Перспектива четырехугольников

Пример 4. Построить на эпюре перспективу прямоугольника, расположенного в предметной плоскости Н под произвольным углом к основанию картины (рис. 3.6).

Решение. Можно построить по точкам, но можно и проще, следующим образом.

Построим перспективу прямоугольника с помощью картинных следов и бесконечно удаленных точек предельных прямых.

Через совмещенную точку зрения S проводим две прямые, параллельные двум сторонам прямоугольника:

SF₁ || BE, SF₂ || AB.

Находим картинные следы прямых 1₀, 2₀, 3₀ и 4₀.

Соединяем картинные следы с соответствующими беско-

нечно удаленными точками F₁ и F₂, на пересечении перспектив прямых получаем перспективу прямоугольника.

Пример 5. Построить перспективу квадрата АВСЕ, принадлежащего предметной плоскости Н, если задана перспектива стороны АВ (рис. 3.7).

 

Решение

1. Продолжаем А_КВ_К до пересечения с h-h, получим F₁.

2. Соединяем совмещенную точку зрения S c F₁.

3. Из точки S проводим перпендикуляр к SF₁, находим F₂.

4. Делим прямой угол F₁SF₂ пополам и находим перспективу F₃ бесконечно удаленной точки диагонали. Строим перспективу диагонали A_KF₃.

5. Достраиваем перспективы сторон квадрата.

Пример 6. Построить на эпюре перспективу прямоугольника, расположенного в предметной плоскости Н под произвольным углом к основанию картины и заданного ортогональными проекциями (рис. 3.8).

 

 

Перспектива окружности

Пример 7. Построить перспективу окружности заданного диаметра, лежащей в совмещенной предметной плоскости Н.

 

Решение. Окружность вписывается в квадрат ABCE, стороны которого соответственно параллельны и перпендикулярны плоскости картины К (рис. 3.9). В квадрате проводим диагонали, определяя центр квадрата. Перспективу окружности строим по восьми точкам 1, 2,... 8, четыре из которых – 1, 3, 5, 7 – расположены на серединах сторон квадрата, а остальные – 2, 4, 6, 8 – на пересечениях диагоналей квадрата с заданной окружностью.

 

 

Рис. 3.9

Сначала построим перспективу сторон АЕ и ВС. Так как АЕ и ВС перпендикулярны плоскости картины, то их перспектива будет идти в главную точку картины Р. Далее строим перспективу диагоналей квадрата. Диагональ квадрата – это прямая, расположенная под углом 45° к картине. Перспектива такой прямой идет в дистанционную точку D₁ или D₂.

Построим перспективу одной диагонали, определив на пересечении с перспективой стороны квадрата одну из его вершин, через которую проведем перспективу стороны квадрата, параллельную плоскости картины СЕ. Достроим на картине вторую диагональ, определив центр окружности, и через центр проведем прямую до пересечения со сторонами квадрата. Отметим в перспективе восемь характерных точек, соединим их плавной кривой. Перспектива окружности будет в виде эллипса 1_К, 2_К,... 8_К, вписанного в перспективу квадрата А_КВ_КС_КЕ_К.

 

Пример 8. Построить перспективу окружности упрощенным способом (рис. 3.10).

Решение. Упрощение состоит в том, что определяют промежуточные точки для окружности без построения самой окружности и квадрата в совмещенной плоскости Н. На основании картины отложим сторону АВ, равную диаметру заданной окружности. Из середины стороны АВ проведем прямую под углом 45° и опустим на нее перпендикуляр из точки А. Затем из середины стороны АВ радиусом, равным катету образовавшегося равнобедренного прямоугольного треугольника, чертим полуокружность до пересечения со стороной АВ в двух точках. Через эти точки проведем прямые в точку Р, которые пересекутся с перспективой диагоналей квадрата в точках 2_К, 8_К, 4_К, 6_К. Остальное построение выполнено, как в примере 7.

Перспективные масштабы

Так как перспектива передает не действительные размеры, а только их пропорциональное соотношение, то измерить величины отрезков можно, только зная законы искажения величин в перспективе. Определение размеров производится с помощью так называемых точек измерения (масштабных точек).

На картине любое семейство параллельных прямых имеет перспективы бесконечно удаленных точек, которые могут служить точками измерения (масштабными точками).

В качестве точек измерения для прямых частного положения выбирают характерные точки картины:

- для прямых, перпендикулярных картине, – дистанционные точки D₁ и D₂;

- для прямых, параллельных картине и параллельных предметной плоскости (следовательно, параллельных основанию картины), – главная точка картины (или любая точка схода F любых горизонтальных прямых);

- для прямых, перпендикулярных предметной плоскости Н, – также Р и F.

Масштаб глубины

Масштаб глубины – это масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной картине (l ^ H).

Измерительные точки – D₁ и D₂.

Геометрический смысл этого построения заключается в том, что прямо в картинной плоскости нужно построить отрезок, равный действительной величине измеряемого отрезка прямой, перпендикулярной картине. Это равнозначно построению в пространстве равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными действительной величине отрезка. Гипотенуза такого треугольника будет расположена под углом 45° к картине, а перспектива такой гипотенузы будет иметь бесконечно удаленную точку в дистанционной точке D.

 

Пример 1. На прямой l ^ K отложить отрезок АВ длиной 1 м и отрезок ВС длиной 2 м (рис. 4.1).

Решение.

1. Из измерительной точки D₁ провести измерительный луч через перспективу основания точки А_К ≡ A' _K до пересечения с основанием картины (картинный след – 1₀).

2. Отложить на основании картины отрезок, равный действительной величине АВ – 1 условный метр. Из полученной точки 2₀ провести измерительный луч в точку D₁. Точка пересечения этого луча с перспективой прямой l _K ≡ l ' _K определит положение перспективы точки B _K ≡ B ' _K.

3. Аналогично построить перспективу точки С _K ≡ С '_K с помощью измерительного луча D₁3₀.

 

Рис. 4.1

Пример 2. Определить действительную величину отрезка АВ ^ K (рис. 4.2).

 

Решение. Из точки измерения D₁ через перспективы оснований точек
А_К ≡ A' _K и B _K ≡ B ' _K провести измерительные лучи с картинными следами соответственно 1₀ и 2₀. Отрезок между этими лучами на основании картины и покажет действительную величину отрезка АВ.

 

 

 

Масштаб ширины

Масштаб ширины – это масштаб, построенный на прямых, параллельных основанию картины.

Измерительная точка – главная точка картины или произвольная точка схода параллельных горизонтальных прямых.

Геометрический смысл построения заключается в том, что в пространстве через концы измеряемого отрезка надо провести измерительные лучи, перпендикулярные картине. Расстояние между картинными следами таких лучей будет равно действительной величине измеряемого отрезка. В перспективном изображении бесконечно удаленной точкой таких лучей будет главная точка картины.

Можно провести параллельные измерительные лучи и под углом к картине. Расстояние между картинными следами таких лучей также будет равно действительной величине измеряемого отрезка. В перспективном изображении бесконечно удаленной точкой таких лучей будет точка схода пучка этих параллельных прямых.

 

Пример 1. На дорожках провести параллельно картине разметку для установки скамеек шириной 1 м. 1 – дорожка перпендикулярна картине; 2 – дорожка под произвольным углом к картине (рис. 4.3).

 

 

 

Рис. 4.3

 

 

Решение. На основании картины отложим отрезок, равный 1 усл. метру (1₀ 2₀). Из точек 1₀, 2₀ проведем измерительные лучи в точку Р или F. Все прямые, параллельные основанию картины и заключенные между двумя измерительными лучами в перспективе на любом удалении, будут равны 1 усл. метру.

Пример 2. Определить действительную величину отрезка АВ (рис. 4.4).

 

Решение. Из измерительной точки Р через концы отрезка (точки А'_К и В'_К) провести измерительные лучи с картинными следами 1₀ и 2₀. Отрезок 1₀ 2₀ будет равен действительной величине отрезка АВ.

 

 

Масштаб высоты

Масштаб ширины – это масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной предметной плоскости.

Измерительные точки – главная точка картины Р или произвольная точка схода F.

Геометрический смысл построения заключается в том, что в пространстве через концы измеряемого отрезка надо провести измерительные лучи, перпендикулярные картине. Расстояние между картинными следами таких лучей будет равно действительной величине измеряемого отрезка. В перспективном изображении бесконечно удаленной точкой таких лучей будет главная точка картины.

Пример 1. Построить два забора высотой 1 м. 1-й – перпендикулярный картине; 2-й – расположенный под произвольным углом к картине (рис. 4.5).

 

Решение. От картинного следа 1₀ отложить отрезок длиной 1 усл. метр, и из концов этого отрезка провести измерительные лучи в точки Р или F. Действительная величина всех отрезков, перпендикулярных предметной плоскости, будет равна 1 м.

 

 

Рис. 4.5

 

 

Пример 2. Определить высоту отрезка АВ и расстояние от него до картины (рис. 4.6).

 

Решение. В качестве измерительной точки для определения высоты отрезка можно было бы выбрать произвольную точку схода F, но, поскольку требуется еще и определить расстояние до картины, выберем в качестве измерительной точки главную точку картины Р. Проведем измерительные лучи из главной точки картины Р через точки А_К и В_К. Отрезок 1_0К1₀'_К равен действительной величине отрезка АВ.

Из измерительной точки D₁ через перспективу основания точки A' _K проведем измерительный луч с картинным следом 2₀. Отрезок 1₀2₀ равен действительной величине расстояния от основания столбика АВ до картины.

		Рис. 4.6

 

 

4.4 Перспективный делительный масштаб
для горизонтальных прямых, расположенных под произвольным углом к картине (в случайном повороте)

Если прямая находится в случайном повороте к картине, то для каждой такой прямой определяется собственная точка измерения как бесконечно удаленная точка прямой, которая находится под одинаковым углом к заданной прямой и основанию картины.

На практике такую прямую не проводят, а построение выполняют геометрическим способом:

1. Найти совмещенную точку зрения.

2. Найти бесконечно удаленную точку заданной прямой (F).

3. Из точки F радиусом, равным SF, провести дугу до пересечения с линией горизонта hh.

Полученная точка М – точка измерения, единственная для каждого пучка параллельных прямых (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Пример 1. Определить действительную величину отрезка АВ (рис. 4.8).

 

Решение. Определив измерительную точку М, провести из нее измерительные лучи через перспективы оснований концов отрезка (точки A' _K ≡ А_К и
В '_K ≡ В_К) до пересечения с основанием картины ОО. Расстояние между картинными следами этих лучей, 1₀ и 2₀ соответственно равно действительной величине отрезка АВ.

 

Рис. 4.8

 

Пример 2. На прямой l отложить отрезок АВ длиной 2 м (рис. 4.9).

 

Решение. Построив измерительную точку для прямой АВ, провести из нее измерительный луч через точку A' _K ≡ А_К до пересечения с основанием картины ОО (картинный след 1₀). Отложить на основании картины отрезок 1₀2₀, равный двум условным метрам. Из точки 2₀ провести измерительный луч в точку М, пересечение которого с прямой l определит положение точки В ' _K ≡ В_К .

 

 

 

Рис. 4.9

Пример 3. Разделить отрезок АВ на 3 равные части (рис. 4.10).

 

Решение. Построив измерительную точку М для прямой АВ, определить действительную величину, проведя через перспективы точек А_К и В_К измерительные лучи с картинными следами 1₀ и 4₀. Любым способом разделить отрезок 1₀4₀ на нужное количество частей (на рисунке это выполнено с помощью подобных треугольников). Через получившиеся точки 2₀ и 3₀ провести измерительные лучи в точку М. На пересечении этих лучей с перспективой основания отрезка АВ определятся точки 2 и 3, делящие отрезок в заданном соотношении.

 

Рис. 4.10

5. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА
НА РАВНЫЕ И ПОРПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ

Для того чтобы разделить отрезок на равные или пропорциональные части может быть использован вспомогательный прием, основанный на делении перспективы сторон плоского угла параллельными прямыми на равные или пропорциональные части.

 

Пример 1. Разделить отрезок АВ в перспективе пополам (рис. 5.1).

 

Решение. Из точки А_К проводим прямую, параллельную линии горизонта h-h. На ней отложим два равных произвольных по величине отрезка. Конец второго отрезка соединяем с точкой B_K и, продолжив до линии горизонта, найдем точку схода F. Из точки F проведем прямую в конец первого отрезка. Эта прямая разделяет отрезок АВ в перспективе пополам точкой С.

Аналогично выполняется деление отрезка в заданном соотношении.

 

 

 

Рис. 5.1