Теорема (Остроградский). Пусть 
– замкнутая гладкая ориентируемая поверхность, являющаяся границей тела 
и n 
– единичная внешняя нормаль к . Пусть векторное поле F 
– непрерывно дифференцируемо на и в V. Тогда
 .
| (3) |
Выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части равенства (3), представляет собой дивергенцию векторного поля F, интеграл, стоящий слева, представляет собой поток векторного поля F через поверхность в направлении внешней нормали. Поэтому формула (3) может быть переписана в виде:
F 
.
Формулу Гаусса-Остроградского часто применяют для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность . Однако следует иметь в виду, что для применения этой формулы необходимо, чтобы векторное поле было непрерывно дифференцируемым внутри поверхности . Это условие всегда будет выполнено, если область 
, в которой рассматривается поверхность , пространственно односвязная.
Область 
называется пространственно односвязной, если из того, что замкнутая поверхность лежит в , следует, что тело V, границей которого является поверхность , тоже лежит в .
Пример 1. Вычислить поток векторного поля F через поверхность в сторону, определяемую вектором единичной нормали n к поверхности , если:
а) F 
, а – часть плоскости 
, расположенная в октанте 
, 
, 
, n образует острый угол с осью 
;
б) F 
, – часть плоскости 
, расположенная в октанте , 
, , а n образует острый угол с осью ;
в) F 
, 
– часть параболоида 
, удовлетворяющая условию 
, а n – внешняя нормаль к параболоиду.
Решение. а) Нормальным вектором к плоскости является вектор, координаты которого суть коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости. В нашем случае – это вектор m 
. Поскольку m·F 
, то нормаль m к плоскости, (а значит, и единичная нормаль n к этой плоскости) перпендикулярна векторному полю. Но тогда
.
б) Вычислим поток векторного поля с помощью поверхностного интеграла второго рода (формула(2))
П 
(в нашем случае 
). Для вычисления последнего интеграла изобразим на чертеже поверхность (рис. 39) и ее проекцию 
на плоскость 
(рис. 40).
Рис. 39
| 
Рис. 40
|
Нормаль n к плоскости , образующая острый угол с осью , образует тупой угол с осью 
(это видно из чертежа; однако несложно показать, что нужную сторону поверхности задает единичная нормаль n 
; здесь 
, а 
, следовательно, и образует острый угол с осью и тупой – с осью ). Поэтому при сведении поверхностного интеграла к двойному по области 
перед двойным интегралом необходимо поставить минус:
П 
в) Изобразим поверхность вместе с требуемой в условии задачи нормалью на рис. 41.
Из геометрических соображений понятно, что единичная нормаль n (т. к. она – внешняя нормаль) образует тупой угол с осью . Также ясно, что она образует острый угол с осью 
в тех точках, где и тупой – в тех, где 
. Аналогично, n образует острый (тупой) угол с осью в точках, где выполняется неравенство 
(
). Для вычисления потока векторного поля напишем интеграл второго рода:
П 
.
Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Для вычисления интеграла
разобьем поверхность на две части: 
и 
плоскостью 
( отвечает той части параболоида, где ). Необходимость разбиения заключается, в том что нормаль n на образует острый угол с осью (т.е. 
), а на – тупой. Проекцией и и на плоскость является одна и та же область 
, показанная на рис. 42. Следовательно,
.
Рис. 41
| 
Рис. 42
|
Знак минус перед вторым интегралом поставлен так как на нормаль образует тупой угол с осью (т.е. 
). Из соображений симметрии понятно, что и
.
Осталось вычислить
.
Как отмечено выше, . Поэтому имеем:
,
где 
– проекция поверхности на плоскость 
(она изображена на рис. 43). Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам:
.
Рис. 43
Таким образом, поток векторного поля равен 
.
Контрольные вопросы:
- Дайте определение потока векторного поля F через поверхность .
- Приведите формулу Гаусса-Остроградского.
