Литература
1. Венцель Е.В. Исследование операций. М.: Сов. Радио, 1972.
ЗАДАНИЕ
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЛАН
при ограничениях на оборудование.
ЧАСТЬ 1. Составить задачу и решить
Производство с пятью видами продукции.
1. Провести расчет оптимального плана выпуска продукции в соответствии с приводимыми далее числовыми данными. Провести при заданном критерии исследование плана на устойчивость и пределы изменения коэффициентов, параметрический анализ.
2. Расчет провести в электронной таблице Excel.
3. В качестве критериев (целевых функций) оптимизации использовать максимизацию прибыли (критерий 1- кр1).
4. Исходные данные.
Предприятие выпускает изделия И1 – И5. Для этого используются следующие станки (оборудование).
1. Фрезерное с ресурсом В1 нормо-часов в месяц.
2. Токарное – с ресурсом В2.
3. Штамповочное – с ресурсом В3.
4. Сборочно-наладочное – с ресурсом В4.
5.. Поставляются комплектующие в количестве В5 штук в месяц.
Числовые данные характеризуются следующими таблицами.
Нормы расходов
| Ресурсы | Изделия | ||||
| И1 | И2 | И3 | И4 | И5 | |
| Фрезерное | 15,4 | 13,3 | 18,2 | 16,1 | 14,0 |
| Токарное | 7,1 | 10,2 | 5,3 | 6,4 | 8,0 |
| Штамповочное | 0,14 | 0,19 | 0,17 | 0,15 | 0,19 |
| Сборка | 2,1 | 1,4 | 2,2 | 2,7 | 1,8 |
| Комплектующие |
Цена и себестоимость
| Изделия | |||||
| И1 | И2 | И3 | И4 | И5 | |
| Цена | |||||
| Себестоимость | s1 | s2 | s3 | s4 | s5 |
Ограничения на выпуск
| Изделия | |||||
| И1 | И2 | И3 | И4 | И5 | |
| Минимум | |||||
| Максимум |
Соотношение количества выпускаемых изделий И2/И4=1/2.
Варианты заданий
| Параметры | Варианты | |
| В1 | ||
| В2 | ||
| В3 | ||
| В4 | ||
| В5 | ||
| S1 | ||
| Y1 | ||
| Y2 | ||
| Y3 | ||
| S2 | ||
| S3 | ||
| S4 | ||
| S5 | ||
| T | ||
| В6 |
Результат представить и в виде таблицы
| Критерий | И1 | И2 | И3 | И4 | И5 |
| Кр. 1 |
Результат запомнить, поскольку он потребуется далее
ЧАСТЬ 2. Определение чувствительности параметрической решений.
В условиях части 1 исследовать устойчивость решения, для чего выполнить такие расчеты..
4.1. Исследовать границы изменений коэффициентов в ограничениях и целевой функции. Определить объем использованных ресурсов, резервы, двойственные переменные. Выявить наиболее дефицитный ресурс, близкий по значению к оптимальному вид продукции, наиболее и наименее чувствительные виды ресурсов.
Предположительные формы выходных документов на дополнительном листе Excel после решения задачи.
Продукция
| Вид продукции | Оптимальный план | Двойственная переменная | Верхняя граница целевой функции | Нижняя граница целевой функции |
Ресурсы
| Вид ресурса | Объем используемого ресурса | Резерв ресурса | Двойственная оценка | Верхняя граница ресурса | Нижняя граница ресурса |
Сделать выводы.
4.2. Исследовать результаты изменения значений коэффициентов:
а) целевой функции для первого и третьего изделий – на – 10 процентов;
б) целевой функции для второго и четвертого изделий – на –+10 процентов;
в) свободных членов для первого и третьего ограничений – на – 10 процентов;
г) свободных членов для второго и четвертого ограничений – на –+10 процентов;
д) коэффициентов для первого и третьего видов изделий – на – 10 процентов для третьего ресурсного ограничения;
е) коэффициентов для второго и четвертого видов изделий – на – 10 процентов для третьего ресурсного ограничения;
ж) коэффициентов для первого и третьего видов ресурсов – на – 10 процентов для пятого изделия;
и) коэффициентов для второго и четвертого видов ресурсов – на – 10 процентов для пятого изделия.
Полученные результаты свести в таблицу вида
| Пункт | И1 | И2 | И3 | И4 | И5 |
| 4.2, а | |||||
| 4,2, б | |||||
| …… | |||||
| 4.2, и |
Сделать выводы.
ЧАСТЬ 3. Многокритериальная (векторная) задача статического линейного программирования.
Для оптимального программирования (планирования) с одной целевой функцией (скалярным критерием) характерны следующие обстоятельства:
1) выбор вида целевой функции процедура неформальная и неоднозначная;
2) вид целевой функции существенно влияет на характер функционирования системы;
3) использование только одного критерия характеризуется получением «крайних» решений, не учитывающих в достаточной мере факторов, наблюдающихся в реальной системе.
Для «сглаживания» этих крайностей используется векторная целевая функция (многокритериальная постановка задачи).
В качестве составляющих векторного критерия могут быть выбраны прибыль; доход; объем (выпуск) товарной продукции в оптовых ценах; нормативно-чистая продукция; производительность труда; рентабельность; фондоотдача; удельные затраты на выпуск продукции; объем и стоимость незавершенного производства; себестоимость. Независимо от выбора критериев формально в линейном варианте они различаются коэффициентами (весами) a l при целевых функциях.
Нахождение решений при векторной целевой функции математически существенно усложняется и связывается с определением равновесия по Парето.
Полученные ранее оптимальные значения решений x (планов P) вычислены для скалярных целевых функций. Не снижая общности, считаем их первыми (l = 1) в векторных целевых функциях в задаче
AP £ b (0), b (0) = b 0, (4.9)
Gl (P) = C l P à max, l = 1, L,
и обозначим через Р 1*.
Аналогично решаются задачи для критериев Gl (Р *) для l = 2, L и получаются значения Р l *. Результаты решения векторной задачи в значительной мере определяются самой неформальной постановкой задачи (схемой компромисса) – переходом от векторного критерия к скалярному.
Учет L критериев возможен двумя основными группами способов, сводящимися в конечном итоге к сворачиванию векторного критерия Gl к скалярному G через веса a l:
(4.10)
Возможны следующие группы методов решения векторной задачи:
1) веса критериев заданы (назначены) экспертами априорно до решения задачи;
2) веса критериев определяются в процессе решения задачи.
Способы получения экспертных оценок для первой группы методов рассмотрены в приложении.
При определении весов целевых функций экспертным путем выделяют два подхода: аксиоматический и эвристический.
При эвристическом подходе выделяют такие методы.
1. Формирование экспертных оценок.
2. Метод уступок: некоторые целевые функции заменяются ограничениями, «жесткость» которых может постепенно смягчаться.
3. Целевое программирование, в котором целевая функция имеет вид:
где fk (x) – критерий; fk – принятая цель; p – целое число.
При p = 1 говорят о линейном целевом программировании.
При использовании компьютерных расчетов, как показал анализ методов, предпочтение следует отдать второй группе методов с определением весов в процессе решения. К ним относятся метод минимальных потерь от всех критериев (метод С1) и метод идеальной точки (метод С2).
Для их формального представления введем (при G lmin = 0) обозначение
gl (Р) = 1 + dl (Р),
dl (Р) = – Gl (Р *)/ Gl max,
где Gl max, Gl min максимальное и минимальное значения целевых функций.
Очевидно, что gl à min соответствует Gl à max.
В методе С1 задача векторной оптимизации приводится к виду
AP £ b,
zl ¢ ³ gl (Р), (4.11)
zl ¢ à min.
В методе С2 первоначально определяются оптимальные значения Р * l и Flmax для отдельных l -х критериев, а затем решается задача
AP £ b,
Окончательный выбор применяемого метода векторной оптимизации определяется исследователем – лицом, принимающим решения (ЛПР). Для работы ЛПР с позиций простоты алгоритма и времени его реализации можно рекомендовать метод С2, как наиболее подходящий по физическому смыслу, хотя и требующий квадратичного программирования.
