Нахождение области сходимости степенного ряда

Определение. Степенной ряд - это функциональный ряд вида

, (2.1) где - постоянные, называемые коэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится абсолютно для всех x, таких, что . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится при любом x, для которого .

Следствие. Каждому степенному ряду соответствует действительное число , или символ + ∞, называемое радиусом сходимости. При этом внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне данного интервала ряд расходится, поведение в граничных точках каждый раз требует отдельного исследования.

Если R= + ∞, то степенной ряд сходится абсолютно на всей числовой оси. Радиус сходимости числового ряда связан с его коэффициентами формулами Коши-Адамара: , или . Данные формулы получаются непосредственно в результате применения к ряду

достаточных признаков сходимости Коши - радикального или Даламбера.

 

План нахождения области сходимости степенного ряда.

При конкретном значении x числовой ряд, получающийся из степенного, может оказаться знакопеременным. Учитывая это, исследуем ряд, как числовой, считая x фиксированным, сначала на абсолютную сходимость.

1. Применим к ряду из модулей достаточный признак Даламбера или Коши – радикальный (проверку необходимого признака можно пропустить): ,

или: .

2. Решая это неравенство, определим интервал абсолютной сходимости , или, .

Вне полученного интервала не выполняется необходимый признак сходимости, следовательно, здесь ряд расходится.

3. Чтобы выяснить поведение ряда в граничных точках, подставим в исходный ряд по очереди значения ,

и исследуем получившиеся числовые ряды.

В следующих примерах найти области сходимости рядов:

Пример 2.1. .

1. Составим ряд из модулей:

и применим к нему признак Коши – радикальный:

.

Так как для сходимости по признаку Коши необходимо выполнение неравенства , требуем: .

Откуда получаем: .

Итак, - интервал абсолютной сходимости ряда.

Выясним поведение ряда в граничных точках интервала сходимости.

2. Подставляем в исходный ряд:

Получили знакоположительный ряд. Проверим выполнение необходимого признака сходимости: .

Необходимый признак не выполнен – ряд в точке расходится.

3. Подставляем в исходный ряд: .

Получили знакочередующийся ряд. Так как

, ряд в точке тоже расходится.

Ответ: интервал абсолютной сходимости ряда .

Пример 2.2. .

1. Составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера:

.

Итак, интервал - область абсолютной сходимости степенного ряда.

Исследуем поведение ряда в граничных точках.

2. Подставим в ряд: .

Получили знакочередующийся ряд. Составим ряд из модулей: . Необходимый признак выполнен: .

Применим к ряду из модулей интегральный признак: интеграл расходится, ряд из модулей расходится. Т. к. монотонно убывает при увеличении номера n, ряд условно сходится в точке по признаку Лейбница.

3. Подставим в ряд: .

Получили знакоположительный расходящийся ряд (см. пункт 2).

Ответ: область сходимости ряда. Интервал - область абсолютной сходимости, в точке ряд сходится условно.

Пример 2.3. .

1. Составим ряд из модулей и применим к нему признак Коши:

.

Область абсолютной сходимости ряда .

Исследуем поведение ряда в граничных точках области сходимости.

2. Подставим в ряд: .

Получили знакопеременный ряд. Исследуем ряд из модулей: .

Необходимый признак выполнен: .

Далее применим признак сравнения: .

Все члены ряда из модулей не превосходят членов сходящегося ряда Дирихле , следовательно, ряд сходится абсолютно.

Значит, ряд сходится абсолютно в точке .

3. Подставим в ряд: .

В точке степенной ряд сходится абсолютно (см. пункт 2).

Ответ: - область абсолютной сходимости данного ряда.

Пример 2.4.

1. Составим ряд из модулей и исследуем его по признаку Даламбера:

; ;

- область абсолютной сходимости ряда. Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала сходимости. Подставим в ряд: - знакочередующийся ряд. Проверить выполнение необходимого признака в данном случае достаточно трудно. Заметим, что

Очевидно, что , а это значит, что каждый последующий член ряда больше предыдущего, то есть не выполняется необходимый признак сходимости – ряд расходится.

3. В точке получим расходящийся ряд . Ответ: - область абсолютной сходимости ряда.