Векторное поле F называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля U, т.е. F = grad U 
.
В случае если поле F 
потенциально, выполняются равенства
, 
, 
,
что равносильно тому, что выражение 
является полным дифференциалом некоторой функции 
. Эта функция называется потенциалом векторного поля F.
Теорема. Пусть область 
поверхностно односвязна и функции 
– непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
, 
, 
.
Приведенная теорема утверждает, что векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т.е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл
не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области , а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.
.
Если поле F потенциально, то его потенциал U можно найти непосредственным интегрированием по некоторому пути 
:
.
При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь выбирают в виде ломаной 
, вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:
,
где каждый из интегралов – есть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные играют роль констант.
Если потенциал векторного поля F известен, то
.
Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т.е. F 
rot A 
A. Поле А называется векторным потенциалом поля F.
Теорема. Пусть область пространственно односвязна и координаты векторного поля непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F соленоидально в том и только в том случае, когда
div F 
в каждой точке области .
Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Пример. Показать, что поле F 
i 
j 
k потенциально и найти его потенциал.
Покажем, что rot F = 0.
Rot F i j k i j k 0.
Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал поля F непосредственным интегрированием.
Зафиксируем точку 
и рассмотрим произвольную точку 
. Тогда
.
Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной , где отрезок 
параллелен оси 
, отрезок 
– оси 
, а отрезок 
– оси 
. Вдоль имеем 
и 
, а, следовательно, 
, вдоль уже 
– постоянно и , откуда 
, а вдоль обе переменные, и 
– постоянны, а, значит, 
. Тогда
.
Контрольные вопросы:
- Дайте определение потенциального векторного поля F.
- Какие равенства выполняются, когда поле F потенциально?
- Дайте определение соленоидального векторного поля F.
- Приведите необходимое и достаточное условие того, что векторное поле F соленоидально.
Задания для самостоятельного решения:
1. Найти градиент скалярного поля :
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
е) 
.
ж) 
.
2. Найти градиент скалярного поля в точке 
:
а) 
, 
.
б) 
, 
.
в) 
, 
.
3. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
а) F 
i 
j 
k.
б) F 
i 
j 
k.
в) F 
.
г) F 
.
д) F 
i j 
k.
е) F 
i 
j 
k.
ж) F 
i 
j 
k.
з) F 
i 
j 
k.
и) F 
i 
j 
k.
к) F 
i j 
k.
4. Вычислить поток векторного поля F через поверхность 
в сторону, определяемую нормалью n к поверхности , если:
а) F 
, 
– часть цилиндра 
, заключенная между плоскостями 
и 
, n – внешняя нормаль.
б) F 
, – часть плоскости 
, расположенная в первом октанте между плоскостями 
и 
, n образует острый угол с осью .
в) F 
, – полусфера 
, расположенная в полупространстве 
, n образует острый угол с осью .
г) F 
, – часть конуса 
, заключенная между плоскостями и 
, n образует тупой угол с осью .
д) F 
, – поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями 
, , 
, .
е) F 
, – часть сферы , расположенная в первом октанте, n – внешняя нормаль.
ж) F 
i 
j 
k, – часть параболоида 
, заключенная между плоскостями и , n образует тупой угол с осью .
5. Вычислить поток векторного поля F через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
а) F 
, – полная поверхность цилиндра 
, , 
.
б) F 
i 
j k, – полная поверхность призмы, ограниченной плоскостями 
, , , , .
в) F 
i 
j 
k, – полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .
6. Найти циркуляцию плоского векторного поля F 
вдоль кривой L (направление обхода – положительное):
а) F 
, L – ломанная АВА, где 
, 
, кривая 
– кусок параболы 
, а 
– отрезок прямой.
б) F 
, L – граница квадрата 
, 
.
в) F 
, L – ломанная АВС, где 
, 
, 
.
г) F 
, L – кардиоида: 
, 
в сторону увеличения параметра.
7. Найти циркуляцию векторного поля F вдоль замкнутого контура L:
а) F 
, L – окружность, параметрические уравнения которой: 
, 
, , направление обхода – в сторону увеличения параметра 
.
б) F 
, L – окружность, получающаяся пересечением сферы 
и плоскости 
, направление обхода – против часовой стрелки, если смотреть с конца оси .
в) F 
, L – контур треугольника АВС, 
, 
, 
.
г) F 
, L – ломанная АВС, где 
, 
, 
.
д) F 
, L – окружность: 
, .
е) F 
i 
j k, L – контур треугольника АВС, 
, 
, 
.
