Одна из форм записи второго замечательного предела
.
Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .
Пример
Вычислить предел .
Решение
Предел основания , а показатель степени
при
, т.е. имеет место неопределенность вида
. Выделим целую часть основания степени
и применим второй замечательный предел:
, учитывая, что
.
Непрерывность функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
.
Определение. Функция называется непрерывной в точке
, если она имеет предел в точке
и этот предел равен
– значению функции
в точке
:
.
Таким образом, для того чтобы функция была непрерывна в точке
, необходимо и достаточно выполнение трех условий:
1) функция должна быть определена в точке
;
2) должны существовать пределы функции при
как слева, так и справа, т.е.
и
;
3) эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции в точке
, т.е.
.
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке и точку
называют точкой разрыва функции
.
Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.
Классификация точек разрыва
Определение. Если в точке функция
имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке
или функция не определена, то точка называется точкой устранимого разрыва функции
.
В этом случае функцию можно доопределить в точке так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить
.
Определение. Если в точке функция
имеет конечные пределы слева и справа, причем
, то точка
называется точкой разрыва функции
1-го рода.
При переходе через точку значение функции
претерпевает скачок, измеряемый разностью
.
Определение. Точка называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен
.
Пример
В точках и
для функции
установить характер точек разрыва.
Решение
Область определения функции . Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек
и
, которые не входят в область определения функции.
Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:
если , то
, тогда предел слева
,
если , то
, тогда предел справа
.
Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функция
имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).
Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:
если , то
, тогда
,
если , то
, тогда
.
Так как односторонние пределы равны , то в точке
функция
имеет разрыв 2-го рода.
Правила дифференцирования
Определение. Производной функции в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при
, если он существует.
По определению
.
Таблица производных
№ | № | ||
![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() |
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю: .
2.
Теорема. Если каждая из функций и
дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии
) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:
1) ,
2) ,
3) .
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Пример
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции .
Решение