§ 
— рациональные числа,
§ 
— вещественные числа,
§ 
— комплексные числа,
§ 
— поле вычетов по модулю p, где p — простое число.
§ 
— конечное поле из q = pk элементов, где p — простое число, k — натуральное.
§ 
— поле рациональных функций вида f / g, где f и g — многочлены над некоторым полем 
(при этом 
, а f и g не имеют общих делителей, кроме констант).
§ Числа вида 
, 
, относительно обычных операций сложения и умножения.
Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:
1. 
— коммутативность сложения;
2. 
— ассоциативность сложения;
3. 
— существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. 
— существование обратного элемента относительно сложения;
5. 
— ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы[1])
6. 
— дистрибутивность.
Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра 
, такая что алгебра 
— абелева группа, и операция + дистрибутивна слева и справа относительно 
. Кольцо ассоциативно, если мультипликативный группоид является полугруппой.
Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:
§ наличие единицы: 
(кольцо с единицей);
§ коммутативность умножения: 
(коммутативное кольцо);
§ отсутствие делителей нуля: 
.
Кольца, для которых выполнены два последние свойства, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).
Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.
Связанные определения
§ Подмножество 
называется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R. По определению, оно непусто, поскольку содержит нулевой элемент.
§ Ассоциативное кольцо с единицей 
, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
§ Коммутативное тело называется полем. Иначе говоря, поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов.
§ Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом.
Простейшие свойства
Пусть R — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:
§ 
, то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.
§ 
, где (− b) — элемент, обратный к b по сложению.
§ 
§ 
Примеры
§ {0} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Считать этот тривиальный пример кольцом важно с точки зрения теории категорий, так как при этом в категории колец возникает нулевой объект, через который пропускается любой нулевой гомоморфизм колец.
§ 
— целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над .
§ 
— кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Они являются полями тогда и только тогда, когда число n простое. Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, Их также можно использовать для построения p-адических чисел.
§ — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по всем неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел и p-адических чисел 
, где p — произвольное простое число.
§ Для произвольного (коммутативного, ассоциативного) кольца R можно построить кольцо многочленов от n переменных 
с коэффициентами в R. В частности, R [ x ][ y ] = R [ x, y ]. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: 
.
§ Кольцо бесконечно гладких вещественнозначных функций 
на многообразии M — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Умножение и сложение в нём определяются поточечно:
Нулевой элемент — функция, тождественно равная 0, единичный — тождественно равная 1. Обратимыми элементами в нём являются нигде не равные 0 функции, делителями нуля — функции, равные 0 на некотором открытом множестве в M. Это кольцо не имеет нильпотентов, так как их нет в , а умножение поточечно. Если M компактно, то максимальными идеалами в нём являются множества функций, зануляющихся в данной точке:
причём максимальные идеалы совпадают с простыми.
§ Кольцо подмножеств множества X — это кольцо, элементами которого являются подмножества в X. Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:
Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пусто множество, единичным — всё X. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть 
. Любой элемент является своим обратным по сложению: A + A = 0. Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей.
§ Кольцо когомологий — это важный топологический инвариант, связанный с любым топологическим пространством.
§ Если R — кольцо в категории 
, то множество 
является кольцом (в обычном смысле) для любого объекта 
.
§ Кольцо периодов — множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в 
заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами.
Билет 7 вопрос 1
