Пусть a Î R или a = ±¥.
Число A = 
называется пределом функции f при стремлении x к a, если для любой окрестности U (A, e) существует проколотая окрестность точки a 
(a, d), для каждой точки x из которой выполняется условие f (x) Î U (A, e):
 |
" U (A, e) $
(a, d): (x Î (a, d) Þ f (x) Î U (A, e)).
Замечание. Для того чтобы можно было говорить о пределе функции f (x) при x ® a, необходимо чтобы функция f (x) была определена в некоторой проколотой окрестности точки a. Предел последовательности можно рассматривать только при n ® ¥, так как любая окрестность U (+¥, d) точки +¥ содержит все натуральные числа n > d, и, следовательно, последовательность определена в этой окрестности, а для любой конечной точки а можно найти достаточно малую окрестность, которая не содержит ни одного натурального числа.
Рассмотрим, как можно сформулировать определение предела функции на языке неравенств.
Заметим, что все окрестности (a, d) точки а отличаются друг от друга только величиной d, а все окрестности U (A, e) точки А— величиной e.
Пусть 
= А ¹ ± ¥, то есть а = х 0 ¹ ± ¥ и А ¹ ± ¥.
В этом случае определение предела
" U (A, e) $ (x 0, d): (x Î (x 0, d) Þ f (x) Î U (A, e))
можно переписать в виде
" e > 0 $ d > 0: (0 ¹ | x – x 0| < d Þ | f (x) – A | < e).
Если 
= А ¹ ± ¥, то есть а = + ¥ и А ¹ ± ¥, получаем
" e > 0 $ d > 0: (x > d Þ | f (x) – A | < e).
Если и 
= + ¥, то есть а = – ¥ и A = +¥, получаем
" e > 0 $ d > 0: (x < – d Þ f (x) > e).
В качестве упражнений получите определение предела функции на языке неравенств для случаев: а = х 0, А = ± ¥; а = + ¥, А = ± ¥; а = – ¥, А ¹ ± ¥, А = – ¥.
Если в определении предела вместо проколотой окрестности (a, d) использовать односторонние окрестности (x 0 + 0, d) или (x 0 – 0, d), получим определения односторонних пределов.
Число A = 
называется правосторонним пределом или пределом функции f(x) в точке x 0 справа, если для любой окрестности U (A, e) существует правосторонняя окрестность точки x 0 (x 0 + 0, d), для каждой точки x из которой выполняется условие f (x) Î U (A, e):
" U (A, e) $ (x 0 + 0, d): (x Î (x 0 + 0, d) Þ f (x) Î U (A, e)).
Число A = 
называется левосторонним пределом или пределом функции f(x) в точке x 0 слева, если для любой окрестности U (A, e) существует левосторонняя окрестность точки x 0 (x 0 – 0, d), для каждой точки x из которой выполняется условие f (x) Î U (A, e):
" U (A, e) $ (x 0 – 0, d): (x Î (x 0 – 0, d) Þ f (x) Î U (A, e)).
, 
. 
ТЕОРЕМА. Критерий существования предела.
Для того чтобы функция f (x) имела в точке x 0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали ее конечные односторонние пределы, равные между собой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть существует = А. Докажем, что существуют
и 
.
Возьмем произвольное e > 0. Так как = А, то существует проколотая окрестность (a, d) точки а, для каждой точки х из которой f (x) Î U (A, e). Поскольку (a, d) совпадает с объединением односторонних окрестностей (a – 0, d) и (a + 0, d) того же радиуса d, то для каждой точки х из окрестностей (a – 0, d) и (a + 0, d) выполняется условие f (x) Î U (A, e). В силу произвольности e имеем
= А и 
= А.
Пусть теперь существуют и . Докажем, что существует = А.
Возьмем произвольное e > 0. Так как и , то существуют односторонние окрестности (a – 0, d1) и (a + 0, d2), для каждой точки х из которых f (x) Î U (A, e). Возьмем число d = min {d1, d2}. Тогда окрестность (a, d) содержится в объединении (a – 0, d1) 
(a + 0, d2), и, следовательно, для каждой точки x из (a, d) выполняется условие f (x) Î U (A, e). В силу произвольности e имеем = А. Теорема доказана.
