Будем считать далее, что поправки на известную систематическую погрешность уже учтены. Единичное измерение величины называется наблюдением.
Пусть произведено n наблюдений величины x в неизменных условиях и получены результаты x 1, x 2 … x n. В качестве наиболее вероятного значения величины x принимается среднее арифметическое значений, найденное в отдельных наблюдениях:
(5)
Пусть 
случайное отклонение результата i-го измерения от среднего, то величину
(6)
называют средней квадратичной погрешностью отдельного наблюдения.
В теории вероятностей и математической статистике доказывается, что случайные отклонения результатов отдельных наблюдений от среднего, то есть ∆ x i, в хорошо проведённом опыте не должны превосходить 3S. Если в каком-то наблюдении получено ∆ x i > 3S, то это наблюдение должно считаться промахом.
Величина
(7)
называется средней квадратичной погрешностью всей серии n наблюдений. В математической статистике доказывается, что погрешность разброса связана с Sn соотношением
∆ x разбр. =tn,P Sn (8)
где множитель tn,P называется коэффициентом Стьюдента. Индекс n у коэффициента указывает число опытов, а индекс Р – доверительную вероятность. Поскольку в лабораторном практикуме принята доверительная вероятность
Р = 0,95, то приведем значения коэффициентов t n;0,95 для этой вероятности.
| n | |||||||||
| tn;0,95 | 1,60 | 0,82 | 0.77 | 0,74 | 0,73 | 0,72 | 0,71 | 0,71 | 0,70 |
Из таблицы видно, что чем больше проведено измерений, тем уже доверительный интеграл, то есть тем точнее измерения.
Погрешность прибора ∆ xпр в прямых измерениях учитывается следующим образом. Для каждого типа приборов предприятие-изготовитель гарантирует на уровне доверительной вероятности P = 0,997 некоторую предельную погрешность ∆ пред. Значения ∆ пред для наиболее часто используемых мер и приборов указаны в таблице, находящейся в лаборатории. Поскольку в учебной лаборатории ограничивается значением доверительной вероятности P = 0,95, то принимается
∆ x пр = 
∆ пред (9)
Погрешность отсчёта и округления ∆ x окр при доверительной вероятности P = 0,95 может быть принята равной половине цены деления шкалы прибора при округлении до целого деления и 0,3 от цены деления h при округлении до половины деления. Полная абсолютная погрешность прямого измерения рассчитывается по формуле:
(10)
Возможны, конечно, ситуации, когда погрешность какого-то типа значительно меньше остальных или вообще в эксперименте отсутствует. Например, если стол является четырехугольником, длины сторон которого отличаются меньше, чем на 0,1 мм, то при использовании в качестве его модели квадрата, стороны которого измеряются линейкой с миллиметровыми делениями, погрешность разброса будет вообще отсутствовать, ибо они замаскированы погрешностями отсчета и округления, которые составляют в данном случае 0,5 мм. Считается, что четверть миллиметровых делений глаз среднего человека отсчитать не в состоянии, а погрешность линейки, если она металлическая длиной 1000 мм, можно не учитывать, ибо она составляет лишь 0,2 мм.
Окончательный результат записывается в виде:
(11)
и имеет надёжность на уровне P = 0,95
в) Погрешности косвенных измерений.
При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина y задается как функция прямым образом изменяемых физических величин x 1, x 2 … x n; y = f ( x 1, x 2 … x n). Наиболее вероятное значение величины y, то есть результат косвенного измерения, находится следующим образом:
(12)
Поскольку каждая из величин 
(i = 1, 2, 3,..., n) определена с погрешностью ∆xi, то и величина yизм, вычисленная по формуле (12) также будет найдена с некоторой погрешностью, которая вычисляется по формуле:
, (13)
где 
– частные производные функций (12) по аргументам, вычисленным при средних значениях. Доверительная вероятность для погрешности ∆ y будет равна Р = 0.95 при условии, что она имеет такое значение для каждой из погрешностей ∆ xi.
Относительная погрешность косвенной величины у равна:
(14)
Поскольку вычисление погрешностей часто достаточно громоздко, иногда используются более простые правила, которые, вообще говоря, иногда несправедливы, но в большинстве случаев могут быть в лабораторном физпрактикуме использованы. Например, можно принять, что относительная погрешность косвенной физической величины в 1,5 раза больше максимальной относительной погрешности всех прямым образом измеряемых величин. Поэтому в эксперименте следует стремиться к тому, чтобы относительные погрешности всех прямым образом измеряемых величин были примерно одинаковы. Для величин, значения которых зависят от выбора начала отсчета, например, координат, следует избегать появления близких к нулю значений, ибо при этом относительная погрешность велика.
