Эратосфен және Эпигондар

Александрия мектебінің тағы бір көрнекті өкілі, есімі бізге мектеп арифметикасынан жақсы таныс атақты кирендік - Эратосфен (Б.З.Д 276 ж)болды. Ол Евклид, Архимед, Аполлоний тәріздес данышпан математиктердің қатарынан орын алмағанымен, өз дәуірінде өте еңбек сүйгіш ғалым, дарын иесі ретінде, танымал ғалым. Замандастары Эратосфенге «Пентатлос» - «Бес аспап» деген лақап ат берген. Шынында да, ол ғылым мен өнердің бес бірдей саласында – математика, география, тарих, философия, поэзияда – ірі-ірі жаңалықтар ашып, даңққа бөленген. Бірсыпыра замандастары оған «бэта» (β), яғни «екінші» деген атақ тағыпты. Мұның себебі ол өзі айналысқан білім, өнер салаларының ешқайсысында бірінші болмай, барлығында екінші дәрежедегі орынды иемденген.

Басқа грек оқымыстыларымен салыстырғанда Эратосфеннің өмір жолы мағлұматтарға бай. Ол Африканың солтүстік жағалауында орналасқан Кирен қаласында біздің заманымызға дейінгі 276 немесе 275 жылдары дүниеге келген. Ол жас кезінде Александрия кітапханасының басшысы, өзінің жерлесі Коллимахтан дәріс алады. Кейін осы кітапханаға өзі басшылық етеді. Эратосфен Архимедтің жақын досы. Архимедтің «Эратосфенге сәлемдеме» атты еңбегі олардың арасындағы ғылыми байланыстың айғағы. Архимед Эратосфеннің көп қырлы білімдарлығын жоғары бағалаған. Эратосфен өлер шағында зағип болып қалып, жұмыстан қол үзіп, қайыршылық халге душар болады.

Эратосфеннің бізге екі үлкен математикалық жетісітігі белгілі. Оның бірі, кубты екі еселеу есебінің механикалық шешуін табуы, екіншісі, қазіргі математикада кеңінен мәлім «Эротосфен елегі» деп аталатын әдісті ашуы.

Натурал сандар қатарында жай сандардың орналасу заңдылығын анықтау сандар теориясының ең ежелгі де басты мәселелерінің бірі болған. Бірге және өзіне ғана бөлінетін натурал сандар жай сандар деп аталады. Жай сандардың шексіз көп екенін ең біріші Евклид тағайындаған.

Эратосфен белгілі бір натурал сандар N саны берілсе, одан аспайтын жай сандарды табу үшін қарапайым және әмбебеп әдіс ұсынады. Бұл әдіс бойынша бірден N-ге дейінгі натурал сандар жазылады да содан кейін ең әуелі 2-ге, сонан соң 3-ке 5-ке т.с. жай сандарға еселі барлық сандар өшіріліп отырылады. Бұл процесс N-нен кіші барлық сандар қамтылғанша жүргізіле береді. Нәтижесінде құрама сандар өшіріліп, тек жай сандар ғана сұрыпталып қалады. Ол кезде сандар қалыпқа керілген папирустарға жазылатын, өшірудің орнына санды бізбен теседі екен. Сонда папирус беті шұрқ тесіліп, құрама сандар түсіп, ал жай сандар екшеліп қалатын сияқты болады. Осы себепті бұл әдіс математика тарихында «Эротосфен елегі» деп аталып кеткен. Қазір сандар теориясында бұл әдіс арқылы 1-ден 12 000 000-ға дейінгі жай сандардың кестесі жасалынған.

Эротосфеннің астрономия мен математика, география саласындағы жетістіктерінің шоқтығы – оның тұңғыш рет Жердің мөлшерін өз мүмкіндігінше дәл өлшеуі болып саналады. Эротосфеннің бұл саладағы табыстары «Жер өлшеу» атты еңбегінде баяндалады. Оның анықтауы бойынша Жердің үлкен шеңберінің ұзындығы 250 000 египет стадиясына тең, қазіргі өлшем бойынша бұл ұзындық 39 және 46 мың километр аралығында жатыр.

Эротосфен храналогия бойынша да зерттеулер жүргізіп, мысырлықтардың күн парағын жетілдіреді. Атап айтқанда, бір жылдағы 365 күнге 4 жыл сайын бір күн қосуды, яғни 366 күннен тұратын кібісе жылды тұңғыш ұсынады. Бұл күн парағы Б.З.Д 238 жылдың 7 наурызынан бастап қабылданған.

Евклид, Архимед, Аполлонийдің математикалық еңбектері эллиндік математиканың биік шоқтығы болды. Бұлардан кейінгі екі ғасырда өздерінің шама шарқынша еңбек етіп, математика тарихына азды көпті үлес қосқан талантты оқымыстылар да аз болмаған. Алайда олар айтылған үш ұлы математиктердің тапқан жаңалықтарымен шешкен проблемаларының ауқымынан шыға алмайды. Бұл математиктердің зерттеулері эпигондық сипатта болды, яғни бұрынғы толықтыру, түзету бағытында жүргізілді. Сондықтан да бұл математиктерді «эпигондар» деп те атайды.Осылардың ішінде ең көрнектілерінің математикалық шығармашылық жайында қысқаша тоқтала кетейік.

Д и о к л – б.з.д.ІІ ғасырда өмір сүрген. Ол Архимедтен қалған «шарды жазықтықпен қиғанда көлемдері берілген қатынаста болатындай бөлікке бөлу туралы» есебінің шешу жолын табады. Бұл есепті шешу куб теңдеуді шешуге тіреледі. Диокл бұл куб теңдеуді тең бүйірлі гипербола мен эллипстің қиылысуы арқылы шешкен. Диоклдің шешуі Архимед шешуінен тиімді емес.

Кубты екі еселеу есебін шешуге қажетті берілген екі кесіндіге пропорционал орта болатын кесінділер табумен шұғылданып, ол математикаға «циссонда» деп аталатын үшінші ретті қисықты енгізеді. Шеңбердің циссондасы ОМ=PQ теңдігін қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық жиынын айтады. Тік бұрышты координаталар жүйесінде бұл сызық қазір у²=x³/2a-x теңдеуі арқылы өрнектеледі. Осы тұста өмір сүрген екінші бір математик – Зенодор он төрт изопериметрлік теореманы дәлелдейді. Бұл теоремалар периметрлері немесе беттері бірдей фигуралар ішінен ең үлкен ауданды не көлемдісін табуға арналған. Мәселен, егер дөңгелекпен дұрыс көпбұрыштың периметрлері бірдей болса, онда дөңгелек ауданы бірдей болады, беттері бірдей денелер ішінде ең үлкен көлемдісі шар деген Зинодордың дәлелдерінің дұрыс екендігі тек он екінші ғасырда анықталды.

Александриялық математик Гипсикл (б.з.д.ІІ ғ.) көпбұрышты сандар деп аталатын мәселемен көп шұғылданады. Ол Евклидтің «Бастамаларына» он төртінші кітапты қосады. Бұл кітаптар дұрыс көпжақтар – додэкаэдр мен икосаэдрдың қасиеттеріне арналған. Гипсиклден қалған мынадай есеп бар:«Мүшелерінің саны жұп болып келген арифметикалық прогрессияның екінші жартысындағы мүшелердің қосындысы бірінші жартысындағы мүшелер қосындысынан прогрессия мүшелері санының жартысының квадратына еселі санға артық болатынын дәлелдеу керек».

Т е о д о с и й – б.з.д.150 жылдар шамасында Кіші Азияның Битиний қаласында туған. Ол сол кезде «Сферика» деп аталатын еңбегімен әйгілі болған. Сфералық геометрия астрономияға қолданылатын математикалық аппарат ретінде, грек математикасында Евклид заманынан бұрын-ақ белгілі болған. Ол пифагоршылар мектебіне геометрия, арифметика және музыка пәндерімен қатар оқытылған. Бірақ оны бір жүйеге келтіретін жетекші құрал болмаған. Теодосийдің «Сферикасы» осы олқылықтың орнын толтыру мақсатында жазылса керек.

Теодоский мұнда шарды дөңгелектің табанынан айналуынан шыққан дене дейтін Евклид анықтамасынан өзгеше Евклидтегі шеңбер анықтамасына ұқсас «шар бетін берілген нүктеден бірдей қашықтықтағы нүктелер жиыны» ретінде анықтайды. Осыған сәйкес ол сфера қасиеттерін «Бастамаларының» үшінші кітабындағы дөңгелек қасиеттерін жалпылау жолымен баяндайды. Бұл әрекетті «методикалық жаңалық» деп қарауға болады.

Эллиндік математиканың жалпы сипатына тоқталсақ,имұнда тек теориялық математикаға ерекше назар аударылып, практикалық қолданбалы математика елеусіз қалып отырған. Бұл бір жағынан құлдық қоғамға тән ой еңбегімен айналысушы үстем билеуші таптың құлдар несібесіне тиген «қара» жұмысқа деген теріс көзқарасының салдары болса, екінші жағынан теориялық математика қолданыс табатындай жаратылыстану ғылымдарының даму дәрежесінің әлсіздігі еді. Мысалы Архимед, Аполлонийдің теориялық жаңалықтарын шын мәнінде қажет ететіндей жаратылыстану ғылым салалары ол кезде жоқтың қасы болатын. Құлдық қоғамның мешеу өндіріс қатынастарын қанағаттандыру үшін «үлкен» матеметиканң қажеті шамалы болды. Ал күнделікті құрылыс, сәулет өнері, жер өлшеу, сауда-саттық тағы басқа әрекеттердің мұқтаждығын математиканың логистика, геодезия сияқты тарауларын орындап отырды., Сонымен қатар грек математикасындағы қазіргідей қолайлы символиканың болмауы, геометриялық алгебраның өте ауыр тілмен баяндалуы теориялық математиканы әрі қарай дамытуды, орнын тауып қолдануды тым қиындатты.