Архимед және математика

 

Москваның мемлекеттік университетінің физика факультетінде жыл сайын дәстүрлі Архимед күні атап өтіледі.Дүние жүзінің түрлі қалаларында Архимед көшелері көптеп кездеседі.Архимед есімін алып жүрген ұрпақтарымыз қаншама! Ежелгі грек оқымыстысына көрсетілген бұл құрмет –қошамет оның физика мен математикада ашқан сан алуан жаңалықтарының айғағы болса керек.

Архимед (б.з.д 287-212ж.) Сицилия аралының оңтүстік жағалауында орналасқан Сиракуз қаласында туған. Сондықтан да кейде оны сиракуздық Архимед деп те атайды. Әкесі Фидий астроном әрі математик болған. Архимедтің жастық шағы Александрияда өтті. Мұнда ол көрнекті математиктерден дәріс алды. Кейін Сиракузға қайтып келген соң да ол математиктермен хат арқылы үздіксіз байланыс жасап тұрды. Архимедтің біраз еңбегі өз әріптестеріне жазған хат түрінде сақталған (Досифейге, Эратосфенге жазған хаттары). Ол өмірінің соңғы кезін туған қаласын римдіктерден қорғауға жұмсады,оған белсене қатысады, күрделі техникалық құрылыстарға, соғыс қару-жарағын жасауға басшылық етеді. Жау жағының күші басым болғандықтан да сиракуздықтар оған төтеп бере алмады,осы соғыста Архимед өледі,кітапханасы мен аспап-құралдары талан-таражға түседі.

Архимед ел аузында, тарихи жазбаларда аңыз болып қалды. Мынандай аңыздар әлі күнге дейін ел аузында сақталған. Мәселен, ол атақты Архимед заңын моншада ойлап тауып, қуанғанынан «Эврика! Эврика!» (таптым!таптым!) деп айқайлап, көшеге жалаңаш жүгіріп шығыпты – мыс. Туған қаласы Сиракузды римдіктермен қорғауда Архимед ғажайып оптикалық құрал жасап, римдіктердің теңіздегі флотын өртеп жіберіпті-міс немесе өзін шауып өлтіргелі келе жатқан солдатқа: «сәл кідіре тұр, сызбамды сызып аяқтап алайын» депті-міс, «Тіреу нүктесін тауып берсеңдер болды әлемді өзім-ақ төңкеріп тастайын» депті-міс. Сөйтіп, бұл аңыздар қалай болғанда да Архимедтің ғалымдық, инженерлік, азаматтық қасиеттерінен азда болса хабар береді.

Архимедтің бізге жеткен негізгі еңбектері: «Параболаны квадраттау», «Шар және цилиндр туралы», «Спиральдар туралы», «Коноидтар мен сфероидтар туралы», «Жазық фигуралардың теңбе – теңдігі», «Әдіс», «Дөңгелектерді өлшеу», «Жүзетін денелер туралы», «Псаммит немесе құм қиыршықтарын санау» т.б.

Бұл жерде Архимедтің физика, математика ғылымдары бойынша табыстарын баяндаудан гөрі көрнекті математикалық жетістіктерінен мысалдар келтірген орынды.

Архимедтің математик ретінде Евдокс пен Евклидке қосқан басты жаңалығы - қисық сызықты фигуралар мен денелердің ауданы мен көлемін табу әдістері. Бұл қазіргі математикадағы кейбір анықталған интегралдарға пара – пар келеді_.

Мысалы:

т.б.

АВС сегментінің ВD өсінен айналуынан шыққан дененің – айналу эллипсоидының көлемін табу (4-сурет) үшін Архимед ВD биіктігін n тең бөлікке бөледі де, оған іштей және сырттай фигуралар сызады.

Есеп сандардың квадраттарын қосындылауға кел1ді. Архимед одан әрі геометриялық алгебра әдісімен түрлендірулер жүргізіп теңсіздігін табады. Осы сияқты

Сырттай және іштей сызылған фигуралар айырмасы ең төменгі цилиндрдің көлеміне, яғни

өрнегіне тең болады. Енді бөлу санын көбейте берсек, бұл айырма кішірейе береді, қазіргіше айтқанда оны кез келген кіші, көлемінен кіші ете аламыз. Ендеше,

V=

Архимед мұны Евдокстың «сарқу әдісін» пайдаланып, қатаң дәлелдеген. Бұл мысалдан Архимед еңбектерінде анықталған интегралдау элементтерінің (атап айтқанда, Дарбу қосындыларына жақын келетін жоғарғы және төменгі интегралдық қосындыларын құру және олардың ортақ шегін табу) орын алғаны байқалады.

Алайда Архимедте шек, интеграл, шексіз қосынды тағы басқалардың жалпы ұғымы, яғни интегралдаудың жалпы әдісі әрбір нақты есепке дара қолданылады. Архимед қазіргі өзінің атымен аталып жүрген «Архимед спиралына» арналған «Спиралдар туралы» атты шығармасында жанаманы дифференциалдық әдіске сай келетін әдіспен тапқан.

Тағы бір мысал үшін Архимедтің жоғарыда айтылған бұрышты трисекциялау есебін қалай шешкенін көрсетейік (5-сурет). АDE бұрышын тең үшке бөлу үшін EF диаметрін жүргізеді. Сонан соң созындысы А нүктесінен өтетіндей берілген шеңбер радиусына тең ВС кесіндісін таңдап алу керек.

Сонда

Сөйтіп BDC бұрышы- берілген ADE бұрышының үштен біріне тең болады екен.

Архимедтің бірсыпыра еңбектері арифметика, сандар теориясы мәселелеріне арналған. «Псаммит немесе құм қиыршықтарын санау» деп аталатын шығармасында ол кез келген үлкен санды атаудың тәсілін келтіреді. Архимед әлем сферасын түгелімен құм қиыршықтарына толтырып қойғанның өзінде, ол қиыршықтарды санауға сан табылатынын көрсетеді. Бұл сан 10⁶³-тен кем болады екен.

Архимед өз тұсындағы көрнекті александриялық математиктермен үзбей хат жазысып, оларды сынау мақсатында әзіл-есептер беріп қояды екен. Мысалы, әйгілі математик Эратосфенге жазған бір хатында ол: «Өгіздер жайындағы есеп» деп аталатынды келтіреді. Бұл есеп х²-4729494у²=1 анықталмаған теңдеуінің ең кіші бүтін шешуін табуға саяды. Есепті ешкім шеше алмаған көрінеді. Өйткені оның ең кіші шешуінің өзі 206545 таңбалы өте үлкен сан болады екен. Архимед сірә, х²-Dy²=1 түріндегі теңдеуді (қазір «Пелль теңдеуі» деп аталып жүр) шешудің жалпы әдісін көздеген болуы керек.

Архимед «Дөңгелекті өлшеу» атты трактатында шеңбер ұзындығының диаметрге қатынасын көрсететін санның жуық мәнін табу үшін шеңберге іштей және сырттай 96 бұрышты дұрыс көпбұрыштар сызу арқылы 3 3 теңсіздігін есептеп шығарады.

Осы айтылғандардан Архимедтің өз заманының озық ойлы математик болғанын көреміз. Ал Архимедтің механи ка жөніндегі еңбектері, шебер инженерлік дарыны өз алдына бір төбе.

Архимедтің математикалық мұралары 2000 жыл бойы ұмытылмай жаратылыстану ғылымдары мен техника талабына сай дамытылып келді. Осының нәтижесінде XVII ғасырда жоғары математиканың басты тараулары болып саналатын дифференциалдық және интегралдық есептеулер пайда болды. Жоғары математиканың іргетасын қалаушылардың бірі көрнекті математик және философ Лейбниц Архимедтің ұлылығын бір ауыз сөзбен былай бейнелейді: «Архимедтің еңбектерін байыптап оқысаң, жаңа заманға математиктердің ашқан жаңалықтарына таңғалуды қоясың».

 

 

Пергалық Аполлоний

Евклид пен Архимедтен кейінгі эллиндік математиканың данышпан өкілі пергалық Аполлоний болды. Ол Кіші Азияның Перга қаласында б.з.д 200 жылдар шамасында дүниеге келеді. Жас кезінде Аполлоний Александриядағы Евклидтің шәкірттерінен дәріс алады. Аполлоний көрнекті астроном болған. Астрономияда ол эпицикл және эксцентрлік шеңберлер теориясын жасап, осы негізде әлем жүйесінің схемасын құрады. Бұл теорияны кейіннен ұлы астрономдар Гиппарх пен Птолемей қабылдайды.

Аполлонийдің «Конустық қималар» деп аталатын негізгі еңбегі- математика тарихында баға жетпес мұра. Мұнда конустық қималар деп аталатын қисық сызықты фигуралардың қасиеттері қарастырылады.

Конустық қималарды зерттеу кубты екі еселеу есебін шешуге байланысты туған. Евдокстің шәкірті Менехм конусты жазықтықпен қию арқылы бірнеше қисық сызықты фигура шығарып, олардың элементтері арасындағы математикалық қатынастарды (теңдеулерді) қорытып шығарады. Сүйір бұрышты конус алып, оны жасаушысына перпендикуляр жазықтық арқылы қиғанда конус бетінде пайда болған қисықты Менехм «сүйір бұрышты конустық қима» (бізше эллипс) деп атаған.Конус тік бұрышты немесе до,ал бұрышты болып келсе, сәйкес тік бұрышты немесе доғал бұрышты конустық қима шығады (бізше параболла немесе гиперболла).

Айталық төбесі, S болатын тік бұрышты конус берілсін делік. Оның ось бойынша қимасы DSC, табанына паралель дөңгелек қиманың ізі- GH, жасаушысына перпендикуляр қиманың ізі АР болсын DSC қимасының Р нүктесінен конус бетіне қиылысқанша түсірілген перпендикулярды у деп белгілейік.

Сонда y² =PG * PH= *AB=AP* AL.Егер AP=x, AL= y деп белгілесек y² =2px парабола теңдеуін аламыз. Менехменен кейін де конустық қималар теориясымен көптеген грек математиктері айналысады. Алайда Аполлонийдің «Конустық қималары» шыққаннан кейін бұл еңбектің бәрі ұмыт болды. Аполлонидің бұл еңбегі 8 кітаптан тұрған. Оның бізге үшеуі грек тілінде, төртеуі араб аудармасы түрінде жетті.Сегізіншісі жоғалып кетті.Трактат геометриялық алгебра тілінде жазылған. Оны терең түсіну қай қай кезде болса да, кімге болсада жеңіл тимесі анық. Тарихи құнды еңбек орыс тіліне әлі аударылған жоқ.

Апаллоний ең әуелі конустық қималарды өзінше анықтайды.Ол үш түрлі конустың орнына кез келген конусты алып, оны кез келген жазықтықпен қияды. Теңдеулерінің түріне байланысты оларды эллипс, гипербола, парабола деп атап, теңдеулерін қайта қорытып шығарған да осы Аполлоний. Қазіргі алгебра символикасымен өрнектесек, айтылған үш қисықтың теңдеулерін Апаллоний біріктіріп у²=2px ± a/p·x² түрінде береді.Мұндағы у, х- қисық нүктелерінің ағымдаығы координаттары. Аполонийдің «Конустық қималарында» математика тарихында тұңғыш рет координатттар жүйесі туралы идея туады.

Аполлонидің бұл еңбегінде осы кездегі аналитикалық геометрияға қатысты негізгі мәселелелердің барлығы қамтылған деуге болады. Алайда мұнда көтерілген мәселелер екі мың жылдай дамытылмай, өзгеріссіз қалды. Апаллонийдің идеяларын тек XVII ғасырдан бастап қана Европа математиктері қайта қарастыра бастады. Атап айтқанда, Аполлонийдің конустық қималар жөніндегі терең де түбегейлі зерттеулері XVII ғасырда Декарт пен Ферма құрған аналитикалық геометрияға, ал одан кейін Дезарг пен Паскаль негізін салған проективтік геометрияға арқау болды. Декартты замандастарының «Аполлонс Галикус», яғни «француз Аполлонийы» деп атауы тегін емес.

Кеплердің планеталар қозғалысы жөніндегі әйгілі заңдарын, Галилей мен Ньютонның механикадағы ірі жаңалықтарын ашуда Апаллоний жасаған «конустық қималар» теориясы шешуші роль атқарады.

Аполлонийдің басқа математикалық еңбектерінен «Жанасу туралы» деп аталатын трактаты назар аударарлық. Мұнда Аполлонийдің жанамалар туралы атақты есебі қарастырылады. Бұл есеп мынандай: нүкте, түзу немесе шеңбер түрінде үш объекті беріледі.Осы нүктелердің әрқайсысы арқылы өтетін және түзулер мен шеңберлермен жанасатын шеңбер салу керек. Дербес жағдайда берілгендердің үшеуі де шеңбер болуы мүмкін. Геометрияда қазір осы түрде есептер ұшырасады.Оны «Аполлоний есебі» деп атайды. Осындай салу есебін шешуде жалпы алғанда он түрлі жағдай кездеседі. Аполлоний сызғыш пен циркульді ғана пайдаланып, есептің барлық жағдайға сәйкес шешуін келтірілген көрінеді. Бірақ бұл шығарма бізге жетпеген. Ол туралы мағұлматтарды кейінгі замандағы грек математигі Папп берген. «Жазық орындар» деп аталатын Аполонийдің тағы бір геометриялық шығармасы геометриялық нүктелер орнын классификациялауға, оның ішінде өзі «жазық орындар» деп атаған түзу сызық пен шеңберді зерттеуге арналады.Папптың айтуына қарағанда жазық орындарды жазық орындарға көшіруге мүмкіндік беретін геометриялық түрлендірулерді -гомотетия мен инверсия әдістерін – математикада тұңғыш анықтаған Аполлоний болса керек.

Аполлонийдің геометриялық емес математикалық екі еңбегі болған. Осының ішінде математика тарихы үшін ең қажеттісі – «Окитокион» (сөзбе-сөз аударғанда - «жедел толғау» деген). Мұнда Аполлоний П санының жуық мәнін Архимедтен гөрі дәлірек анықтаған. Ол бұл қатынас үшін 62832/20000, яғни 3,1416 санын алады. Аполлоний осы еңбегінде Архимед жүйесіне ұқсас тетрадтар бойынша, яғни он мыңдап санау жүйесін енгізеді. Бізге үнділерден мирас болып қалған қазіргі ондық санау жүйесінің түп нұсқасы Архимед пен Аполлоний санау жүйелері деп айтуымызға болады.