РОЗДІЛ 2. РОЗРАХУНКИ ПАРАМЕТРІВ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ МАТЕРІАЛІВ
Короткі теоретичні відомості
Напівпровідникові матеріали є основними для створення напівпровідникових інтегрованих мікросхем і активних компонентів для гібридних ІМС.
Основні фізичні властивості найпоширеніших напівпровідникових матеріалів наведено в табл. Д.1.1.
Питома провідність напівпровідників
Питому провідність власних напівпровідників розраховують за виразом:
  ,
| (2.1) |
де q – заряд електрона або дірки; ni, pi – концентрації власних носіїв; mn, mp – рухливість електронів і дірок, відповідно. Оскільки ni = pi:
 .
| (2.2) |
Питомий опір власних напівпровідників розраховують за виразом:
| (2.3) |
Концентрація носіїв заряду і питома провідність домішкових напівпровідників.За температури 300 К усі атоми широко вживаних донорних домішок будуть іонізовані. Концентрація електронів у зоні провідності за умов рівноваги приблизно дорівнює концентрації атомів донорної домішки:
| (2.4) |
де ND - концентрація донорних атомів домішки.
Концентрацію неосновних носіїв за умов рівноваги визначають за законом діючих мас:
 .
| (2.5) |
Визначальною в питомій провідності домішкового напівпровідника n – типу є домішкова електронна провідність:
 
| (2.6) |
Питомий опір є величина зворотна питомій провідності:
| (2.7) |
Для розрахунків питомої провідності домішкових напівпровідників p-типу можна скористатися виразами (2.4) – (2.7), урахувавши, що основними носіями будуть дірки. За умов рівноваги концентрація дірок у валентній зоні приблизно дорівнює концентрації атомів акцепторної домішки
| (2.8) |
де NA - концентрація акцепторних атомів домішки.
Концентрацію неосновних носіїв у напівпровіднику p – типу розраховують за виразом:
 .
| (2.9) |
Питому провідність і питомий опір напівпровідника p – типу визначають за виразами:
  ,
| (2.10) |
| (2.11) |
Залежність питомого опору силіцію за кімнатної температури від концентрації донорної або акцепторної домішки зображено на рис. 2.1.
Потенціал Фермі
Положення рівня Фермі власного напівпровідника Ei збігається із серединою забороненої зони. Якщо ж чистий напівпровідник легувати домішками, то рівень Фермі домішкового напівпровідника n-типу EFn зміщується на величину DE відносно Ei у напрямку до зони провідності
| (2.12) |
а рівень Фермі домішкового напівпровідника p-типу EFp зміщується в напрямку до валентної зони на величину 
відносно Ei
| (2.13) |
Співвідношення між DE і концентрацією електронів у напівпровіднику n-типу за умов рівноваги визначається за виразом:
| (2.14) |
Величину зміщення рівня Фермі відносно середини забороненої зони розраховують за виразом:
| (2.15) |
Електрони є основними носіями для напівпровідника n-типу. Концентрацію неосновних носіїв (дірок) у напівпровіднику n-типу розраховують за виразом:
| (2.15) |
Відповідні співвідношення між величиною зміщення рівня Фермі відносно середини забороненої і основними й неосновними носіями в домішковому напівпровіднику p-типу можемо записати:
 
| (2.16) |
| (2.17) |
Величина, що характеризує зміщення рівня Фермі домішкового напівпровідника відносно рівня Фермі власного напівпровідника називається потенціалом Фермі jF:
| (2.18) |
-  ,
| (2.19) |
де 
тепловий потенціал.
За відомих значень потенціалів Фермі концентрації основних носіїв у відповідних зонах розраховують за виразами:
 
| (2.20) |
| (2.21) |
Любій відомій концентрації донорних або акцепторних атомів відповідає значення потенціалу Фермі (2.18), (2.19) і рівня Фермі (2.12), (2.13).
Рухливість носіїв. Дрейфова швидкість носіїв заряду прямо пропорційна напруженості електричного поля за умови, якщо vдр багато менша швидкості теплового руху носіїв (1.105 м/с). Коефіцієнт пропорційності між дрейфовою швидкістю й напруженістю електричного поля називають рухливістю носія і позначають m
| vдр = m ξ. | (2.22) |
Рухливість носіїв залежить також від загальної концентрації домішок у силіції. На рис. 2.2 зображено залежність рухливості електронів і дірок від їх концентрації за слабкої напруженості електричного поля ξ (меншої 1.105 В/м) за нормальної (300 К) температури. Рухливість електронів приблизно в три рази вища рухливості дірок. За низької концентрації домішки (£1.1020 атом/м3), нормальної температури і слабкого електричного поля рухливість електронів mn» 0,135 м2 /(В.с), а рухливість дірок mp» 4,8.10-2 м2/(В.с).
Дрейфовий струм
Дрейфовий струм виникає за умови існування електричного поля в напівпровіднику. Електричне поле в напівпровіднику може бути створене як зовнішнім джерелом живлення, так і за рахунок перерозподілення зарядів у напівпровіднику.
Щільність дрейфового струму розраховують за формулами:
| Jдр=Jдр.n+Jдр.p, | (2.23) | |
| (2.24) |
де vдр.n і vдр.p - швидкості дрейфу електронів і дірок.
Для малих значень напруженості електричного поля ξ зберігається лінійна залежність між дрейфовою швидкістю vдр і напруженістю електричного поля ξ. Тому Jдр розраховують за виразом:
 ξ.
| (2.25) |
Оскільки концентрація основних носіїв nn і pp у відповідних напівпровідниках у 1.1010 і більше разів перевищує концентрацію неосновних носіїв, то щільність дрейфового струму (2.25) для напівпровідника, легованого донорною домішкою, розраховують за виразом:
 ξ,
| (2.26) |
а для напівпровідника, легованого акцепторною домішкою за виразом:
 ξ.
| (2.27) |
Співвідношення між прикладеним електричним полем і щільністю струму Jдр визначають законом Ома:
 ξ,
| (2.28) |
де 
- питома провідність напівпровідника.
Для домішкових напівпровідників питома провідність буде залежати від переважаючого типу носіїв. За нормальної температури (300 К) і умов рівноваги 
, a 
.
Дифузійний струм
Щільність дифузійного струму електронів пропорційна градієнту концентрації електронів і для одновимірного випадку
| (2.29) |
де Dn - коефіцієнт дифузії електронів; 
- градієнт концентрації електронів у напрямку руху. Знак мінус указує на те, що дифузія електронів відбувається у напрямку їх меншої концентрації.
Коефіцієнт дифузії електронів визначають за формулою Ейнштейна:
| (2.30) |
Вирази (2.29 і 2.30) можна використати для розрахунків щільності струму дифузії дірок.
Коефіцієнт дифузії електронів Dn або дірок Dp характеризує ступінь легкості проходження носіїв у кристалі. Для силіцію з низьким рівнем легування рухливість електронів і дірок буде відповідно mn» 0,135 м2/(Вс) і mp» 4,8.10-2 м2/(Вс). Оскільки величина kT/q за нормальної температури дорівнює приблизно 0,026 В, то розраховані значення коефіцієнтів дифузії будуть Dn» 3,5.10-3 м2/c і Dp»1,25.10-3 м2/c.
Довжину вільного пробігу рухливого заряду (дифузійну довжину носіїв заряду) Ln і Lp визначають за формулами:
| (2.31) |
| (2.32) |
де t - термін життя неосновних носіїв: tn - електронів і tp - дірок.
Приклад розв’язування задачі
Умова задачі.
Силіцієвий зразок p – типу провідності з питомим опором 0,2 Ом×м і розмірами: довжина 5 мм, ширина 1 мм і висота 1 мм, ввімкнено в електричне коло з напругою між протилежними гранями по довжині 10 В. Рухливість електронів і дірок дорівнює відповідно 0,130 і 0,048 м2/(В×с).
Розрахувати:
1) питому провідність;
2) опір зразка;
3) концентрації основних і неосновних носіїв;
4) відношення електронної питомої провідності до діркової;
5) дрейфові швидкості дірок і електронів;
6) коефіцієнти дифузії дірок і електронів;
7) дрейфові струми електронів і дірок;
8) повний дрейфовий струм.
Розв’язування задачі
1. Питому провідність визначають за формулою (2.3):
 ,
| |
  См/м.
|
2. Опір зразка розраховують за формулою:
 ,
|
 Ом.
|
3. Концентрацію акцепторів визначають за формулою для розрахунків питомої провідності власного напівпровідника (2.1):
| ,
| |
|
Виконують необхідні спрощення і перетворення і отримують рівняння:
|
Розв’язують останнє рівняння відносно pp. Це буде концентрація основних носіїв – дірок у силіцієвому зразку
 м-3.
|
Концентрація акцепторної домішки буде NA = 6,5×1020 м-3.
4. Концентрацію неосновних носіїв визначають за законом діючих мас (2.5):
|
 м-3.
|
5. Визначають відношення електронної питомої провідності до діркової:
|
|
6. Дрейфові швидкості дірок і електронів визначають за формулою (2.22):
 ξ,
|
  м/c,
|
  м/c.
|
7. Коефіцієнти дифузії дірок і електронів визначають за формулою (2.30):
 ,
|
 м2/c,
|
 м2/с.
|
8. Дрейфовий струм дірок і електронів визначають за формулами (2.27) і (2.26) з урахуванням площі перетину зразка:
 ξ =  мА,
|
 ξ =  А.
|
9. Повний дрейфовий струм визначають за формулою (2.25) з урахуванням площі перетину зразка:
 ξ  ,
|
  мА.
|
Рекомендована література
1. Прищепа М. М. Мікроелектроніка. В 3 ч. Ч. 1. Елементи мікроелектроніки [Текст]: навч. посіб. / М. М. Прищепа, В. П. Погребняк. / За ред. М. М. Прищепи. – К.: Вища шк., 2004. – 431 с.: іл.
2. Прищепа М. М. Мікроелектроніка. Елементи мікросхем. Збірник задач. [Текст]: навч. посіб. / М. М. Прищепа, В. П. Погребняк. / За ред. М. М. Прищепи. – К.: Вища шк., 2005. – 167 с.: іл.
3. Интегральные схемы на МДП – приборах: Пер. с англ. / Под ред. А. Н. Кармазинского. – М.: Мир, 1975. – 513 с.
РОЗДІЛ 3. РОЗРАХУНКИ І ПРОЕКТУВАННЯ ІНТЕГРОВАНИХ ДIОДІВ
