ж) Пример определения кинематических характеристик по стробоскопическим фотографиям

На рисунке 6 приведена стробоскопическая фотография движения материальной точки и указаны координатные оси.

 

Задание 1. Найти кинематический закон движения точки.

Спроецируем точки на координатные оси с учётом масштаба и выпишем в таблицу 1 значения координат точки, считая, что фотографирование началось при t = 0 и движение происходит по часовой стрелке. Измерения координат x и y прямые, поэтому оценим их погрешности по методике, изложенной в пункте б). Поскольку в данном случае нет особого смысла много раз измерять координаты, ибо мы будем получать всё время один и тот же результат, то следует предположить, что ∆х_разбр. = ∆y_разбр. = 0. Это не значит, конечно, что случайных ошибок нет – просто они меньше точности используемых инструментов. Приборная погрешность при измерении стандартной линейкой длиной 200 мм составляет ∆ х_пр. = 0,2∙ =0,13 мм. Погрешность отсчёта и округления при округлении координат до 1 мм составит 0,5 мм. Следует учесть неидеальность процедуры проектирования, которая также приводит к погрешности отсчёта и округления и составляет примерно 0,5 мм (подумайте, почему!) результирующая погрешность будет равна по формуле (10):

 

 

(

Рисунок 6 – Стробоскопическая фотография движения материальной точки

 

Таблица 1

t, cек		0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,0
x, см	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0
y, см	8,0	8,9	9,6	10,1	10,5	10,6	10,3	10,1	9,5	8,8	8,0

 

Для установления вида функциональной зависимости x = x(t) изобразим данные таблицы 1 на рисунке 7, откладывая время по горизонтали, координату x – по вертикали (в том же масштабе, что и на рисунке 6, руководствуясь при этом правилами, изложенными в пункте д).

При этом учитываем, что погрешность ∆t задана неявно (она равна 0,005 с). Из рисунка 7 сразу видно, что искомая функциональная зависимость x = x(t) линейная. Задача, следовательно, состоит в том, чтобы провести по точкам на рисунке 7 прямую, наилучшим в некотором смысле образом соответствующую этим точкам. Можно, конечно, это сделать графически, однако это не даёт полной уверенности, что прямая – наилучшая.

 

 

Рисунок 7 – Зависимость x = x(t)

 

Одним из способов аналитического решения задачи о нахождении наилучшей прямой, соответствующей экспериментальным точкам, является метод наименьших квадратов.

Идея метода состоит в следующем. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид x = at + b, где a и b – постоянные, подлежащие определению. При каждом значении времени t_i (0,1,…10) найдём величину(at_i + b – x_i)², представляющую квадрат разности между экспериментальным значением величины x_i и значением (at_i + b), вычисленным по формуле, выражающей ожидаемую линейную зависимость. Образуем далее сумму . Прямая x = at + b будет соответствовать экспериментальным точкам наилучшим образом, если мы найдём такие значения a и b, при которых достигается минимум суммы S. Условия минимума имеют вид , , что даёт систему уравнений:

 

и

 

Система, может быть переписана в виде:

 

 

Подставляя численные значения и решая систему, получим a = 10,0 см/с,
b = 1,0 см, так что искомая зависимость x(t) имеет вид

 

(37)

 

Существуют формулы, позволяющие определить погрешности значений a и b, однако мы их приводить не будем, а воспользуемся приближённым методом: относительная погрешность измерения координаты больше всего для наименьшего значения x_min = 1,0 см и составляет 10% и меньше всего для максимального значения x_max = 11,0 см (примерно 1%). Поэтому значения , вычисляемые по формуле (36) должны получаться с такой же относительной погрешностью. Именно поэтому мы имеем a = (10,0 0,5) см/с, b = (1,00 0,05) см. Приводим на рисунке 7 наилучшую прямую.

Для нахождения вида функциональной зависимости y = y(t) поступим аналогично, изобразив данные из таблицы 1 на координатной плоскости (y,t) (рис. 8).

 

Рисунок 8 – Зависимость y = y(t)

Из рисунка 8 не вытекает, однако, с определённостью предположение о виде зависимости y = y(t). В таких случаях обычно выдвигаются гипотезы о том, какому классу функций (полиномов, показательных, тригонометрических и т. д.) принадлежит искомая зависимость, а затем эти гипотезы принимаются или отвергаются. Чаще всего выдвигается гипотеза о принадлежности неизвестной функции y(t) к классу полиномов некоторой степени n: . Степень полинома обычно берется вначале минимальной, совместимой с характером расположения экспериментальных точек. Из рисунка 8 сразу видно, что зависимость y(t) нелинейная, то есть n ≠ 1. Таким образом, мы берём функцию y(t) = a_оt² + a₁t + a₂ и ищем значения параметров a_о, a₁, a₂, при которых эта функция наилучшим образом соответствует экспериментальным точкам рисунка 8. Задача решается на основе метода наименьших квадратов. Условия минимума суммы:

 

дают:

 

 

 

Подставляя численные значения и решая систему уравнений, находим после округления a_о = 10,0; a₁ = 10,0; a₂ = 8,0 (количество значащих цифр, в значениях a выбрано исходя из того, что относительная погрешность в определении координаты составляет примерно 1%). Таким образом, зависимость координаты
y = y(t) имеет вид

y = -10 t² + 10 t + 8,0 (см) (38)

 

На рисунке 8 построена кривая (парабола), соответсвующая уравнению (38). Как видно, кривая достаточно хорошо проходит через экспериментальные точки. Следует, однако, помнить, что предположение о полиноминальной зависимости y = y(t) является лишь гипотезой. Ведь вполне возможно, что функция вида y = ab^t + c, где постоянные подобраны с помощью метода наименьших квадратов, или полином степени большей 2 значительно лучше соответствуют экспериментальным точкам рисунка 8. Иными словами, возникает вопрос, насколько оправдана гипотеза о полиноминальной зависимости степени 2, то есть насколько функция (38) соответствует экспериментальным точкам.

На первый взгляд, естественным представляется следующий путь. С помощью метода наименьших квадратов определим значения a, b, c для функции вида y = ab^t + c, при которых она наилучшим образом соответствует экспериментальным точкам, затем для этих значений a, b, вычислим сумму квадратов разностей, фигурирующих в методе наименьших квадратов, и сравним её с суммой для полиноминальной зависимости (38). Естетственнно, что та зависимость, для которой эта сумма меньше, лучше отвечает экспериментальным точкам. Ясно, однако, что этот путь, хотя и возможен, но трудоёмок и малоперспективен, поскольку существует множество функций времени, которые могли бы, в принципе, соответствовать экспериментальным точкам рисунка 6. Например, зависимость y = A sin (Bt + C) + D с надлежаще подобранными константами A, B, C, D. Поэтому вопросы совместимости гипотезы о той или иной зависимости (в нашем случае зависимости 38) с экспериментальными данными решаются с помощью так называемых критериев согласия (другое название – критерии значимости). Одним из наиболее удобных критериев является так называемый «критерий χ²» (читается хи-квадрат) или критерий Пирсона. В методе наименьших квадратов вычисляется величина χ²:

 

, (38)

 

то есть сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y_i от вычисленных по формуле (38), деленная на квадрат погрешности измерения величины y. В нашем случае χ² = 3. Найденное значение χ² должно быть сопоставлено с теорией. Это делается с помощью таблицы распределения χ², фрагмент которой приведён в таблице 2. В данной таблице n – это число степеней свободы распределения χ², равной числу измерений минус увеличенное на единицу число параметров, определяемых из эксперимента. В нашем случае число измерений равно 11 и с помощью метода наименьших квадратов было определено 3 параметра, так что n = 11 – (3 + 1) = 7. Число Р в таблице – вероятность, выражаемая в процентах. По найденному значению χ² = 1,3 и числу степеней свободы n = 7 находим, что P ≈ 98%. Это означает, что если гипотеза о зависимости (38) справедлива, то найденное или большее значение χ² должно встречаться примерно в 98% случаев. Следовательно, на уровне доверительной вероятности 98% мы подтвердили зависимость (38). Если, например, при тех же условиях
χ² = 14,1, то это означало бы, что при справедливости гипотезы (38) такие большие отклонения встречались бы лишь в 5% случаев, так что наше найденное значение χ² = 14,1 свидетельствовало бы о ненадёжности гипотезы, и это заставило бы искать другую зависимость y(t), например, в виде полинома третьей степени и т. д.

Выпишем окончательно найденный кинематический закон движения:

 

x = 10,0 t + 1,0 (см) (39)

y = -10 t² + 10 t + 8,0 (см)

 

На рис. 8 построена кривая (парабола), соответствующая уравнению (38). Как видно, кривая достаточно хорошо проходит через экспериментальные точки.

 

Задание 2. Найти среднюю скорость частицы в интервале времениt (0,4;0,8),её модуль и углы с осями координат.

 

Имеем: x (0,4) = 5,0 см; x (0,8) = 9,0 см y (0,4) = 10,4 см; y (0,8) = 9,6 см

Тогда ∆ x = 4,0 см, ∆ y = – 0,8 см, ∆ t = 0,4 с

;

; ;

 

Обратите внимание, что для того, чтобы получить правильное значение для , нужно вычислить значение модуля средней скорости более точно, чем записано выше:

 

Задание 3. Найти модуль мгновенной скорости в момент t ₁ = 0,7 сек и углы с осями координат.

;

; ;

 

Задание 4. Найти ускорение частиц в тот же момент и углы, составляемые вектором ускорения с осями координат.

;

,

;

 

Вектор скорости и ускорения изображены на рисунке 5.

 

Задание 5. Найти тангенциальное и нормальное ускорения в тот же момент времени.

Направлен вектор так же, как и . Изображаем его на рисунке. Вектор может быть найден геометрически: . Этот вектор также показан на рисунке 6.

Задание 6. Найти радиус кривизны траектории в точке, соответствующей тому же моменту времени.

Используя формулу (34), находим:

 

Во многих случаях оказывается полезным приближенный графический способ нахождения радиуса кривизны. Для этого точку на траектории, соответствующего моменту времени t₁ = 0,70 c,соединим прямолинейными отрезками с соседними точками, соответсвующими моментам t₂ = 0,60 c и t₃ = 0,80 c. Из середины этих отрезков восстанавливаем перпендикуляр до их перечисления в точке 0.

Точка 0 примерно совпадает с центром соприкасающейся окружности, соответствующей участку траектории вблизи точки, для которой велось построение. Радиус окружности примерно равен R ₁.

 

Задание 7. Найти зависимость пройденного пути S от времени t, то есть функцию S = S(t).

Имеем:

Проведите вычисление самостоятельно, используя табличный интеграл

 

Получим:

Задание 8. Написать уравнение траектории точки.

Исключая время t из уравнений (39), имеем:

 

Или y = – 0,1x² + 1,2x + 6,9 (см). Это и есть уравнение траектории.

 

Задание 9. Найти скорость удаления частицы от начала координат в момент времени t₁ = 0,7 c.

Расстояние от частицы до начала координат согласно формуле (39) равно:

 

 

Поэтому:

(См. формулу 36 стр.15)

Теперь достаточно подставить значение t₁ = 0,7 c.

Задание 10. Найти относительную скорость двух частиц в момент времени

t₁ = 0,7 c.

Допустим, что спустя время t_о = 0,2 c из той же начальной точки с той же начальной скоростью по той же траектории движется другая частица. Требуется найти относительную скорость частиц в момент t₁ = 0,7 c. Скорость второй частицы в момент t₁ = 0,7 c будет такая же, как скорость первой в момент 0,5 с. Поэтому, так же, как и в задании 3, можно определить скорость частицы в момент 0,5 с.

 

,

 

Тогда V_отнх = 0,0 см/с, V_отну = – 4,0 см/с и скорость первой частицы относительно второй частицы в момент времени 0,7 секунд равна 4 см/с и направлена вниз.

Стробоскопические фотографии для выполнения работы каждый студент получает у преподавателя.

 

Контрольные вопросы.

1. Какие ошибки (пункт а)) имели место при выполнении работы и как они учитывались?

2. Как изменилась бы точность ваших результатов, если бы вы проводили все измерения и построения несколько раз, используя разные инструменты?

3. Как можно проверить отсутствие промахов в серии наблюдений?

4. Изложите методику расчёта погрешностей при измерении объёма цилиндра штангенциркулем.

5. Нарисуйте, примерно, как будет выглядеть стробоскопическая фотография движения точки при и .

6. Запишите выражение для векторов скорости и нормального ускорения в указанный преподавателем момент времени и проверьте выполнение условий .

7. Нанесите экспериментальные точки и постройте теоретическую кривую зависимости от времени той координаты, для которой она нелинейная, откладывая вдоль оси абсцисс значения , а вдоль оси ординат – значения этой координаты. Сделайте выводы.

 

Таблица 2 χ2 распеделения

 

N/P%
	0,8	0.7	1,1	1,6	2,2	3,4	6,0	9,5
	0,6	1,1	1,6	2,3	3,0	4,4	7,3	11,1
	0,9	1,6	2,2	3,1	3,8	5,3	8,6	12,6
	1,3	2,2	2,8	3,8	4,7	6,3	9,8	14,1
	1,6	2,7	3,5	4,6	5,5	7,3	11,0	15,5
	2,1	3,3	4,2	5,4	6,4	8,3	12,2	16,9
	2,6	3,9	4,9	6,2	7,3	9,3	13,4	18,3
	3,1	4,6	5,6	7,0	8,3	10,3	14,6	19,7
	3,6	5,2	6,3	7,8	9,0	11.3	15,8	21,0
	4,1	5,9	7,0	8,6	9,9	12,3	17,0	22,4