Для того чтобы лучше разобраться в значении гёделевского доказательства, полезно будет вспомнить, с какой, собственно, целью оно было первоначально предпринято. На рубеже веков ученые, деятельность которых была связана с фундаментальными математическими принципами, столкнулись с весьма серьезными проблемами. В конце XIX века — в значительной степени благодаря глубоко оригинальным математическим трудам Георга Кантора (с «диагональным доказательством» которого мы уже познакомились) — математики получили в распоряжение эффективные методы доказательства некоторых наиболее фундаментальных своих результатов, основанные на свойствах бесконечных множеств. Однако с этими преимуществами оказались связаны и не менее фундаментальные трудности, проистекающие из чересчур вольного обращения с концепцией бесконечного множества. Особо отметим парадокс Рассела (на который я вкратце ссылался в комментарии к Q9, см. также §3.4 — Кантор о нем также упоминает), обозначивший некоторые препятствия, подстерегающие склонных к опрометчивым умозаключениям. Тем не менее, все понимали, что если вопрос о допустимости тех или иных методов рассуждения продумать с достаточной тщательностью, то можно добиться очень и очень впечатляющих математических результатов. Проблема, по всей видимости, сводилась к отысканию способа, посредством которого можно было бы в каждом конкретном случае абсолютно точно определить, была ли соблюдена при выборе метода рассуждения «достаточная тщательность».
Одной из главных фигур движения, поставившего перед собой цель достичь этой точности, был великий математик Давид Гильберт. Движение окрестили формализмом; в соответствии с его основополагающим принципом, следовало однозначно определить все допустимые методы математического рассуждения в пределах той или иной конкретной области раз и навсегда, включая и те, что связаны с понятием бесконечного множества. Такая совокупность правил и математических утверждений называется формальной системой. После того как определены правила формальной системы F, решение вопроса о корректности применения этих правил — количество которых непременно является конечным — сводится к элементарной механической проверке. Разумеется, если мы хотим, чтобы любой выводимый с помощью таких правил результат мог считаться действительно истинным, нам придется присвоить им всем статус вполне допустимых и обоснованных форм математического рассуждения. Однако некоторые из рассматриваемых правил могут подразумевать какие-либо манипуляции с бесконечными множествами, и в этом случае математическая интуиция, подсказывающая нам, какие методы рассуждения допустимы, а какие нет, может оказаться и не достойной абсолютного доверия. Сомнения в этой связи как. нельзя более уместны, учитывая несоответствия, возникающие при столь вольном обращении с бесконечными множествами, что допустимым становится даже парадоксальное «множество всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рассела. Правила системы F не должны допускать существования «множества» Рассела, но где же, в таком случае, следует провести границу? Вообще запретить применение бесконечных множеств было бы слишком строгим ограничением (обычное евклидово пространство, например, содержит бесконечное множество точек, да и множество натуральных чисел является бесконечным); кроме того, существуют же формальные системы, абсолютно в этом смысле удовлетворительные (поскольку в их рамках не допускается, к примеру, формулировать сущности, подобные «множеству» Рассела), применяя которые можно получить большую часть необходимых математических результатов. Откуда нам знать, каким из этих формальных систем можно верить, а каким нельзя?
Рассмотрим подробнее одну такую формальную систему F; для математических утверждений, которые можно получить с помощью правил системы F, введем обозначение ИСТИННЫЕ, а для утверждений, отрицания (т. е. утверждения, обратные рассматриваемым) которых выводятся из того же источника, — обозначение ЛОЖНЫЕ. Любое утверждение, которое можно сформулировать в рамках системы F, но которое не является в этом смысле ни истинным, ни ложным, будем полагать неразрешимым. Кто-то, возможно, сочтет, что поскольку на деле может оказаться «бессмысленным» и само понятие бесконечного множества, то, по всей видимости, нельзя абсолютно осмысленно говорить ни об истинности, ни о ложности относящихся к ним утверждений. (Это мнение применимо, по крайней мере, к некоторым разновидностям бесконечных множеств, если не ко всем.) Если придерживаться такой точки зрения, то нет особой разницы, какие именно утверждения о бесконечных множествах (некоторых разновидностей) оказываются ИСТИННЫМИ, а какие — ЛОЖНЫМИ, лишь бы не вышло так, что одно утверждение получится ИСТИННЫМ и ЛОЖНЫМ одновременно, т.е. система F должна все же быть непротиворечивой. Собственно говоря, в этом и состоит суть истинного формализма, а в отношении формальной системы F первостепенно важно знать лишь следующее: (а) является ли она непротиворечивой и (Ь) является ли она полной. Система F называется полной, если любое математическое утверждение, должным образом сформулированное в рамках F, всегда оказывается либо истинным, либо ЛОЖНЫМ (т. е. НЕРАЗРЕШИМЫХ утверждений система F не содержит).
Для строгого формалиста вопрос о том, является ли то или иное утверждение о бесконечных множествах действительно истинным в сколько угодно абсолютном смысле, не обязательно имеет смысл и, уж конечно же, не имеет никакого существенного отношения к процедурам формалистской математики. Таким образом, поиски абсолютной математической истины в отношении утверждений, связанных с упомянутыми бесконечными величинами, заменяются стремлением продемонстрировать непротиворечивость и полноту соответствующих формальных систем. Какие же математические правила допустимо использовать для такой демонстрации? Достойные доверия, прежде всего, причем формулировка этих правил никоим образом не должна основываться на сомнительных рассуждениях с привлечением слишком вольно определяемых бесконечных множеств (типа множества Рассела). Была надежда на то, что в рамках некоторых сравнительно простых и очевидно обоснованных формальных систем (например, такой достаточно элементарной системы, как арифметика Пеано) отыщутся логические процедуры, которых будет достаточно для того, чтобы доказать непротиворечивость других, более сложных, формальных систем — скажем, системы F, — непротиворечивость которых уже не столь бесспорна и в рамках которых допускаются формальные рассуждения об очень «больших» бесконечных множествах. Если принять философию формалистов, то подобное доказательство непротиворечивости для F, как минимум, даст основание для использования методов рассуждения, допустимых в рамках системы F. Затем можно доказывать математические теоремы, применяя концепцию бесконечных множеств тем или иным непротиворечивым образом, а может, удастся и вовсе избавиться от необходимости отвечать на вопрос о реальном «смысле» таких множеств. Более того, если удастся показать, что система F является еще и полной, то можно будет вполне резонно счесть, что эта система действительно содержит абсолютно все допустимые математические процедуры; т. е. представляет собой, в некотором смысле, полное описание математического аппарата рассматриваемой области.
Однако в 1930 году (публикация состоялась в 1931) Гёдель взорвал свою «бомбу», раз и навсегда показав, что мечта формалистов принципиально недостижима. Он продемонстрировал, что не может существовать формальной системы F, которая была бы одновременно и непротиворечивой (в некоем «сильном» смысле, который мы рассмотрим в следующем разделе), и полной, — при условии, что F считается достаточно мощной, чтобы сочетать в себе формулировки утверждений обычной арифметики и стандартную логику. Таким образом, теорема Гёделя справедлива для таких систем F, в рамках которых арифметические утверждения типа теоремы Лагранжа и гипотезы Гольдбаха (см. §2.3) формулируются как утверждения математические.
В дальнейшем мы будем рассматривать только те формальные системы, которые являются достаточно обширными, чтобы содержать в себе необходимые для действительной формулировки теоремы Гёделя арифметические операции (а также, в случае нужды, и операции какой угодно машины Тьюринга; см. ниже). Говоря о какой-либо формальной системе F, я обычно буду подразумевать, что она действительно достаточно обширна в этом смысле. Это допущение не отразится на наших рассуждениях сколько-нибудь существенным образом. (Тем не менее, рассматривая формальные системы в таком контексте, я, для пущей ясности, буду иногда снабжать их эпитетом «достаточно обширная» или иным подобным.)
