II. Разложение в степенные ряды с использованием представления основных элементарных функций в виде ряда Маклорена

Имеют место разложения в ряды Маклорена следующих функций:

(3.9)

Используя эти разложения, можно находить разложения других функций. При этом отпадает необходимость исследования поведения остаточного члена , так как интервалы сходимости рядов, полученных для основных элементарных функций, известны.

Прежде чем приступить к дальнейшему рассмотрению, напомним некоторые свойства элементарных функций и формулы, их связывающие:

Пример 3.3. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . (Это второй способ решения примера 3.2.) Сведём задачу о

разложении в ряд Тейлора к разложению в ряд Маклорена, используя замену переменной. .

Найдём область сходимости ряда к данной функции. Из разложения (3.8) имеем: .

Сравнивая результаты примеров 3.2 и 3.3, видим, что данный способ позволяет получить результат более рационально.

Пример 3.4. Разложить функцию по степеням .

Как и в предыдущем примере, сведём задачу о разложении в ряд Тейлора к разложению в ряд Маклорена с помощью линейной замены:

Область сходимости полученного ряда: .

Пример 3.5. Разложить функцию по степеням .

(Далее, с помощью формул (3.4) и (3.5), считая , получаем):

Заметим, что в полученном разложении присутствуют все степени 2t, начиная с нулевой. Попробуем объединить оба ряда в один вида :

Окончательно,

P.S. Чередование знака по два в общем элементе можно записать следующим образом: , или .

Пример 3.6. Разложить функцию по степеням .

Далее, используя формулу (3.3), принимая в ней , получаем:

. Получившиеся три ряда имеют одинаковые степени, начиная с . Преобразуем результат в одну сумму вида . Сначала «сместим» индексы так, чтобы в каждой из сумм степени t были одинаковыми. Для этого в первой сумме заменим n+2 на n, во второй заменим n+1 на n. Суммы станут выглядеть так:

У всех трёх сумм одинаковы степени t, начиная с .Вычислим слагаемые с меньшими степенями t, т.е. и .

Ответ: .

Пример 3.7. Разложить функцию по степеням .

Представим полученную дробь в виде суммы простых дробей методом неопределённых коэффициентов:

. Итак, исходную функцию можно представить в виде: .

Далее, с помощью (3.10),получим: .

Так как , область сходимости этого ряда .

Аналогично, .

Так как , область сходимости этого ряда .

Окончательно,

Область сходимости полученного ряда: .

Пример 3.8. Разложить функцию по степеням x.

Область сходимости данного ряда: .

Пример 3.9. Разложить функцию в ряд Маклорена.

. Напомним, что степенной ряд можно почленно интегрировать в области сходимости. Разложим с помощью формулы (3.9) для m=-1/2 в ряд Маклорена функцию ,а затем, проинтегрировав полученный ряд, получим разложение исходной функции.