Теорема (Чебышева): Если 
– независимы и существует С > 0, такая что 
, К = 1, 2, …, n, тогда 
:
Доказательство:
Рассмотрим 
и применим к СВ 
второе неравенство Чебышева.
.
.
В силу аддитивного свойства дисперсии, получаем
,
g.
Следствие: Если 
– независимы и одинаково распределены, т.е. 
, а 
, где k = 1, …, n, тогда
.
Замечание. Предельные утверждения, сформулированные в теореме Чебышева и следствии к этой теореме носят название закона больших чисел (ЗБЧ). ЗБЧ утверждает, что с вероятностью приближающейся при n®¥ к 1, среднее арифметическое независимых слагаемых при определенных условиях становятся близким к константе.
Из утверждения последнего следствия получаем ЗБЧ в схеме Бернулли.
Теорема (Бернулли): Пусть 
– число успехов при n независимых испытаниях с вероятностью 0 < p < 1 в каждом испытании, тогда 
:
.
Доказательство: Представим 
в виде суммы независимых СВ 
, где 
, или при i -ом испытании произошел успех и 
, если при i -ом испытании произошел неуспех.
.
Применяя следствие к теореме Чебышева, получаем утверждение к теореме Бернулли.
Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы (ЦПТ).
Известно, что нормально распределенные СВ широко распространены на практике, объяснение дал Ляпунов (ЦПТ).
Если СВ Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то СВ Х имеет распределение близкое к нормальному.
Приведем формулировку ЦПТ без доказательства.
Теорема(ЦПТ): Если СВ в последовательности 
, n = 1, 2, … независимы, одинаково распределены и имеют конечные 
, 
, то 
:
где 
– стандартизованное среднее арифметическое, n -независимых СВ в последовательности.
Замечание
Следствиями ЦПТ являются локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса.
Общее: и для 50 и для 51:
Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра 
. Нужно по наблюдениям оценить параметр. Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений.
Примеры статистик. 
.
Эта оценка 
.
Будет рассматриваться, как приближенное значение параметра 
. Замечание. Как правило, для оценки параметра 
можно использовать несколько статистик, получая при этом различные значения параметра 
. Как измерить «близость» оценки 
к истинному значению ? Как определить качество оценки? Комментарий: Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайному выборочному вектору 
, поэтому для установления качества полученных оценок моментов 
, 
следует во всех этих формулах заменить конкретные выборочные значения 
на СВ Xi.
; 
; 
.
Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования).Требования, предъявляемые к точечным оценкам:
1. Несмещенность, т.е. 
.
Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.
Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е. 
.
2. Состоятельность, т.е. 
.
Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.
3. Эффективность.
а) Если оценки 
и 
– несмещенные, то 
и 
.
Если 
, то оценка 
более эффективна, чем 
.
б) Если оценки 
и 
– смещенные, тогда 
и 
.
Если 
, то оценка более эффективная, чем 
.
Где 
– средний квадрат отклонения оценки.
Рассмотрим использование этих свойств на примерах выбора оценок МО и дисперсии:
50. Выборочное среднее: 
является несмещенной и состоятельной оценкой МО генеральной совокупности (X1 ,…, Xn), причем каждое Xi совпадает с m и s 2.
а) Несмещенность. По определению выборочного вектора 
, причем Xi – независимые в совокупности СВ, тогда вычислим
M[Xсред]=M[(1/n)åXi]=(1/n)M[åXi]=
(1/n)åM[Xi]=(1/n)nm 
g.
D[Xсред]=D[(1/n)åXi]=(1/n2)D[åXi]=
(1/n2)åD[Xi]=(1/n)ns2=s2/n
б) Состоятельность Воспользуемся неравенством Чебышева: 
Применим это неравенство к 
При n ®¥ 
,что и доказывает состоятельность 
.
