- около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:
· в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:
+ 
= 
+ 
= 180°; 
a + c = b + d;
- около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
- в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
(или 
, если поменять местами оси).
Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии 
от обоих.
фокальный радиус
Квадратное уравнение 
при 
также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и 
, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке 
, координаты которой вычисляются по формулам:
где 
— дискриминант.
Свойства:
- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
- Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
- Парабола является антиподерой прямой.
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Уравнение параболы в полярной системе координат 
(рис.3.45,в) имеет вид
где 
— параметр параболы, а 
— её эксцентриситет.
Однополостным и двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат 
каноническим уравнением
— положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем 
.
Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки 
однополостного гиперболоида и две точки 
двуполостного гиперболоида.
Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям 
, называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат 
, — продольной осью гиперболоидов. Числа 
, равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.
Однополостный и двуполостный гиперболоид можно представить, как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах.
Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны 
, называется гиперболоидом вращения. Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями 
(для двуполостного гиперболоида при 
) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси гиперболу 
Двуполостный гиперболоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно всех координатных осей, плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей..
Свойство двуполостного гиперболоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус.
