Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

Решение

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Исследуем его на сходимость.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом .

, .

Найдем .

Предел конечный и отличный от нуля.

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и ряд согласно признака сравнения. Следовательно данный ряд не является абсолютно сходящимся.

Применим к данному знакочередующемуся ряду признак Лейбница.

Найдем разность

;

,

так как при любом , при любом и при любом .

Первое условие Лейбница выполнено: . Проверим второе условие признака Лейбница: . Значит данный ряд сходится.

Причем он является условно сходящимся.

 

5. Найти область сходимости степенного ряда:

Решение

Найдем интервал сходимости ряда и исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Применим к ряду из модулей признак Даламбера, при фиксированном x:

;

Найдем предел

Если , то , , .

Интервалом сходимости является интервал .

Исследуем поведение ряда на концах интервала .

При имеем ряд .

Этот ряд расходится.

При х=9 получаем ряд

Применим к данному ряду признак Лейбница.

Очевидно выполнение обоих условий: , .

Ряд сходится условно, так как ряд из абсолютных величин расходится.

Следовательно, областью сходимости ряда является промежуток .

 

6. Найти разложение функции в степенной ряд по степеням x:

.

Решение

Используем разложение функции :

Заменяя в этой формуле на , получаем

Полученный ряд сходится при всех , т.е. при

Разложение имеет вид:

 

7. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенные интегралы с указанной погрешностью :

,

Решение

Применим ряд для :

Заменим на :

Разделив почленно ряд для на , получим

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получим

Поскольку этот ряд удовлетворяет признаку Лейбница:

1. , 2. , то погрешность при замене суммы такого ряда суммой его первых членов не превышает модуля первого отброшенного члена.

Ограничиваясь первыми двумя членами этого ряда, находим

 

8. найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения)

, .

Решение

Искомое решение запишем в виде ряда Моклорена

………………………

Подставляя найденные значения производных в ряд, получим искомое решение дифференциального уравнения.

- искомое решение.

 

 

Литература

1. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», М., 1960.

2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. «Краткий курс высшей математики 1, 2», М. 1978.

3. «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов». Под редакцией Б.П. Демидовича. М., 1960.

 

Содержание

Вопросы учебной программы третьего семестра ………………………………………….3

Основные формулы и теоремы………………………………………………………………..4

Типовые задания…………………………………………………………………………………7

Задания к аттестационной работе №3 по теме: «Кратные и криволинейные интегралы»…………………………………………………………………………………………8

Решение типового варианта……………………………………………………………………17

Задания к аттестационной работе №3 по теме: Ряды.……………………………………22

Решение типового варианта……………………………………………………………………33

 

Учебное издание

 

Составители: Пархимович Игорь Владимирович

Гоголинская Рената Альфонсовна

Остапчук Евгений Матвеевич