Виды двухместных отношений

§ Обратное отношение ^{[ уточнить ]} (отношение, обратное к R) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R⁻¹. Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R⁻¹)⁻¹ = R.

§ Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.

§ Рефлексивное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х этого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, то есть для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.

§ Антирефлексивное отношение (Иррефлексивное отношение, ометим, что также как антисимметричность не совпадает с несимметричностью иррефлексивность не совпадает с нерефлексивностью.) — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), то есть возможен случай, что элемент множества не находится в отно­шении R к самому себе. Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».

§ Транзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy&yRz xRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».

§ Нетранзитивное отношение ^{[ уточнить ]} — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz ( (xRy&yRz xRz)). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»

§ Симметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy), следует, что и у находится в том же отношении к х (уRx). Примером симметричных отношений могут быть равенство (=), отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).

§ Антисимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy и xR⁻¹y следует х = у (то есть R и R⁻¹ выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).

§ Асимметричное отношение ^{[ уточнить ]} — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy следует yRx. Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

§ Отношение эквивалентности (отношение тождества^{[ уточнить ]}, отношение типа равенства) — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям):

1. аксиоме рефлексивности (см. выше): xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе);

2. аксиоме симметрич­ности (см. выше): xRy yRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у, то и у находится в отношении R к х);

3. аксиоме транзитивности (см. выше): xRy&yRz xRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к г).

Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке^{[ источник не указан 668 дней ]}, подобие, одновременность. Пример отношения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».

§ Отношения порядка — отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — «строгий» порядок.

§ Функция — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что каждому значению x отно­шения xRy соответствует лишь одно-единственное значение y. Пример: «y отец x». Свойство функциональности отно­шения R записывается в виде аксиомы: (xRy и xRz)→(y ≡ z). Поскольку каждому значению x в выражениях xRy и xRz соответствует одно и то же значение, то y и z совпадут, окажутся одними и теми же. Функциональное отношение однозначно, поскольку каждому значению x отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение y, но не наоборот.

§ Биекция (одно-однозначное отношение) — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у, и каждому значению у соответствует единственное значение х. Одно-однозначное отношение является частным случаем однозначного отношения.

§ Связанное отношение — это двухместное отношение R, определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что для любых двух различных элементов х и у из этого множества, одно из них находится в отношении R к другому (то есть выполнено одно из двух соотношений: xRy или yRx). Пример: отношение «меньше» (<).

 

Билет 13 вопрос 1

 

№	Название этапа	Содержание
	Ассоциация	О моделируемой системе, которая обычно задана заранее, составляется путем свободных ассоциаций прочитанного или услышанного от специалиста в данной предметной области смутное представление.
	Концептуализация	Выбирается точка зрения, с которой смотрят на систему, абстрагируясь от несущественных ее свойств. Тем самым формулируются в общем виде пределы применимости модели. Избирается тот раздел математики, тот язык, описывающий наиболее уместно физическую ситуацию. Не исключено составление вспомогательных графических схем.
	Формализация: 1	Определяется, что будет «входом» и «выходом» модели. Выписываются основные переменные модели и уравнения связей (в первом приближении).
	Формализация: 2	Модель дорабатывается, наносятся последние штрихи. Зачастую дополнительно производится процедура обезразмеривания, которая вставит в соответствие модели, выписанной в естественных размерных переменных, модель, представленную в сугубо математическом виде, пригодной для обработки.
	Алгоритмизация и программирование	Выбирается или создается заново компьютерная программа, реализующая модель. В любом случае применяется вычислительная математика и пишут программные скрипты (на внутреннем языке или на языке высокого уровня). Иногда подбирается интерфейс.
	Идентификация параметров и тестирование	Осуществляется, как правило, параллельно п.5. Ключевое значение имеет обоснованность выбора численных параметров модели. Для того, чтобы исключить возможность ошибки в программно реализованном вычислительном алгоритме, составляются тестовые примеры, желательно для каждого блока программы-скрипта. Таким образом, для некоторых случаев результаты моделирования должны быть заранее известны.
	Верификация	Если показана корректность работы программы, то в рабочем режиме проводится серия вычислительных экспериментов. Результаты моделирования семантически анализируются и сравниваются с известными, извлекается новое научно-техническое знание, оформляемое в виде научно-технических статей и отчетов

Билет 13 вопрос 2

Исчисление (или формальная теория) – это игра со знаками, со словами и предложениями, составленными из знаков. Правила игры заранее оговорены, точно и строго прописаны, неоднозначности человеческого языка по определению невозможны; всякая семантика исключена. Идея формальных теорий принадлежит Д.Гильберту, основателю программы финитизма. К сожалению, изложение ведется, опираясь на множества.

 

Формальная теория T состоит из следующих компонент:

1. Множества знаков, образующих алфавит языка теории

2. Множества слов, составленных из знаков алфавита, называемых формулами

3. Подмножества формул всего множества формул, называемых аксиомами

4. Множества правил вывода, с помощью которых из формул получают формулы

В язык теории T входит алфавит и формулы. Количество аксиом может быть конечным и бесконечным. В последнем случае для наглядного представления они задаются с помощью схем. По схемам легко выписываются аксиомы. Под логическими аксиомами, как правило, понимают аксиомы базовой логики, над которыми надстраиваются конкретные теории за счет добавления новых аксиом, отражающих специфику конкретной теории. Такие аксиомы называют нелогическими. Обычно формулы состоят из конечного числа знаков, но бывают бесконечно длинные формулы. Гильбертово исчисление высказываний см. в Приложении 13.

 

Гильбертово исчисление высказываний (ГИВ) и исчисление предикатов

 

Чистое исчисление предикатов (добавочные к ГИВ конструкты)

...

5.

 

Билет 14 вопрос 1

Классификация моделей