Пусть дана сложная функция 
где 
или 
.
Теорема. Если функция 
дифференцируема в точке 
, а функция 
дифференцируема в точке 
, тогда сложная функция 
дифференцируема в точке 
, причем
или 
Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если 
, или 
и существуют производные 
, то 
.
Пример
Найти производную функции 
.
Решение
Здесь 
,
, тогда 
.
Исследование функций и построение графиков функций
Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Определить четность, нечетность.
4. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
5. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.
6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график функции.
Пример
С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции 
.
Решение
1. Область определения функции находится из условия: 
, т.е. 
.
2. Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Оу, 
, точка 
,
с осью Ох, 
, точка 
.
3. Четность, нечетность.
Функция 
называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство 
. Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство 
. Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.
В нашем случае, 
, следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
1) Вертикальные асимптоты. Прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции 
, если хотя бы один из пределов
или 
равен 
или 
. Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.
Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода 
и 
, так как
, 
,
, 
,
следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты 
и 
.
2) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда 
.
Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:
.
Если эти пределы конечны и различны, то прямые 
будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен 
, то не существуют и соответствующие асимптоты.
Так как
,
то график функции имеет горизонтальную асимптоту 
.
3) Наклонные асимптоты. Пусть прямая 
является асимптотой графика функции 
. Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции 
имел при 
наклонную асимптоту 
, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:
.
Аналогично находится асимптота при 
.
Так как 
, то наклонных асимптот нет.
5. Исследование функции на экстремум.
Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:
.
Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель 
к нулю:
, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.
_ _ _ 
х
-6 6 у
6. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
Вычислим производную второго порядка:
Необходимое условие точки перегиба: 
или не существует. Равенство 
выполняется при 
, следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.
_ + _ + 
х
-6 
0 
6 
у
Так как при переходе через точку 
вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты 
.
7. Построение графика функции.
Тема № 4
