Расстояние от точкидо плоскостивыражается формулой

 

 

Билет №2(2)

Поверхность называется цилиндрической, если она образована параллельным перемещением некоторой прямой, называемой образующей, вдоль некоторой кривой, называемой направляющей. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью, называют бесконечным цилиндром.

Теорема. Если уравнение является уравнением кривой на координатной плоскости Оху, то это же уравнение является уравнением цилиндрической поверхности, направляющей которой служит данная кривая, а образующей является прямая, проходящая через точку данной кривой и параллельной оси Оz.

Цилиндрическойповерхностью называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением, в котором не фигурирует одна из переменных:

F (x, y) = 0, F (x, z) = 0 или F (y, z) = 0

Если некоторая точка M0(x0, y0, z0) принадлежит цилиндрической поверхности, описываемой уравнением F(x, y) = 0, то все точкипрямой, проходящей через эту точку параллельно оси OZ, также принадлежат цилиндрической поверхности. Такие прямые называются образующими цилиндрической поверхности, а кривая, описываемая уравнением F(x, y) = 0 и получающаяся в сечении любой плоскостью z = h, называется направляющей.

Эллиптический цилиндр.Уравнение в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ, направляющей является эллипсс полуосями a и b (рис. 1).   В частности, уравнение x 2 + y 2 = R 2 в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр. Гиперболический цилиндр. Уравнение в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ, направляющей является гиперболас полуосями a и b (рис. 2). Параболический цилиндр. Уравнение y 2 = 2 px (p >0) в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ, направляющей является парабола (рис. 3). Билет №3(2), Билет №4(2) Конической поверхностью называется поверхность, образуемая движением прямой (AВ), перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку S и пересекает данную линию MN (фиг.294). Прямая АВ называется образующей, линия MN - направляющей, а точка S - вершиной конической поверхности. Каноническое уравнение круговой конической поверхности в декартовых координатах: Под действительным конусом второго порядка понимается поверхность второго порядка, которая задается этим уравнение:

Теорема: Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где — однородная функция, то — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка.

 

Билет №4(1)

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. мнимые числа) — числа вида , где и — вещественные числа, — мнимая единица; то есть . - действительная часть комплексного числа. - мнимая часть комплексного числа.

- Алгебраическая форма записи.

Угол между действительной осью и вектором называется аргументом комплексного числа : . Значение , заключенное в промежутке ,

- Тригонометрическая форма записи,

- Показательная форма записи.

1) два комплексных числа z ₁ = (x ₁, y ₁) и z ₂ = (x ₂, y ₂) называются равными, если x ₁ = x ₂ и y ₁ = y ₂;

2) суммой комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z вида

z = (x ₁ + x ₂, y ₁ + y ₂);

3) произведением комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число

z = (x ₁ x ₂ - y ₁ y ₂, x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

 Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

 Сложение

 Вычитание

 Умножение

 Деление

Если комплексное число , то число называется сопряжённым. На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

 

 

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что … для любого

 

Билет № 7(2) «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое»

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А).

Множество является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Формальное определение:

Пусто́е мно́жество — множество, не содержащее ни одного элемента. Ø Оно является подмножеством любого множества.

Числовые множества: ( отрезок [ a; b ], полуотрезок[ a; b), промежуток(a, b), числовой луч [ a; +∞)).

· множество всех натуральных чисел ();

· множество всех положительных рациональных чисел ();

· множество всех рациональных чисел();

· множество всех целых чисел ();

· множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству ;

· множество всех чисел вида , где n принимает все натуральные значения.

С каждым уравнением связаны два числовых множества. Первое из них – область определения уравнения. Второе - это множество его корней, т.е. чисел, при подстановке которых в уравнение оно обращается в тождество.

Пересечением множеств А и В называют новое множество Х, содержащее те и только те элементы, которые входят и в множество А и в множество В. Пересечение множеств А и В обозначают или AB

Объединением называют множество Х, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств. Объединение двух множеств А и В обозначают .

Разностью двух множеств А и В называют такое множество , в которое входят все элементы из А, не принадлежащие множеству В. При этом не предполагается, что множество В является частью множества А.

В случае, когда В – часть множества А, называют дополнением к В в множестве А и обозначают . Симметрическая разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам.

Билет №5(1)

Элементарная комбинаторика имеет дело с множествами, из которых выбираются подмножества с определенными свойствами.

Набор элементов x , …, x из множества Х = { x , …, x } называется выборкой объема m из n элементов.

Выборки называются упорядоченными, если порядок следования элементов в них задан. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Например, упорядоченные выборки (x1, x5) и (x5, x1) различные выборки объемом 2.

Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такие выборки называются неупорядоченными

· Размещением без повторений из m элементов называется упорядоченная выборка объемом m, в которой элементы различны.

Число всех размещений без повторений объемом m, составленных из n различных элементов, обозначается через А и вычисляется по формуле

А = n·(n-1)· … ·(n - m + 1) =

· Размещением с повторениями из m элементов называется упорядоченная выборка объемом m в которой элементы могут повторяться.

Число всех размещений с повторениями объемом m, составленных из n различных элементов, обозначается через и вычисляется по формуле

= n .

· Перестановкой из n элементов называется размещение без повторений объемом n.

Число всех перестановок из n элементов обозначается через Р и вычисляется по формуле

Р = n! = n·(n-1)· … ·2·1.

· Сочетанием без повторений из m элементов называется неупорядоченная выборка объемом m, в которой элементы различны.

Число всех различных сочетаний без повторений объемом m, которые могут быть составлены из n различных элементов обозначается через С и вычисляется по формуле

С = =

 

Граф — это совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин (связей между вершинами). Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра.

 

 

 

 

Билет №6(1)

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек , и есть величина постоянная , бо́льшая расстояния между этими заданными точками Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Точки , и называются фокусами эллипса, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки и , соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Из определения следует, что . При , т.е. при , фокусы и , а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса .

Каноническое уравнение эллипса:

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее. При , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Эллипс с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство эллипса). Здесь и — один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. или .

В самом деле, например, для фокуса и директрисы (рис.3.37,6) условие можно записать в координатной форме:

Уравнение эллипса в полярной системе координат (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид

 

где фокальный параметр эллипса.

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и есть величина постоянная , меньшая расстояния между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Точки и называются фокусами гиперболы, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки и , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение , где , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения следует, что .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

 

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов и . Для произвольной точки , принадлежащей гиперболе, имеем:

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

 

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее. При , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

 

В самом деле, например, для фокуса и директрисы (рис.3.41,а) условие можно записать в координатной форме:

Избавляясь от иррациональности и заменяя , приходим к каноническому уравнению гиперболы.

 

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат (рис.3.41,б) имеет вид

 

, где — фокальный параметр гиперболы.

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

где — гиперболический косинус, a гиперболический синус.

 

 

Билет №10(2)

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением, и получена деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.

где — положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам

Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения (или сфероидом). Такой эллипсоид является поверхностью вращения. Например, если , то линии (4.47) при являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси эллипс заданный в плоскости.

· Если , то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями при будут окружностями с центрами на оси абсцисс. Такой эллипсоид можно получить, вращая вокруг оси эллипс

· Если все полуоси эллипсоида равны , то он представляет собой сферу радиуса , которую можно получить, например, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.

· Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны , называется трехосным (или общим).

Эллипсоид обладает

• центральной симметрией относительно начала координат,
• осевой симметрией относительно координатных осей,
• плоскостной симметрией относительно начала координат.

 

 

Билет №11(2)

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

• если и одного знака, то параболоид называется эллиптическим.
• если и разного знака, то параболоид называется гиперболическим.
• если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, задаваемая функцией вида

Эллиптический параболоид можно описать как семейство параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

Если то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.

Плоскость пересекает эллиптический параболоид по линии, имеющей в этой плоскости уравнение , которое равносильно уравнению параболы с фокальным параметром . Сечение параболоида плоскостью получаем, подставляя в уравнение: . Это уравнение равносильно уравнению параболы с фокальным параметром . Эти сечения называются главными параболами эллиптического параболоида

Гиперболи́ческий параболо́ид — седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

.

Также гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается с вершиной второй. Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.

Билет №7(1)

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
2. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
3. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности

· Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

· Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

· Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC^2 = MA•MB.

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
2. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
4. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

• Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

C = 2 R.

• Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

S = R².

• Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

L = R .

• Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

S = R² .

Окружность и треугольник

• центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r = ,

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

• центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус Rвычисляется по формуле:

R = ,

R = ;

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

• центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
• центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.