Приложения определенного интеграла к задачам практики

Определенный интеграл.

Основные определения и теоремы. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x) (рис.6.1). Обозначим через m и M ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точками

Рис. 6.1

a = x₀ < x₁ < …< x_n_–1 < x_n = b. Длина каждого из отрезков оставит Dx_i = x_i – x_i_–1. Обозначив наименьшее и наибольшее значения функции на каждом из отрезков m_i и M_i, составим

суммы (6.1) и (6.2), называемые нижней и верхней интегральными суммами.

S _n (при f (x) ³ 0)численно равна площади вписанной ступенчатой фигуры АС₀N₁C₁N₂…C_n_–1N_nBA, a ` S_n – площади описанной фигуры AK₀C₁K₁…K_n_–1C_nBA. Так как m_i £ M_i для любого i, то S _n £ `S_n (знак равенства соответствует случаю f(x) = сonst). Так как m₁ ³ m, m₂ ³ m, …, m_n ³ m (m –наименьшее значение f(x) на [a, b]), то, S _n ³ m(b–a). Так как M₁ £ M, M₂ £ M,…, М_n £ M (М – наибольшее значение f(x) на [a, b]), то S_n £ M (b – a), т.е. площадь криволинейной трапеции АС₀C_nВ меньше площади описанного и больше площади вписанного прямоугольников.

Возьмем на каждом из отрезков Dх_i произвольную точку x_i, найдем соответствующее значение функции f(x_i) и составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Очевидно, что m_i £ f(x_i) £ M_i, m_iDx_i £ f(x_i)Dx_i < M_iDx_i и S _n £ S_n £ `S_n. (Фигура, площадь которой равна S_n, ограничена ломаной, заключенной между вписанной и описанной ломаными). S_n зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на отрезки Dx_i и от выбора точек x_i внутри Dx_i. Обозначим через maxDx_i наибольшую из длин этих отрезков и потребуем, чтобы maxDx_i ® 0. Число отрезков при этом стремится к бесконечности. Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i ® 0 и при любом выборе точек x_i суммы стремятся к одном у и тому же пределу, то говорят, что функция f(x) интегрируема на отрезке [ a, b]. Предел этот называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b]

(6.3).

Числа а и b называют нижним, и верхним пределами интеграла, отрезок [a, b] – отрезком интегрирования, х – переменной интегрирования.

Приведем теорему существования определенного интеграла: Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует ине зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные отрезки Dx_i и от выбораточек x_i. Если f(x) ³ 0 на [a, b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f(x), х =а, х = b, у = 0.

Приведем основные свойства определенного интеграла:

, где с = const.

6). Если m £ f(x) £ M на [a, b], то

Непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с большими трудностями и требует громоздких вычислений. Рассмотрим метод, упрощающий решение проблемы и использующий связь между интегрированием и дифференцированием.

Формула Ньютона – Лейбница. Пусть в определенном интеграле нижний предел а фиксирован, а верхний b меняется. Вместе с ним меняется и значение функции, т.е. интеграл есть функция верхнего предела. Для работы в привычных обозначениях верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, обозначим ее через t и получим Ф . Если f(t) – неотрицательная функция, то величина Ф(х) численно равна площади криволинейной трапеции аАХх (рис.6.2.), меняющейся при значении х. Производная Ф`(х) по х определится теоремой: если f(x) – непрерывная функция и Ф , то имеет место равенство Ф`(х) = f(x), т.е. производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подинтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

(Из этой теоремы следует, в частности, что всякая непрерывная функция имеет первообразную).

Возможности вычисления определенного интеграла открывает следующая теорема: Если F(x) есть какая – либо первообразная непрерывной функции f(x ), то справедлива формула

(6.4).

Это и есть «знаменитая» формула Ньютона – Лейбница, благодаря которой математика получила общий метод решения большого числа различных задач, связанных с необходимостью вычисления определенного интеграла. Пример:

При вычислении определенных интегралов по формуле Ньютона – Лейбница может применяться весь арсенал известных приемов нахождения первообразной, например:

1. Метод замены переменной: Если дан интеграл , где функция f(x) непрерывна на [a, b] и вводится новая переменная по формуле х = j(t), причем j(a) = а, j(b) = b, j(t) и j`(t) непрерывны на [a, b] и f[j(t)] определенаи непрерывна на [a, b], то (6.5).

При вычислении определенного интеграла по формуле (6.5) мы не возвращаемся к старой переменной, а находим новые пределы интегрирования a и b. Пример: [примем х = r cost; dx = –r sint dt;

x = 0 при t = p/2 и x = r при t = 0] =

(Геометрически это площадь ¼ круга радиуса r).

2. Интегрирование по частям. Пусть u и v дифференцируемые функции от х. Тогда d(uv) = udv + vdu. Интегрируя обе части равенства в пределах от а до b получим , откуда (6.6).

Пример:

Приведем еще два соотношения, упрощающие вычисления в ряде случаев. Если f(x) – нечетная функция, то (6.7).

и, если f(x) четная функция, то (6.7‘).

Приложения определенного интеграла к задачам практики.

1. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми х = а и х = b и отрезком [a, b], (рис.6.3) вычисляется по формуле (6.8).

Легко видеть, что площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x); 0 £ f₂(х) £ f₁(x) и прямыми х = а и х = b определится соотношением

Рис. 6.3

(6.9).

В полярных координатах площадь криволинейного сектора, ограниченная кривой r = r(j) и двумя полярными радиусами j = a и j = b(a < b) определится выражением (6.10),

а площадь фигуры, ограниченной кривыми r₁(j), r₂(j), r₂(j) £ r₁(j) и радиусами j = a и j = b выражением (6.10`).

Рис. 6.4

2. Длина дуги плоской кривой. Пусть на плоскости дана кривая y = f(x). Найдем длину дуги АВ этой кривой между прямыми х = а и х = b (рис.6.4.). Возьмем на дуге точки А, М₁, …, М_i, …, В с абсциссами х₀ =а, х₁, …x_i, …,x_n= b и проведем хорды А М₁, М₁М₂, …, М_i–1M_i, …, M_n_–1 B, длины которых обозначим через DS_i. Получим ломаную АМ₁М₂ …М_i …В, вписанную в дугу АВ. Длина ломаной равна . Длиной S дуги АВ называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю: .

Если на отрезке [a, b] функции f(x) и f `(x) непрерывны (кривая – гладкая), то этот предел существует и равен (6.11).

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением r = r(j) (a £ j £b), длина дуги равна (6.12).

3. Вычисление объема тела по параллельным сечениям. Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S = S(x), то объем части тела, заключенной между плоскостями х = а и x = b, определится формулой (6.13)

4. Объем тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f(x) и прямыми х = а и х = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения определится соотношением (6.14).

Если вокруг оси Ох вращается фигура, образованная кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x) (0 £ f₁(x) £ f₂(x)) и прямыми х = а и х = b, то объем тела вращения

(6.15).

5. Поверхность тела вращения. Если дуга гладкой кривой y = f(x) (а £ х £ b) вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле (6.16).

6. Работа и давление. Работа переменной силы F = f(x), действующей по оси Ох на отрезке [a, b] вычисляется по формуле (6.17)

Рис. 6.5

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S умноженной на глубину погружения h, на плотность r и ускорение силы тяжести g т.е. р = rghS.

Пример: Какое давление испытывает прямоугольная пластина длиной а и шириной b (a > b), если она наклонена к поверхности жидкости под углом a и ее большая сторона находится на глубине h (рис.6.5)?

Площадь выделенной на глубине х элементарной полоски равна . Следовательно, (r – плотность жидкости). Отсюда находим .

Несобственные интегралы.

Интеграл с бесконечными пределами. Рассмотрим интеграл . При переменном b он является непрерывной функцией b. Предел этой функции при b ® ¥ обозначают (6.18)

и называют несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥). Если этот предел существует и конечен- интеграл называют сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся. Геометрический смысл в случае f(x) ³ 0 – площадь неограниченной области, заключенной между линиями y = f(x), х = а и у = 0 (ось Ох).

Пример: (рис.6.6) .

Аналогично определяются интегралы: (6.18`)

и (6.18``).

Бывает достаточно установить, сходится или расходится данный интеграл и оценить его значение. Это позволяют сделать следующие теоремы:

1. Если для всех х ³ а выполняется неравенство о £ f(x) £ j(х) и если сходится, то сходится и , причем £ .

2. Если для всех х ³ а выполняется неравенство f(x) ³ j(х) ³ 0, причем расходится, то расходится и .

3. Если интеграл сходится, то сходится и . В последнем случае говорят, что интеграл абсолютно сходящийся.

Пример: исследовать сходимость . Подинтегральная функция знакопеременная. Рассмотрим . Очевидно, что ; . Исходный интеграл сходится абсолютно.

Интеграл от неограниченной функции. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна при а £ х < с, а в точке с испытывает бесконечный разрыв. Интеграл (6.19)

называют несобственным интегралом от неограниченной функции.

Если этот предел существует и конечен – интеграл сходящийся, если нет – расходящийся. Аналогично определяются интегралы

(6.19`)

(при а < x £ c и ), и, если функция имеет бесконечный разрыв в точке с внутри отрезка [a, b], (6.19``).

Несобственный интеграл (6.19``) называют сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них. Для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений полезны следующие теоремы: 1. Если на отрезке [a, с] функции f(x) и j(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка j(х) ³ f(x) ³ 0 и сходится, то также сходится; 2. Если на отрезке [a, с] функции f(x) и j(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка f(x) ³ j(х) ³ 0 и расходится то и расходится; 3. Если функция f(x), знакопеременная на отрезке [a, с], разрывная только в точке с и интеграл сходится, то сходится (абсолютно) и .