятности перехода с i орбиты на j орбиту в момент времени tS зависит только от i и j и не зависит от того на каких орбитах находился электрон в «прошлом».
Разность (i – j) зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент времени tS.
Это пример цепи Маркова с бесконечным числом состояний.
Переходные вероятности.
Матрица перехода. Далее будем рассматривать только однородные цепи Маркова, в которых условная вероятность появления события 
при условии, что в предыдущем S -ом испытании осуществилось 
не зависит от номера испытания.
Назовем эту вероятность – вероятностью перехода и обозначим 
.
Полную вероятностную картину возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к следующему можно задать с помощью матрицы
– матрица перехода
Замечание.
1. Очевидно, что 
.
2. Из того, что при переходе из состояния 
система обязательно переходит в одно из состояний 
, следовательно, в матрице перехода 
.
Опр. Любая квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют следующим требованиям:
, называется стохастической.
Одной из главных задач в теории цепей Маркова является задача определения вероятности перехода 
.
Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером (S + m). В этом испытании осуществится какое-либо одно из возможных событий 
, тогда вероятность перехода 
, а вероятность перехода 
.
По формуле полной вероятности получим
(*)
Обозначим через
Согласно формуле (*) получаем, что 
.
В частности, когда n = 2, получаем
n = 3
Отметим частный случай формулы (*), когда m = 1
.
Пример 2 Процесс блуждания с отражением.
Пусть частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты времени 
Частица может находиться в точках с целочисленными координатами 
. В точках a, b находятся отражающие стенки, каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью p, а влево с вероятностью q, если только частица не находится у стенки. Если частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на 1 внутрь промежутка между стенками.
Получается цепь Маркова с конечным числом состояний.
