dy = y ¢ dx, 
y = c 1 x ¾ общее решение уравнения.
Пример 2. Доказать, что функция
у = С 1 ех + С 2 е 2 х (1)
является решением уравнения
у" – 3 у' + 2 у = 0. (2)
Решение. Последовательно дифференцируя (1), приходим к равенствам:
y' = С 1 ех + 2 С 2 е 2 х ,
у" = С 1 ех + 4 С 2 е 2 х .
Решая эту систему относительно С 1 ех и С 2 е 2 х , получаем:
С 1 ех = 2y' – у",
Подставляя эти выражения в (1), приходим к (2).
Пример 3. Проверить, что функция
у 3 – Сх 3 + 3 ху = 0 (3)
является интегралом уравнения
у 3 – (ху 2 + х 2) у' + 2 ху = 0. (4)
Решение. Дифференцируя (3) по х в предположении, что у = у (х), приходим к равенству
у 2 у' – Сх 2 + у + ху' = 0,
откуда
Сх 2 = (у 2 + х) у' + у.
Подставляя выражение для Сх 2 из последнего равенства в (3), имеем:
у 3 – (у 2 y' + хy' + y) x + 3 ху = 0,
что равносильно (4).
Пример 4. Найти дифференциальное уравнение семейства кривых
y = C (x – C)2. (5)
Решение. Дифференцируя (5) по переменной х, получаем
y' =2 C (x – C), (6)
откуда
С 2= Сх – 5у'. (7)
С помощью равенства (7) преобразуем (5) так, что постоянная С будет входить в запись слагаемых полученного выражения встепенях не более первой:
у =0,5 ху' –0,5 Су'.
Следовательно,
Су' = ху' – 2 у. (8)
Умножая (6) на (у')2, получаем
(у')3=2 ху' (Су') – 2(Су')2.
Исключая из полученного равенства Су' с помощью (8), окончательно имеем:
(у')3=4 хyу' – 8y 2.
Пример 5. Найти решение уравнения
удовлетворяющие начальному условию у (0) = 1.
Решение. Из определения неопределенного интеграла <…>, следует, что общее решение заданного уравнения имеет вид:
Используя преобразование переменной под знаком дифференциала, получаем
Учитывая начальное условие, приходим к равенству 1 = 1 + С, откуда С = 0. Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
Геометрически найденная функция представляет интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через точку (0, 1). ►
Пример 6. Решить уравнение:
yx2dy – ln xdx = 0. (10)
Решение. Исходное уравнение перепишем в виде
. 
(11)
Таким образом, имеем уравнение с разделяющимися переменными и из (11) следует:
Интеграл левой части — табличный. Для нахождения интеграла правой части воспользуемся формулой интегрирования по частям, где
и = ln x,:
Окончательно интеграл уравнения (10) имеет вид:
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Правая часть уравнения является однородной функцией степени 0 по переменным х и у, так как
Поэтому данное уравнение — однородное. Для его решения воспользуемся заменой переменной z = у / х, где z = z (х). Тогда у' = zx y'=z'x + z, иуравнение (12.13) принимает вид:
или
что равносильно
т.е. приходим к уравнению с разделяющимися переменными. Выполняя почленное интегрирование последнего равенства, получаем
Возвращаясь к исходной переменной, после преобразования имеем:
Пример 8:
1) (1 + x2)y" – 2ху' = 0.
Замена y' = p, p = p (x), y'' = p' Þ (1+ х 2) p' – 2хр =0 — уравнение с разделяющимися переменными Þ
y' = c 1(1 + x 2) Þ dy = c 1(1 + x 2) dx Þ
y = c 1(x + x 3/3) + c 2. ►
2) 1 + y'2 –= 2yу''.
Замена y' = p, p = p(y), у" = р'р, 1 + р2 =2урр' — уравнение с разделяющимися переменными
Пример 9: Решить уравнение
y" = y' ctg x.
Решение. Положим z = 1. Тогда у" = (у') ' = z' и исходное уравнение принимает вид
z' = z ctg x. (12.28)
Пусть z ≠ 0. Тогда из (12.28) следует:
или
Интегрируя почленно последнее равенство, получаем
ln|z| = ln|sin x| + lnC1,
где С1 > 0, или
z = ± С 1sin x.
Так как z = 0 является решением уравнения (12.28),то произвольное решение этого уравнения имеет вид:
z = С1sin x, (12.29)
где С 1 — произвольное число.
Так как 
то из (12.29) следует:
dy = С1sin xdx.
Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем
у = – С1cos x + C2. ►
Пример 10: Решить уравнение
yy" = y2y' + (y')2,
Решение. Пусть z = y', тогда, где и исходное уравнение принимает вид: dy
yzz' = y 2 z + z 2, (12.30)
т.е. становитсяуравнением относительно функции z = z(y). Очевидно, z = 0 — решение уравнения (12.30), откуда у = С,где С — произвольное число.
Пусть z ≠0. Тогда из (12.30) следует, что
yz' = y2 + z (12.31)
— линейное уравнение первого порядка.Решение этого уравнения будем искать в виде z = uv,где v = v (y) — некоторое решение уравнения
yv' – v = 0, (12.32)
и = и (у) — решение уравнения
u'v = y. (12.33)
Решая (12.32), в частности, имеем v = у. Тогда (1233) приводит к уравнению и' =1, откуда и = у + С 1, т.е. решение (12.31) имеет вид:
z = y 2+ C ] y.
Так как z = y', то приходим к уравнению
Пусть С 1 = 0. Тогда при y ≠0 имеем
и, следовательно, х= у–1 + С2, или
у =(С 2 – х) –1. (12.34)
Пусть C1 ≠ 0, тогда
и после интегрирования:
Окончательно решение исходного уравнения имеет вид у = С или (12.34), или (1235)
Пример 11.
xy ¢ - y - x - 1 = 0.
y = x ln x + Cx - 1 ¾ общее решение уравнения.
Пример 12.
Решить уравнение
Решение. Будем искать решение этого линейного уравнения в виде
у = и × v,
где v = v (x) — некоторое решение уравнения
u = u (x) — решение уравнения
vu' = x 2. (12.19)
Уравнение (12.18) — с разделяющимися переменными:
Выполняя почленное интегрирование последнего равенства, получаем:
ln|v| = –ln|x + 1| + C.
Поскольку в данном случае достаточно найти некоторое решение уравнения (12.18), то удобно полагать С =0, тогда
Подставляя найденную функцию v в уравнение (12.19), приходим к уравнению
du = (x 3 + x 2) dx.
В результате почленного интегрирования последнего равенства получаем
Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид:
Пример 13.
Решить уравнение
(у 3 – ху) у' = 1.
Решение. Будем искать решение этого уравнения в виде x = х (у) (т.е. считая, что у — независимая переменная, а х — функция от у). Так как
то исходное уравнение линейно относительно функции х:
х' + ху = у 3. (12.20)
Решим соответствующее однородное уравнение:
х' + ху = 0. (12.21)
Пусть х ≠ 0. Тогда
Последнее равенство равносильно
Учитывая, что х = 0 — решение уравнения (12.21),получаем, что общее решение этого уравнения имеет вид:
12.22
Полагая, что С 2= С 2(у), найдем эту функцию из условия, что (12.22) — решение уравнения (12.20). Из (12.22) следует, что
12.23
Подставляя (12.22), (12.23) в (12.20), приходим к уравнению
или
Тогда
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Подставляя найденное выражение для функции С 2= С 2(у) в (12.22), получаем решение уравнения (12.20):
Пример 14.
Решить уравнение
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли при n = 2. Отметим, что у = 0 является решением этого уравнения. Пусть у ≠ 0. Воспользуемся заменой переменной z = у 1 – n = у –1. Тогда у = z –1, у' = – z –2 z' и исходное уравнение принимает вид:
Решим сначала однородное уравнение
Пусть z ≠ 0. Тогда
ln|z| = ln|x| = lnC2, (12.26)
где С 2 — произвольное положительное число. Равенство (12.26) перепишем в виде:
| z | = С 2| х | или z = ± С 2 х.
Учитывая, что z = 0 является решением уравнения (12.25), получаем, что произвольное решение этого уравнения имеет вид:
z = С 1 х,(12.27)
где С 1 — любое число.
Положим теперь, что С 1 = С 1(х) и найдем эту функцию С 1 из условия, что (12.27) — решение уравнения (12.24). Из (12.27) следует, что
Тогда, учитывая (12.27), получаем, что уравнение (12.24) принимает вид:
или
dC 1 = dx,
и поэтому
С 1 = х + С.
Подставляя это выражение в (12.27), имеем решение уравнения (12.24):
z = (x + C) x.
Так как
то окончательно решение исходного уравнения
имеет вид:
у (х 2+ Сх) = 1,
или
y = 0.
Пример 15. Решить уравнения:
а) y'' – 3 y' + 2 y = 0;
Решая характеристическое уравнение
λ2 – 3λ + 2 = 0,
находим его корни λ1 = 1, λ2 = 2. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид
y = C 1 ex + C 2 e 2 x .
б) y'' – 2 y' + y = 0
Решая характеристическое уравнение
λ2 – 2λ + 1 = 0
получаем λ1 = λ2 = 1
Согласно п. 2 теоремы общее решение дифференциального уравнения имеет вид
y = (C 1 + C 2 x) ex.
в) y'' – 2 y' + 2 y = 0.
Характеристическое уравнение
λ2 – 2λ + 2 = 0
не имеет действительных корней. В этом случае согласно п. 3 теоремы общее решение дифференциального уравнения имеет вид
y = C1exsin x + C2excos x (a = β = 1).
Пример 16.
¾ неоднородное уравнение.
¾ соответствующее ему однородное уравнение.
¾ общее решение однородного уравнения.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде
Подставим эту функцию в неоднородное уравнение:
Приравняем коэффициенты при sin x и cos x.
¾ частное решение неоднородного уравнения.
¾ общее решение неоднородного уравнения.
Пример 17.
у" + у' = 5 х + 3. ◄ Ищем решение в виде
.
а) y * — общее решение уравнения
у" + у' = 0,
его характеристическое уравнение
k 2 + k = 0, т.е. k 1= 0, k 2 = –1 Þ у * = с 1 + c 2 e – x:
б) — частное решение уравнения
у" + у' = 5 х + 3
— ищем в виде
так как правая часть уравнения — многочлен первой степени и k 1= 0. Подставим в уравнение:
2A + B = 3 Þ A = 5/2, B = – 2.
Таким образом,
y = c 1 + с 2 е – x + 5 х 2/2 – 2 х
Основная литература
1. Шипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для вузов.- 8-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2007.- 479с., илл. ББК 22.1 МО
2. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 208с. ББК 22.1 ФИРО
3. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 416с. ББК 22.1 ФИРО
4. Федорова Н.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7227-3
5. Лукша В.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7228-0
6. Гунько Ю.А. Математический анализ. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7230-3
7. Щербакова Ю.В. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Научная книга. 2012.
8. Боронина Е.Б. Математический анализ. Учебное пособие. Научная книга. 2012.
Дополнительная литература
1. Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.
3. Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.
4. Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004
Формы текущего контроля знаний: решение задач.
Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.
