Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

"Казанский национальный исследовательский технический университет

Им. А. Н. Туполева-КАИ

(КНИТУ-КАИ)

НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ФИЛИАЛ

 

Методические указания к выполнению

лабораторных работ

по дисциплине «Теория автоматического управления»

 

 

Набережные Челны

2011 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Лабораторная работа № 1. Исследование временных и частотных характеристик линейных САУ.

2. Лабораторная работа № 2. Исследование устойчивости линейных САУ.

3. Лабораторная работа № 3. Исследование показателей качества линейных САУ.

Приложение 1. Краткое руководство по применению MATLAB System и SIMULINK.

Список литературы

 

Лабораторная работа № 1

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЛИНЕЙНЫХ САУ

Цель работы: изучение основных характеристик и параметров линейных систем автоматического управления (САУ).

Теоретическая часть

Линейной САУ называется динамическая система, поведение которой во времени описывается линейным дифференциальным уравнением n-степени:

 

a _n∙ y ⁽ⁿ⁾ + a _(n-1)∙ y ^(n-1) + … + a ₁∙ y ⁽¹⁾ + a ₀∙ y = b _m∙ x ^(m) + b _(m-1)∙ x ^(m-1) + … + b ₁∙ x ⁽¹⁾ + b ₀∙ x,

 

где a ₀, b ₀, …, a _n, b _n – постоянные коэффициенты уравнения;

y – регулируемая переменная (выходная функция САУ);

х – входная переменная (функция) САУ;

y ⁽ⁱ⁾ = dⁱ y (t) / d t ⁱ – i -я производная функции у, (i = 1, …, n);

x ^j = d^j x (t) / d t ^j – j-я производная функции x (j = 1, …, m).

Так, например, подлежащие исследованию две линейные САУ описываются следующими дифференциальными уравнениями, соответственно, второй и третьей степени:

1) а ₂∙ у ⁽²⁾ + а ₁∙ у ⁽¹⁾ = b ₀∙ x;

2) a ₃∙ y ⁽³⁾ + а ₂∙ у ⁽²⁾ = b ₀∙ x.

Представленные выше уравнения запишем в стандартной форме записи этих уравнений:

1) Т ₂²∙ у ⁽²⁾ + Т ₁∙ у ⁽¹⁾ = К ∙ x;

2) Т ₃³∙ y ⁽³⁾ + Т ₂²∙ у ⁽²⁾ = К ∙ x,

где К = b ₀ – статический коэффициент усиления САУ;

Т ₃³ = а ₃, Т ₂² = а ₂, Т ₁ = а ₁ – постоянные времени САУ, характеризующие ее динамические свойства.

Дифференциальные уравнения можно представить в операторной форме путем замены в них знака производной d/d t оператором Лапласа р:

1) Т ₂²∙ р ²∙ у + Т ₁∙ р∙у = [(Т ₂∙ р)² + Т ₁∙ р ]∙ у = К ∙ x;

2) Т ₃³∙ р ³∙ у + Т ₂²∙ р ²∙ у = [(Т ₃∙ р)³ + (Т ₂∙ р)²]∙ у = К ∙ x.

Отношение выходной величины у к входной переменной x в операторной форме есть передаточная функция W (p) САУ:

1) W (p) = y / x = К / [(Т ₂∙ р)² + Т ₁∙ р ];

2) W (p) = y / x = К / [(Т ₃∙ р)³ + (Т ₂∙ р)²].

Для формализованного описания динамических свойств САУ наряду с дифференциальными уравнениями и передаточной функцией W (p)используются следующие способы:

временные функции, характеризующие изменение во времени выходного сигнала определенного вида;

частотные характеристики, устанавливающие зависимость между амплитудой и фазой входного и выходного гармонических сигналов при изменении частоты входного сигнала.

К временным характеристикам динамических звеньев относят переходную и весовую функции.

Переходная функция h (t) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией x (t) = 1(t): y (t) = h (t)∙1(t) = h (t).

Весовая функция g (t) (импульсная переходная функция) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является импульсной функцией x (t) = δ (t) = 1′(t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, т.е. ее кривая на плоскости охватывает площадь, равную 1:

y (t) = g (t)∙ δ (t) = g (t)∙1′(t)

Весовая функция является производной от переходной функции. Следовательно, переходную функцию h (t) можно определить путем аналитического и графоаналитического интегрирования весовой функции g (t):

g (t) = d h (t)/d t; h (t) = ∫ g (t) ∙ d t.

Изображением весовой функции L [ g (t)], т.е. представлением ее в операторной форме, является передаточная функция W (p):

1) L [ g (t)] = W (p) = K / [(T ₂∙ р)² + Т ₁∙ р ];

2) L [ g (t)] = W (p) = К / [(Т ₃∙ р)³ + (Т ₂∙ р)²].

С целью упрощения нахождения оригинала L ^-1[ W (p)] функции g (t), представленной в операторной форме, относительно сложное изображение W (p) можно разложить на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов:

1) ;

2) .

Приведя правую часть полученных выражений к общему знаменателю, получим:

1) ;

2) .

Так знаменатели левой и правой частей выражений равны, то, соответственно, равны и их числители, т.е.:

1) ;

2) .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях оператора Лапласа р левой и правой частей полученных формул:

1) К = А ∙ Т ₁; 0 = А ∙ Т ₂² + В;

2) К = В ∙ Т ₂²; 0 = А ∙ Т ₂² + В ∙ Т ₃³; 0 = А ∙ Т ₃³ + С.

Решая систему уравнений (1) и (2), получим:

1) А = К / Т ₁; В = - А ∙ Т ₂² = - К ∙ Т ₂² / Т ₁;

2) В = К / Т ₂²; А = - В ∙ Т ₃³ / Т ₂² = - К ∙ Т ₃³ / (Т ₂²)²;

С = - А ∙ Т ₃³ = К ∙(Т ₃³ / Т ₂²)².

Подставляя значения коэффициентов А, В и С в соответствующие исходные формулы, получим:

1) =

= ;

2) =

= = .

Оригиналы изображений элементарных функций имеют следующий вид:

.

Заменяя в формулах 1) и 2) соответствующие изображения элементарных функций на их оригиналы, получим следующие выражения для весовых функций линейных САУ:

1) g (t) = ; 2) g (t) = .

Так как переходная функция h (t) есть интеграл от весовой функции g (t), то найти ее можно либо путем непосредственного интегрирования функции g (t), либо путем нахождения сначала изображения L [ h (t)] функции h (t), а затем ее оригинала. Изображение переходной функции можно получить путем умножения передаточной функции (изображения L [ g (t)] весовой функции) на передаточную функцию идеального интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1. Рассмотрим в качестве примера САУ с передаточной функцией W (p) = К / [(Т ₂∙ р)² + Т ₁∙ р ]:

L [ h (t)] = W (p)∙ = .

Разложим полученное изображение передаточной функции на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов по аналогии с ранее рассмотренными примерами:

L [ h (t)] = = .

Найдем значения коэффициентов А, В и С:

.

Находим оригиналы элементарных функций:

L ^-1(1/ p) = 1; L ^-1(1/ p ²) = t; L ^-1[(T ₁ / T ₂²) / (p + T ₁ / T ₂²)] = [(T ₁ / T ₂²)∙ .

Используя полученные выражения, находим оригинал искомой передаточной функции:

h (t) = + + ∙ = .

 

Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.

К частотным характеристикам относятся:

АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;

ФЧХ – фазовая частотная характеристика;

ЛАЧХ – логарифмическая АЧХ;

ЛФЧХ – логарифмическая ФЧХ.

АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W (jω), которая получается путем замены в передаточной функции W (p) оператора Лапласа p на комплексную переменную jω. АФЧХ W (jω) можно представить в виде вектора на комплексной плоскости с координатами [ M (ω), N (ω)] или в полярных координатах Н(ω) и φ(ω), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ:

W (jω) = N (ω) + jM (ω) = Н (ω)∙ е^{jφ(ω )}. (1)

Здесь: Н (ω) – АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора W (jω) от круговой частоты ω;

φ (ω) – ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора W (jω) от круговой частоты ω;

N (ω) = Н (ω)∙ cosφ (ω) – проекция вектора W (jω) на вещественную ось комплексной плоскости;

M (ω) = Н (ω)∙ sinφ (ω) – проекция вектора W (jω) на мнимую ось комплексной плоскости;

При изменении частоты ω от нуля до бесконечности конец вектора W (jω) вычерчивает кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом АФЧХ.

Определим в качестве примера частотную передаточную функцию для САУ с передаточной функцией в операторной форме W (p) = К / [(Т ₂∙ р)² + Т ₁∙ р ], которую для удобства дальнейших преобразований представим в виде:

W (p) = К / [(Т ₂∙ р)² + Т ₁∙ р ] = К ₁ / [(T∙p + 1)∙ p ],

где К ₁ = К / Т ₁; Т = (Т ₂)² / Т ₁.

Произведя замену оператора Лапласа р на комплексную переменную jω, получим:

W (jω) = К ₁ / [(jωT + 1)∙ jω ] = =

= . (2)

Из выражения (2) получаем формулы для нахождения модуля Н (ω) и аргумента φ (ω) вектора АФЧХ, а также его проекций на вещественную N (ω) и мнимую М (ω) оси:

Н (ω) = ; φ (ω) = - [90^o + arctg (ω∙T)];

 

N (ω) = ; М (ω) = . (3)

Фазовую частотную характеристику φ (ω) можно найти также из следующего соотношения: φ (ω) = arctg [ М (ω) / N (ω)] = -[180^o - arctg (1/ ω∙T)].

 

Задание к лабораторной работе № 1

1. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти аналитические выражения для весовой g (t) и переходной h (t) функций САУ, состоящей из двух последовательно соединенных элементарных динамических звеньев: апериодического и идеального интегрирующего звена.

2. Построить при помощи компьютерной программы MATLAB и вывести на печать графики найденных при выполнении п. 1 задания временных зависимостей g (t) и h (t).

3. Вывести аналитические выражения для частотных характеристик САУ по пункту 1: АФЧХ, АЧХ и ФЧХ.

4. Задаваясь характерными точками на оси частот построить примерные графики полученных при выполнении п. 3 задания частотных зависимостей.

5. При вычислениях следует использовать варианты параметров динамических звеньев, заданные табл. 1, в соответствии с последней цифрой шифра студента.

Примечание: тип 1 соответствует апериодическому звену;

тип 2 соответствует идеальному интегрирующему звену.

6. По результатам выполнения задания необходимо оформить отчет.

Таблица 1

Тип звена	Параметры звена	Номер варианта
	К 1						0,5	0,2	0,1	0,4
Т 1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,05
	К 2	0,8	0,4	0,5		0,5

 

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1

 

1. Перед выполнением работы ознакомиться с основными определениями и формулами из раздела «Теоретическая часть».

2. Ознакомиться с заданием к лабораторной работе и выполнить п. 1 задания, принимая во внимание, что при последовательном соединении звеньев передаточная функция САУ равна произведению их передаточных функций:

, где К = К ₁∙ К ₂, Т = Т ₁.

3. Перед выполнением пункта 2 задания ознакомиться в Приложении с краткими сведениями по использованию базовой программы MATLAB, после чего запустить программу MATLAB и выполнить следующую последовательность действий:

1) задать в окне команд описание передаточной функции САУ W (p) с помощью функции tf (transfer function), параметрами которой являются вектора численных значений коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции. Например, описание передаточной функции W (p) = 10 / (2 ∙ p ² + 0,5∙ p) будет выглядеть следующим образом: >> sys = tf ([10], [2 0.5 0]).

При нажатии клавиши Enter на экране монитора в окне команд высветится заданная передаточная функция в виде

,

где s – обозначение оператора Лапласа, принятое в МАТЛАБ.

Временную характеристику САУ g (t) строим с помощью функции impulse:

>> impulse (sys); grid,

где grid – признак отображения сетки графика.

При нажатии клавиши Enter на экране монитора в отдельном окне высветится график искомой весовой функции g (t) в виде, представленном на рис. 1.

 

 

Рис. 1 График весовой функции g (t) системы САУ,

описываемой передаточной функцией

 

Скопировать с экрана график g (t), предварительно свернув все остальные открытые окна, и сохранить его как документ Word в папке «Мои документы» под произвольным именем.

Временная характеристика h (t) САУ строится с помощью функции step:

>> step (sys); grid.

После нажатия клавиши Enter на экране монитора в отдельном окне высветится график искомой переходной функции h (t) в виде, представленном на рис. 2.

 

 

Рис. 2 График переходной функции h (t) системы САУ,

описываемой передаточной функцией

 

Аналогичным образом скопировать с экрана график h (t), предварительно свернув все остальные открытые окна, и вставить его в свой документ Word.

4. Прежде, чем перейти к выполнению пункта 3 задания, необходимо также скопировать с экрана данные окна команд и вставить их в свой документ Word, а затем закрыть программу МАТЛАБ.

5. Выполнить пункты 3 и 4 задания, используя материалы раздела «Теоретическая часть».

6. Оформить отчет, который должен содержать:

- название и цель работы;

- основные определения и расчетные формулы;

- графики зависимостей g (t) и h (t) с отмеченными на них тремя значениями, рассчитанными предварительно по полученным формулам для значений времени t = T ₁, 2 T ₁ и 3 T ₁;

- примерные графики частотных зависимостей с отмеченными на них двумя значениям, рассчитанными предварительно по полученным формулам для значений круговой частоты ω = 0 и 1 / Т ₁;

- выводы.

 

Лабораторная работа № 2