О невычислимости в математическом мышлении 1 страница

Гёдель и Тьюринг

В главе 2 была предпринята попытка продемонстрировать мощь и строгий характер аргументации в пользу утверждения (обозначенного буквой ^), суть которого заключается в том, что математическое понимание не может являться результатом применения какого-либо осмысленно осознаваемого и полностью достоверного алгоритма (или, что то же самое, алгоритмов; см. возражение Q1). В приводимых рассуждениях, однако, ни словом не упомянуто еще об одной возможности, существенно более серьезной и ничуть не противоречащей утверждению <£, а именно: убежденность математика в истинности своих выводов может оказаться результатом применения им некоего неизвестного и неосознаваемого алгоритма, или же, возможно, математик применяет какой-то вполне постижимый алгоритм, однако при этом не может знать наверняка (или хотя бы искренне верить), что выводы его являются целиком и полностью результатом применения этого самого алгоритма. Ниже я покажу, что, хотя подобные допущения и вполне приемлемы с логической точки зрения, вряд ли их можно счесть хоть сколько-нибудь правдоподобными.

'Здесь я предполагаю, что если процедура А вообще завершается, то это свидетельствует об успешном установлении факта незавершаемости С (n). Если же Л «застревает» по какой-либо иной, нежели достижение «успеха», причине, то это означает, что в данном случае процедура А корректно завершиться не может. См. далее по тексту возражения Q3 и Q4, а также Приложение А, с. 191.

Собственно, точно такой же результат достигается посредством процедуры, выполняемой универсальной машиной Тьюринга над парой чисел д, п; см. Приложение А и НРК, с. 51-57.

Термин «алгоритмизм», который (по своей сути) прекрасно подходит для обозначения «точки зрения i/» в моей классификации, был предложен Хао Ваном [376].

Приведение к абсурду (лат.), доказательство от противного. — Прим. перев.

Чтобы подчеркнуть, что я принимаю это обстоятельство во внимание, я отсылаю читателя к Приложению А, где представлена явная вычислительная процедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК, глава 2) для получения операции Ck (К) машины Тьюринга посредством алгоритма А. Здесь предполагается, что алгоритм А задан в виде машины Тьюринга Т_а, определение же вычисления С_я (п) кодируется как операция машины Т„ над числом q, а затем над числом п.

Представление некоторых формальных систем включает в себя бесконечное количество аксиом (они описываются через посредство структур, называемых «схемами аксиом»), однако, чтобы оставаться «формальной» в том смысле, какой вкладываю в это понятие я, система должна быть выразима в каком-то конечном виде — например, упомянутая система с бесконечным количеством аксиом должна порождаться конечным набором вычислительных правил. Это вполне возможно, и именно так и обстоит дело со стандартными формальными системами, которые применяются в математических доказательствах, — одной из таких систем является, например, знаменитая «формальная система Цермело— Френкеля» ZF, описывающая традиционную теорию множеств.

Пояснение к используемым здесь обозначениям можно найти в §2.8. Впрочем, G (F) без ущерба для смысла рассуждения можно было бы везде заменить на Г2 (F), в чем мы убедимся ниже.

Источник цитаты мне, к сожалению, обнаружить не удалось. Однако, как справедливо заметил Рихард Йожа, точная формулировка слов Фейнмана не имеет никакого значения, поскольку послание, которое они несут, применимо и к ним самим!

Как и ранее, обозначение G (F) можно без каких бы то ни было последствий заменить на П (F). То же справедливо и для комментариев к Q15 — Q20.

Это означает, что при кодировании машины Тьюринга каждую последовательность ...110011… можно заменить на ...11011… В спецификации универсальной машины Тьюринга, описанной в НРК (см. примечание 7 после главы 2), имеется пятнадцать мест, где я этого не сделал. Решительно досадная оплошность с моей стороны, и это после того я приложил столько усилий для того, чтобы добиться (в рамках моих же собственных правил) по возможности наименьшего номера, определяющего эту универсальную машину. Упомянутая простая замена позволяет уменьшить мой номер более чем в 30000 раз! Я благодарен Стивену Ганхаусу за то, что он указал мне на этот недосмотр, а также за то, что он самостоятельно проверил всю представленную в НРК спецификацию и подтвердил, что она действительно определяет универсальную машину Тьюринга.

Более того, сам Тьюринг первоначально предполагал вообще останавливать машину всякий раз, когда она повторно переходит во внутреннее состояние «О» из любого другого состояния. В этом случае нам не только не понадобилось бы вышеупомянутое ограничение, мы спокойно могли бы обойтись и без команды STOP. Тем самым мы достигли бы существенного упрощения, поскольку последовательность 11110 в качестве команды нам была бы уже не нужна, и ее можно было бы использовать как разделитель, что позволило бы избавиться от последовательности 111110. Это значительно сократило бы длину предписания K, и кроме того, вместо пятеричной системы счисления мы бы обошлись четверичной.

3.1. Гёдель и Тьюринг

В главе 2 была предпринята попытка продемонстрировать мощь и строгий характер аргументации в пользу утверждения (обозначенного буквой), суть которого заключается в том, что математическое понимание не может являться результатом применения какого-либо осмысленно осознаваемого и полностью достоверного алгоритма (или, что то же самое, алгоритмов; см. возражение Q1). В приводимых рассуждениях, однако, ни словом не упомянуто еще об одной возможности, существенно более серьезной и ничуть не противоречащей утверждению, а именно: убежденность математика в истинности своих выводов может оказаться результатом применения им некоего неизвестного и неосознаваемого алгоритма, или же, возможно, математик применяет какой-то вполне постижимый алгоритм, однако при этом не может знать наверняка (или хотя бы искренне верить), что выводы его являются целиком и полностью результатом применения этого самого алгоритма. Ниже я покажу, что, хотя подобные допущения и вполне приемлемы с логической точки зрения, вряд ли их можно счесть хоть сколько-нибудь правдоподобными.

Прежде всего следует указать на то, что тщательно выстраивая последовательности умозаключений (вполне, заметим, осознанных) с целью установления той или иной математической истины, математики вовсе не считают, что они лишь слепо следуют неким неосознаваемым правилам, будучи при этом не в состоянии постичь эти правила ни рассудком, ни верой. Напротив, они твердо знают, что их аргументация опирается исключительно на непреложные истины — в основе своей, существенно «очевидные»; столь же непреложными, на их взгляд, являются и все промежуточные умозаключения, составляющие упомянутую последовательность. Какой бы длинной, запутанной или даже концептуально неочевидной ни была цепь умозаключений, само рассуждение в основе своей остается принципиально неопровержимым и логически безупречным, а автор его искренне верит в свою правоту. Ни один математик не согласится с предположением о том, что на самом-то деле все его действия определяются какими-то совершенно иными процедурами, о которых он ничего не знает и в которые не верит, но которые, возможно, неким непостижимым образом исподволь влияют на его убеждения.

Разумеется, в этом отношении математики могут и ошибаться. Может быть, и впрямь существует какая-то алгоритмическая процедура, которая руководит всем математическим мышлением, оставаясь при этом неизвестной самим математикам. Всерьез принять такую возможность, пожалуй, легче людям, далеким от математики, нежели большинству из тех, для кого математика является профессией. Полагая, что деятельность математика не сводится к простому выполнению некоего неизвестного (и непостижимого) алгоритма (равно как и алгоритма, в существовании которого он испытывает сомнения), это самое большинство оказывается как нельзя более правым, в чем я и постараюсь убедить читателя в этой главе. Разумеется, полностью исключить возможность того, что суждения и убеждения математиков и в самом деле определяются какими-то неизвестными и неосознаваемыми факторами, нельзя; однако, даже если так оно и есть, я полагаю, что такие факторы не имеют ничего общего с алгоритмически описываемыми процедурами.

Весьма поучительным представляется рассмотреть точки зрения двух выдающихся мыслителей от математики, которым мы, собственно говоря, и обязаны идеями, приведшими нас к утверждению. Что, в самом деле, думал по этому поводу Гёдель? А Тьюринг? Примечательно, что, исходя из одинаковых математических данных, они пришли к противоположным, в сущности, выводам. Следует, впрочем, пояснить, что оба вывода находятся в полном согласии с утверждением. Гёдель, по всей видимости, полагал, что разум, вообще говоря, не ограничен не только необходимостью выступать исключительно в качестве вычислительной сущности, но и конечными физическими параметрами самого мозга. Он даже упрекал Тьюринга за то, что тот не допускал такой возможности. По словам Хао Вана ([374], с. 326, см. также Собрание сочинений Гёделя, т. 2 [158], с. 297), соглашаясь с обоими, вытекающими из позиции Тьюринга положениями, т. е. с тем, что «мозг, в сущности, функционирует подобно цифровому компьютеру», и с тем, что «физические законы, равно как и наблюдаемые следствия из них, обладают конечным пределом точности», Гёдель напрочь отвергал утверждение Тьюринга о неотделимости разума от материи, считая это «свойственным эпохе предрассудком». Таким образом, согласно Гёделю, сам по себе физический мозг действует исключительно как вычислитель, разум же по отношению к мозгу представляет собой нечто высшее, вследствие чего активность разума оказывается свободной от ограничений, налагаемых вычислительными законами, управляющими поведением мозга как физического объекта. Гёдель, судя по его собственным словам), не считал, что утверждениеможно рассматривать в качестве доказательства его тезиса о невычислимости деятельности разума:

«С другой стороны, учитывая доказанное ранее, следует допустить принципиальную возможность существования (и даже эмпирической реализации) некоей машины для доказательства теорем, каковая машина в сущности представляет собой эквивалент математической интуиции, однако доказать эту эквивалентность невозможно, как невозможно доказать и то, что на выходе такой машины мы будем получать только корректные теоремы конечной теории чисел».

Надо сказать, что вышеприведенное допущение ни в коей мере не противоречит(и я ничуть не сомневаюсь, что Гёделю был хорошо известен тот недвусмысленный вывод, какой в моей формулировке получил обозначение). Гёдель допускал логическую возможность того, что разум математика может функционировать в соответствии с некоторым алгоритмом, о котором сам математик не знает, либо знает, но в таком случае не может быть однозначно уверен в его обоснованности (... доказать... невозможно,... только корректные теоремы...). В соответствии с моей собственной терминологией такой алгоритм следует отнести к категории «непознаваемо обоснованных». Разумеется, совсем иное дело действительно поверить в возможность того, что деятельность разума математика и в самом деле определяется таким вот непознаваемо обоснованным алгоритмом. Похоже, сам Гёдель в это так и не поверил — и оказался в результате окружен компанией мистиков (точка зрения), которые полагают, что средствами науки о феноменах физического мира разум объяснить невозможно.

Что же касается Тьюринга, то он, по-видимому, мистическую точку зрения не принял, будучи в то же время солидарен с Гёделем в том, что мозг, как и всякий другой физический объект, должен функционировать каким-либо вычислимым образом (вспомним о «тезисе Тьюринга», § 1.6). Таким образом, Тьюрингу пришлось искать какой-то другой способ обойти затруднение в лице утверждения. При этом особенно значимым ему показался тот факт, что математикам-людям свойственно делать ошибки; если мы хотим, чтобы наш компьютер стал подлинно разумным, следует позволить ему хоть иногда ошибаться:

«Иными словами, это означает, что если мы требуем от машины непогрешимости, то не стоит ожидать от нее еще и разумности. Существует несколько теорем, суть которых почти буквально сводится к вышеприведенному утверждению. Однако в этих теоремах ничего не говорится о степени разумности, которую нам может продемонстрировать машина, не претендующая на непогрешимость».

Под «теоремами» Тьюринг, вне всякого сомнения, подразумевает теорему Гёделя и другие аналогичные теоремы — такие, например, как его собственная, «вычислительная» версия теоремы Гёделя. То есть, по Тьюрингу, получается, что наиболее существенной способностью человеческого математического мышления является способность ошибаться, благодаря которой свойственное (предположительно) разуму неточно-алгоритмическое функционирование обеспечивает большую мощность, нежели возможно получить посредством каких угодно полностью обоснованных алгоритмических процедур. Исходя из этого допущения, Тьюринг предложил способ обойти ограничение, налагаемое следствиями из теоремы Гёделя: мыслительная деятельность математика подчиняется-таки некоему алгоритму, только не «непознаваемо обоснованному», а формально необоснованному. Таким образом, точка зрения Тьюринга приходит в полное согласие с утверждением, а сам Тьюринг, по-видимому, присоединяется к сторонникам точки зрения,.

Завершая дискуссию, я хотел бы представить мои собственные причины усомниться в том, что «необоснованность» управляющего разумом математика алгоритма может послужить подлинным объяснением тому, что в этом самом разуме происходит. Как бы ни обстояло дело в действительности, в самой идее о том, что превосходство человеческого разума над точной машиной достигается за счет неточности разума, мне видится какое-то глубинное противоречие, особенно когда речь — как в нашем случае — идет о способности математика открывать неопровержимые математические истины, а не о его оригинальности или творческих способностях. Поразительно, что два великих мыслителя, какими, несомненно, являются Гёдель и Тьюринг, руководствуясь соображениями вроде утверждения, пришли к выводам (пусть и различным), которые многие из нас склонны считать, скажем так, маловероятными. Кроме того, весьма интересно поразмыслить о том, к каким бы выводам они пришли, имей они шанс хоть сколько-нибудь всерьез предположить, что физический процесс может иногда оказаться в основе своей невычислимым — в соответствии с точкой зрения, ради продвижения которой и была написана эта книга.

В последующих разделах (особенно, в §§3.2—3.22) я представлю вашему вниманию несколько детальных обоснований (некоторые из них довольно сложны, запутаны или специальны), целью которых является демонстрация неспособности вычислительных моделейвыступить в качестве вероятной основы для исследования феномена математического понимания. Если читатель не нуждается в подобном убеждении либо не склонен погружаться в детали, то я бы порекомендовал ему (или ей) все же начать чтение, а затем, когда уж совсем надоест, переходить сразу к итоговому воображаемому диалогу (§3.23). Если у вас затем снова появится желание вернуться к пропущенным рассуждениям, буду только рад, если же нет — забудьте о них и читайте дальше.

3.2. Способен ли необоснованный алгоритм познаваемым образом моделировать математическое понимание?

Согласно выводудля того чтобы математическое понимание могло оказаться результатом выполнения некоего алгоритма, этот алгоритм должен быть необоснованным или непознаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то о его обоснованности должно быть принципиально невозможно узнать наверняка (такой алгоритм мы называем непознаваемо обоснованным); кроме того, возможно, что различные математики «работают» на различных типах таких алгоритмов. Под «алгоритмом» здесь понимается просто какая-нибудь вычислительная процедурат. е. любой набор операций, который можно, в принципе, смоделировать на универсальном компьютере с неограниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсуждения возражения«неограниченность» объема памяти в данном идеализированном случае на результаты рассуждения никак не влияет.) Такое понятие алгоритма включает в себя нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы, а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые процедуры, которые можно реализовать с помощью искусственных нейронных сетейЭтому определению отвечают и иные типы восходящих механизмов — например, так называемые «генетические алгоритмы», повышающие свою эффективность с помощью некоей встроенной процедуры, аналогичной дарвиновской эволюции

О специфике приложения аргументации, представляемой в настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в главе 2), к восходящим процедурам я еще буду говорить в 3.22 (краткое изложение их можно найти в воображаемом диалоге,). Пока же, для большей ясности изложения, будем рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один-единственный тип алгоритмических процедур, а именно — нисходящие. Такую алгоритмическую процедуру можно относить как к отдельному математику, так и к математическому сообществу в целом. В комментариях к возражениями рассматривалось предположение о том, что разным людям могут быть свойственны различные обоснованные и известные алгоритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность не влияет на результаты рассуждения сколько-нибудь значительным образом. Возможно также, что разные люди постигают истину посредством различных необоснованных и непознаваемых алгоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько позже (см. §3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе математического понимания лежит одна-единственная алгоритмическая процедура. Можно, кроме того, ограничить рассматриваемую область той частью математического понимания, которая отвечает за доказательство-высказываний (т. е. определений тех операций машины Тьюринга, которые не завершаются; см. комментарий к возражению Q10). В дальнейшем вполне достаточно интерпретировать сочетание «математическое понимание» как раз в таком, ограниченном смысле (см. формулировку с. 164).

В зависимости от познаваемости предположительно лежащей в основе математического понимания алгоритмической процедуры F (будь то обоснованной или нет), следует четко выделять три совершенно различных случая. Процедураможет быть:

I сознательно познаваемой, причем познаваем также и тот факт, что именно эта алгоритмическая процедура ответственна за математическое понимание;

II сознательно познаваемой, однако тот факт, что математическое понимание основывается именно на этой алгоритмической процедуре, остается как неосознаваемым, так и непознаваемым;

III неосознаваемой и непознаваемой.

Рассмотрим сначала полностью сознательный случай I. Поскольку и сам алгоритм, и его роль являются познаваемыми, мы вполне можем счесть, что мы о них уже знаем. В самом деле, ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения имеют место уже после того, как мы получили в наше распоряжение соответствующее знание — ведь слово «познаваемый» как раз и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь да наступит. Итак, алгоритмнам известен, при этом известна и его основополагающая роль в математическом понимании. Как мы уже видели (§ 2.9), такой алгоритм эффективно эквивалентен формальной системеИными словами, получается, что математическое понимание — или хотя бы понимание математики каким-то отдельным математиком — эквивалентно выводимости в рамках некоторой формальной системы F. Если мы хотим сохранить хоть какую-то надежду удовлетворить выводу XX, к которому нас столь неожиданно привели изложенные в предыдущей главе соображения, то придется предположить, что система F является необоснованной. Однако, как это ни странно, необоснованность в данном случае ситуацию ничуть не меняет, поскольку, в соответствии с I, известная формальная система F является действительно известной, то есть любой математик знает и, как следствие, верит, что именно эта система лежит в основе его (или ее) математического понимания. А такая вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную) в обоснованность системы F. (Согласитесь, крайне неразумно выглядит точка зрения, в соответствии с которой математик позволяет себе не верить в самые фундаментальные положения собственной заведомо неопровержимой системы взглядов.) Независимо от того, является ли система F действительно обоснованной, вера в ее обоснованность уже содержит в себе веру в то, что утверждение G(F) (или, как вариант, omega(F), см. §2.8) истинно. Однако, поскольку теперь мы полагаем (исходя из веры в справедливость теоремы Гёделя), что истинность утверждения G(F) в рамках системы F недоказуема, это противоречит предположению о том, что система F является основой всякого (существенного для рассматриваемого случая) математического понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для отдельных математиков, так и для всего математического сообщества в целом; его можно применять индивидуально к любому из всевозможных алгоритмов, предположительно составляющих основу мыслительных процессов того или иного математика. Более того, согласно предварительной договоренности, для нас на данный момент важна применимость этого соображения лишь в той области математического понимания, которая имеет отношение к доказательству II1-высказываний.) Итак, невозможно знать наверняка, что некий гипотетический известный необоснованный алгоритм F, предположительно лежащий в основе математического понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Следовательно, случай I исключается, независимо от того, является система F обоснованной или нет. Если система F сама по себе познаваема, то следует рассмотреть возможность II, суть которой заключается в том, что система F все же может составлять основу математического понимания, однако узнать об этой ее роли мы не в состоянии. Остается в силе и возможность III: сама система является как неосознаваемой, так и непознаваемой.

На данный момент мы достигли следующего результата: случай I (по крайней мере, в контексте полностью нисходящих алгоритмов) как сколько-нибудь серьезную возможность рассматривать нельзя; тот факт, что системаможет в действительности оказаться и необоснованной, как выяснилось, сути проблемы ничуть не меняет. Решающим фактором здесь является невозможность точно установить, является та или иная гипотетическая система(независимо от ее обоснованности) основой для формирования математических убеждений или же нет. Дело не в непознаваемости самого алгоритма, но в непознаваемости того факта, что процесс понимания действительно происходит в соответствии с данным алгоритмом.

3.3. Способен ли познаваемый алгоритм непознаваемым образом моделировать математическое понимание?

Перейдем к случаю II и попытаемся серьезно рассмотреть возможность того, что математическое понимание на деле эквивалентно некоторому сознательно познаваемому алгоритму либо формальной системе, однако эквивалентность эта принципиально непознаваема. Иными словами, даже при условии познаваемости той или иной гипотетической формальной системымы никоим образом не можем убедиться в том, что именно эта конкретная система действительно лежит в основе нашего математического понимания. Правдоподобно ли такое предположение?

Если упомянутая гипотетическая формальная системане является уже известной, то в этом случае нам, как и ранее, следует полагать, что она может, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь таковой стать. Вообразим, что этот светлый день наконец наступил, и допустим, что в нашем распоряжении имеется точное и подробное описание этой самой системы. Предполагается, что формальная система, будучи, возможно, крайне замысловатой, все же достаточно проста для того, чтобы мы оказались способны, по крайней мере, в принципе, постичь ее на вполне сознательном уровне. При этом нам не позволено испытывать уверенность в том, что системадействительно целиком и полностью охватывает всю совокупность наших твердых математических убеждений и интуитивных озарений (по крайней мере в том, что касается-высказываний). Это, вообще-то вполне логичное предположение оказывается на деле в высшей степени неправдоподобным, в причинах чего мы и попытаемся разобраться. Более того, несколько позднее я покажу, что даже будь оно истинным, это не принесло бы никакой радости тем ИИ-энтузиастам, которые видят смысл жизни в создании робота-математика. Мы еще поговорим об этом в конце данного раздела и — более подробно — в §§ 3.15 и 3.29.

Дабы подчеркнуть тот факт, что существование подобной системы F и в самом деле следует полагать логически возможным, вспомним о «машине для доказательства теорем», возможности создания которой, согласно Гёделю, логически исключить нельзя (см. цитату в §3.1). В сущности, такую «машину», как я поясню ниже, как раз и можно представить в виде некоторой алгоритмической процедуры F, соответствующей вышеприведенным пунктам II или III. Как отмечает Гёдель, его гипотетическая машина для доказательства теорем может быть «эмпирически реализована», что соответствует требованию «сознательной познаваемости» процедуры F в случае II; если же подобная реализация оказывается невозможной, то мы, по сути, имеем дело со случаем III.

На основании своей знаменитой теоремы Гёдель утверждал, что невозможно доказать «эквивалентность» процедуры F(или, что то же самое, формальной системысм. §2.9) «математической интуиции» (см. ту же цитату). В определении случая II (и, как следствие, III) я сформулировал это фундаментальное ограничение, налагаемое на, несколько по-иному: «Тот факт, что математическое понимание основывается именно на этой алгоритмической процедуре, остается как неосознаваемым, так и непознаваемым».

Это ограничение (необходимость в котором следует из обоснованного в §3.2 исключения случая I) со всей очевидностью приводит к невозможности показать, что процедураэквивалентна математической интуиции, поскольку посредством подобной демонстрации мы могли бы однозначно убедиться в том, что процедура действительно выполняет ту роль, о самом факте выполнения которой мы предположительно не в состоянии ничего знать. И наоборот, если бы эта самая роль процедуры (роль фундаментального алгоритма, в соответствии с которым осуществляется постижение математических истин) допускала осознанное познание (в том смысле, что мы могли бы в полной мере постичь, как именно процедуравыполняет эту свою роль), то нам пришлось бы признать и обоснованность. Ибо если мы не допускаем, что процедурацеликом и полностью обоснована, то это означает, что мы отвергаем какие-то ее следствия. А ее следствиями являются как раз те математические положения (или хотя бы только-высказывания), которые мы полагаем-таки истинными. Таким образом знание роли процедурыравнозначно наличию доказательствахотя такое «доказательство» и нельзя считать формальным доказательством в рамках некоторой заранее заданной формальной системы.

Отметим также, что истинные-высказывания можно рассматривать в качестве примеров тех самых «корректных теорем конечной теории чисел», о которых говорил Гёдель. Более того, если понятие «конечной теории чисел» включает в себя-операцию «отыскания наименьшего натурального числа, обладающего таким-то свойством», в каковом случае оно включает в себя и процедуры, выполняемые машинами Тьюринга (см. конец § 2.8), то тогда частью конечной теории чисел следует считать все-высказывания. Иными словами, получается, что доказательство гёделевского типа не дает четкого способа исключить из рассмотрения случай II, руководствуясь одними лишь строго логическими основаниями — по крайней мере, до тех пор, пока мы полагаем, что Гёдель был прав.

С другой стороны, можно задаться вопросом об общем правдоподобии предположения II. Рассмотрим, что повлечет за собой существование познаваемой процедурынепознаваемым образом эквивалентной человеческому математическому пониманию (заведомо непогрешимому). Как уже отмечалось, ничто не мешает нам мысленно перенестись в некое будущее время, в котором эта процедура окажется обнаружена и подробно описана. Известно также (см. §2.7), что формальная система задается в виде некоторого набора аксиом и правил действия. Теоремы системыпредставляют собой утверждения (иначе называемые «положениями»), выводимые из аксиом с помощью правил действия, причем все теоремы можно сформулировать посредством того же набора символов, который используется для выражения аксиом. А теперь представим себе, что теоремы системыв точности совпадают с теми положениями (сформулированными с помощью упомянутых символов), неопровержимую истинность которых математики, в принципе, способны самостоятельно установить.