Достаточное условие убывания функции

Применение производной к исследованию функций

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x0 называется критической точкой функции f(x), если

1) x0 – внутренняя точка области определения f(x);

2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x0– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции. (f’(x0)=0.), т.е. точки максимума или минимума имеют производную равную 0

Достаточное условие экстремума:

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 - точка минимума.

Вопрос 7

Неопределённый интегра́л.

Неопределённый интегра́л для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е..

если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то, где C - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

2 (или).

Вопрос 8

Интеграл функции — является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Методы:
а) Непосредственное интегрирование (метод разложения)- метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
б) Метод замены переменной (метод подстановки) - Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.
в) Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких, то справедлива следующая формула:
Предполагается, что нахождение интеграла становится проще.

Вопрос 9

Определенный интеграл численно равен площади части графика функции, от которой он берется, в определённых пределах, т. е. равен площади криволинейной трапеции. Причем площади на интервале интегрирования. Определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] называется пределинтегральной суммы (1), когда число участков разбиения стремится к бесконечности, а

длина каждого из них стремится к нулю: = a_i)∆x_i Где a и b называются пределами интегрирования, причем а – нижний предел

интегрирования, а b – верхний предел интегрирования.

Вопрос 10

Любая непрерывная на отрезке функция f(x) имеет на этом отрезке первообразные, причем функция Ф(х) – интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для f(x). А так как всякая другая первообразная для функции f(x) может отличаться от Ф(х) только на постоянную, то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в виде:
∫f(x)dx=
Вопрос 11

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ),в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными, в которых входящие функции зависят от многих переменных. Если диф. уравнение содержит только одну переменную х, то говорят, что это диф. ур. обыкновенное Порядком или степенью дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Диф. Ур. С разделяющимися переменными обусловлены тем, что все остальные типы сводятся к уравнению с разделяющимися переменными. Имеет следующий вид: Р(х)+Q(Y) =0, Р(х)+Q(Y)dy =0,D(Y)+S(Y)+C=0.

Вопрос 12

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Случаное событие-событие, которое может произойти, а может и нет: 1)равносильные, равновозможные кубик Рубика; 2) совместимые события, если во время испытания они могут произойти только одновременно; 3) независимые, несовместимые. Случайные события- величина, которая принимает определенные значения.
В теории вероятностей случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, предугадать которое заранее и достоверно невозможно.
Событием в теории вероятностей считается всякий факт, который в результате опыта может произойти, а может и не произойти.
Вероятность случайного события - основная категория в теории вероятностей - положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 < Р(А) < 1, где Р - обозначение вероятности, А - случайное событие.

Вопрос 13

Несколько событий называются несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления остальных. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий P =P (A) +P (B)
Теоремы умножения вероятностей.
Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого (правило умножения вероятностей).Правило умножения вероятностей может быть обобщено на случай произвольного числа событий =P (A) *P (B)

Вопрос 14

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.
2)Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий P(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В), где Р(А/В)-вероятность событий В при условии, что произошло событие А.

Вопрос 15

случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Вопрос 16

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.
Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).
Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x1, x2, x3... xn с некоторой вероятностью pi, где i = 1.. n. Сумма вероятностей pi равна 1. http://flash-library.narod.ru/IT-MathSredstva/Lab-rab..
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей
называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности

Вопрос 17

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ- среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом М. о. случайной величины Х(w), определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р.

С помощью М. о. определяются многие числовые и функциональные характеристики распределения.

Дисперсия- от лат dispersio рассеяние. В математической статистике и теории вероятностей меря рассеивания (откл от среднего). В статистике дисперсия есть среднее арифметическое из кв отклонений наблюденных значений(х1 х2….хn) случ величины от их среднего арифметического. В теории вероятностей дисперсия случ величины – мат ожидание кв отклонения. Случайной величины от ее мат ожидания.

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние -в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:

Вопрос 18

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:

М(С) = С

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С·М(Х)

3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) +... + М(Хn)

4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х1 · Х2 ·... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) ·... · М(Хn)

С помощью М. о. определяются многие числовые и функциональные характеристики распределения.