Б) Погрешности прямых измерений

Будем считать далее, что поправки на известную систематическую погрешность уже учтены. Единичное измерение величины называется наблюдением.

Пусть произведено n наблюдений величины x в неизменных условиях и получены результаты x ₁, x ₂ … x _n. В качестве наиболее вероятного значения величины x принимается среднее арифметическое значений, найденное в отдельных наблюдениях:

(5)

Пусть случайное отклонение результата i-го измерения от среднего, то величину

(6)

называют средней квадратичной погрешностью отдельного наблюдения.

В теории вероятностей и математической статистике доказывается, что случайные отклонения результатов отдельных наблюдений от среднего, то есть ∆ x _i, в хорошо проведённом опыте не должны превосходить 3S. Если в каком-то наблюдении получено ∆ x _i > 3S, то это наблюдение должно считаться промахом.

Величина

(7)

называется средней квадратичной погрешностью всей серии n наблюдений. В математической статистике доказывается, что погрешность разброса связана с S_n соотношением

∆ x _разбр. =t_n_,_P S_n (8)

где множитель t_n_,_P называется коэффициентом Стьюдента. Индекс n у коэффициента указывает число опытов, а индекс Р – доверительную вероятность. Поскольку в лабораторном практикуме принята доверительная вероятность

Р = 0,95, то приведем значения коэффициентов t _n_;0,95 для этой вероятности.

n
t_n_;0,95	1,60	0,82	0.77	0,74	0,73	0,72	0,71	0,71	0,70

Из таблицы видно, что чем больше проведено измерений, тем уже доверительный интеграл, то есть тем точнее измерения.

Погрешность прибора ∆ x_пр в прямых измерениях учитывается следующим образом. Для каждого типа приборов предприятие-изготовитель гарантирует на уровне доверительной вероятности P = 0,997 некоторую предельную погрешность ∆ _пред. Значения ∆ _пред для наиболее часто используемых мер и приборов указаны в таблице, находящейся в лаборатории. Поскольку в учебной лаборатории ограничивается значением доверительной вероятности P = 0,95, то принимается

∆ x _пр = ∆ _пред (9)

Погрешность отсчёта и округления ∆ x _окр при доверительной вероятности P = 0,95 может быть принята равной половине цены деления шкалы прибора при округлении до целого деления и 0,3 от цены деления h при округлении до половины деления. Полная абсолютная погрешность прямого измерения рассчитывается по формуле:

(10)

Возможны, конечно, ситуации, когда погрешность какого-то типа значительно меньше остальных или вообще в эксперименте отсутствует. Например, если стол является четырехугольником, длины сторон которого отличаются меньше, чем на 0,1 мм, то при использовании в качестве его модели квадрата, стороны которого измеряются линейкой с миллиметровыми делениями, погрешность разброса будет вообще отсутствовать, ибо они замаскированы погрешностями отсчета и округления, которые составляют в данном случае 0,5 мм. Считается, что четверть миллиметровых делений глаз среднего человека отсчитать не в состоянии, а погрешность линейки, если она металлическая длиной 1000 мм, можно не учитывать, ибо она составляет лишь 0,2 мм.

Окончательный результат записывается в виде:

(11)

и имеет надёжность на уровне P = 0,95

в) Погрешности косвенных измерений.

При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина y задается как функция прямым образом изменяемых физических величин x ₁, x ₂ … x _n; y = f ( x ₁, x ₂ … x _n). Наиболее вероятное значение величины y, то есть результат косвенного измерения, находится следующим образом:

(12)

Поскольку каждая из величин (i = 1, 2, 3,..., n) определена с погрешностью ∆x_i, то и величина y_изм, вычисленная по формуле (12) также будет найдена с некоторой погрешностью, которая вычисляется по формуле:

, (13)

где – частные производные функций (12) по аргументам, вычисленным при средних значениях. Доверительная вероятность для погрешности ∆ y будет равна Р = 0.95 при условии, что она имеет такое значение для каждой из погрешностей ∆ x_i.

Относительная погрешность косвенной величины у равна:

(14)

Поскольку вычисление погрешностей часто достаточно громоздко, иногда используются более простые правила, которые, вообще говоря, иногда несправедливы, но в большинстве случаев могут быть в лабораторном физпрактикуме использованы. Например, можно принять, что относительная погрешность косвенной физической величины в 1,5 раза больше максимальной относительной погрешности всех прямым образом измеряемых величин. Поэтому в эксперименте следует стремиться к тому, чтобы относительные погрешности всех прямым образом измеряемых величин были примерно одинаковы. Для величин, значения которых зависят от выбора начала отсчета, например, координат, следует избегать появления близких к нулю значений, ибо при этом относительная погрешность велика.