Евклидтің «Бастамалары»

Евклидтің «Бастамалары» екі мың жылдан аса уақыт дүние жүзі математиктерінің қолынан түспес шығарма болды. Осы еңбекте жасалған геометрия жүйесі барлық мектептерде әлі күнге дейін сол қалпында, тек сәл – пәл өзгертіліп оқытылып келеді және адам баласының бүкіл дерлік практикалық іс-әрекеттерінің негізі болып отыр.

«Бастамалар» мазмұны тек элементар геометрияны баяндаумен шектелмейді. Бұл еңбекте Евклидке дейінгі Фалес, Пифагор, Демокрит, Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс, Аристотель сияқты ежелгі грек математиктері ойлап тапқан басты – басты математикалық жетістіктер жинақталған. Оның өзі ашқан жай сандар туралы Евклид алгоритмі, Евклид теоремасы т.б. жаңалықтары да аз емес.

Евклидтің «Бастамалары» 15 кітаптан тұрады. Оның 13 кітабын Евклидтің өзі жазған, қалған екеуі кейінгі грек математиктерінен қосылған. Евклидтің «Бастамаларында» қамтылған мәселелер мыналар: түзу сызықты фигуралар (үшбұрыш, төртбұрыш, көпбұрыш т.б.) планиметриясы; дөңгелектер және олардың хордалары мен жанамалары туралы ілім, дұрыс көпбұрыштарды салу; квадрат ирроционалдықтарды талдау; қатынастар теориясы және сарқу әдісі; бүтін сандар және олардың қатынастары туралы ілім, стереометрия және дұрыс көпжақтарды салу әдістері.

Бұл еңбек математикалық энциклопедия емес. Мұнда сол кездегі математиканың біразы енбей қалған. Мысалы, конустық қималар, циркуль мен сызғыш арқылы салуға келмейтін есептер т.б. Евклид мұнда таза теориялық математиканы және басқа ғылым тарауларына негіз боларлықтай материалдарды сұрыптап алса керек. Еңбектің «Бастамалары» деп аталуының өзі осыған саяды.

Евклидке дейін де математикалық білімдерді, ой елегінен өткізген, оны бір жүйеге келтіруге ұмтылған математиктер болған. Солардың бірі – Гиппократ. Евклид «Бастамаларын» жазғанда осылардың іс- нәтижелері мен дәстүрлеріне сүйенуі мүмкін.

Евклид «Бастамаларының» 1-ші кітабын анықтамалар мен аксиомалардан бастайды. Мысалы, бірінші кітаптың басында 23 анықтама, сонан кейін бес постулат және бес аксиома келтіріледі. Сонан соң математикалық сөйлемдер-теоремалар мен салу есептері беріледі. Анықтамалары: «Нүкте дегеніміз бөлігі жоқ нәрсе», «сызық дегеніміз енсіз ұзындық» сияқты қысқа да нұсқа келеді. Постулатты геометриялық аксиомалар деп түсінуге болады. Евклидтің бес постулатын келтірейік:

1. Кез келген нүктеден кез келген нүктеге дейін түзу сызық жүргізуге болады;

2. Шектелген түзуді үздіксіз соза беруге болады;

3. кез келген центрден кез келген радиуспен шеңбер сызуға болады;

4. Барлық тікбұрыштар өзара тең болады;

5. Егер екі түзумен қиылысатын үшінші түзу олармен тікбұрыштан кем болатын іштей тұстас бұрыштар жасайтын болса, онда ол екі түзуді шексіз соза берсек, бұрыштар екі тік бұрыштан кем болатын жақта қиылысады.

Соңғы постулаттың, яғни бесінші постулаттың төңірегінде үлкен дау-даламайлар туады. 2000 жыл бойы математиктер оны басқа постулаттар мен аксиомаларға сүйеніп дәлелдемекші болып көп әрекеттенеді. Осы әрекеттер барысында XΙX ғасырда орыстың ұлы математигі Н. И. Лобачевский Евклидтік геометриядан басқа Евклидтік емес геометрияның да бар екенін ашты.

Евклидтің «Бастамаларының» бұдан басқа да күмәнді, әлсіз жерлері толассыз талқыға түсіп келді. Соған қарамастан «Бастамалар» күні бүгінге дейін математика және басқа ғылымдарды аксиомалық, дедуктивтік тәсілмен баяндаудың тамаша үлгісі болып отыр.

Қорыта айтқанда, Евклидтің «Бастамаларының» теориялық математиканы дамытуда баға жетпес маңызы болды. Бұл еңбектен ірілі-ұсақты математиктің тәлім-тәрбие алмағаны жоқ деп айтсақ артық болмайды. «Бастамалар» орыс тіліне тұңғыш рет 1739ж. аударылып, басылып шықты. Ал өңделіп, толықтырылған басылымы 1948-1950 жылдары жарық көрді. Бұл еңбек математикаға құштар талапкерлер үшін баға жетпес қазына деп айтуымызға толық болады.

Евклидтің баяндау стилімен таныстыру мақсатында «Бастамалардың» бірінші кітабындағы Пифагор теоремасы мен оның дәлелдемесін келтірейік. Ол мұнда қырық жетінші сөйлем.

“Тік бұрышты үшбұрыштарда тікбұрышты керетін қабырғадағы квадрат тікбұрышты құрап тұрған қабырғалардағы квадраттарға тең болады”.

АВС – тікбұрышы ВАС болатын тік бұрышты үшбұрыш болсын; мен ВС-дағы квадрат ВА және АС-дағы квадраттарға тең болады деп айтамын (3-сурет).

Шынында, ВС-ға ВDЕС квадратын, ал ВА, АС-ға НВ, ЕС квадраттарын тұрғызайық (46-сөйлем бойынша); және А арқылы ВД-ға параллель АL және СЕ түзуін жүргіземіз. (31-сөйлем); АD, FC жүргіземіз. ВАС, ВАН бұрыштарының әрқайсысы тік болғандықтан (10-сөйлем), онда ВА түзуінің А нүктесіндегі бір жақта жатпайтын АС, АН түзулері екі тікбұрышқа тең тұстас бұрыштар құрайды: ендеше, СА мен АН бір түзуде болады (14-сөйлем). Осының салдарынан ВА мен AG бір түзуде болады. DВС тікбұрышы ЕВА тікбұрышына тең болғандықтан (1 аксиома), оларға АВС бұрышты қоссақ, онда барлық бұрыш DВА барлық бұрыш FВС-ке тең болады (2 аксиома). DВ мен ВС, FВ мен ВА тең болғандықтан (22 анықтама), DВ, ВА екі қабырғасы FС, FВ екі қабырғасына, әрқайсысы жеке – жеке тең болады; DВА бұрышы FВС бұрышына тең; ендеше АD табаны (4-сөйлем) FС табанына тең, үшбұрыш АВD үшбұрыш FВС-ға тең болады (4-сөйлем). Сондықтан екі еселенген үшбұрыш АВD параллеограмм ВL (41-сөйлем) болады, табандары бір BD және екеуі BD, AL параллель түзулері арасында орналасқан (41-сөйлем). Екі еселенген үшбұрыш FBC (41-сөйлем) квадрат HB болады, өйткені табандары бір FB және екеуі де FB, BC параллель түзулері арасында орналасқан. Екі еселенген тең шамалар өзара тең болады (5 аксиома); ендеше, параллеограмм BL квадрат HB-ға тең болады. Осыған ұқсас AE, BK жүргізіп параллеограмм CL квадрат 6С-ға тең болатыны дәлелденеді; ендеше барлық квадрат BDEG бірге алынған екі квадрат HB мен GC-ға тең болады. BDEC – BC-ға, HB, GC – BA, AC-ға тұрғызылған квадраттар; ендеше ВС қабырғасындағы квадрат ВА, АС қабырғаларындағы квадраттарға тең болады.

Ендеше, тік бұрышты үшбұрыштар тікбұрышты керетін қабырғадағы квадрат тікбұрышты құрап тұрған қабырғалардағы квадраттарға тең болады; дәлелдейтініміз де осы еді».