Свойства элементарных функций алгебры логики

 

Из таблицы для функции двух переменных видно, что элементарные функции типа отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, Шеффера, Пирса и т.д. находятся в связи друг с другом. Посмотрим эти связи и свойство этих исходных функций.

Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание (и, или, не). Используя основные положения алгебры логики можно убедиться в справедливости следующих аксиом

1) , что означает возможность исключения из логического выражения всех членов имеющих двойное отрицание, заменив их исходной величиной.

2) x+x=x; x*x=x эти преобразования позволяют сократить длину логических выражений.

3) х+0=х

4) х+1=1

5) х*0=0

6) х*1=х

7)

8)

Дизъюнкция и конъюнкция обладают рядом свойств, аналогично свойствам обычных арифметических операций сложения и умножения. А именно:

1) Свойства ассоциативности или сочетательный закон:

2) Свойства коммутативности, переместительный закон:

3) Свойства дистрибьютивности или распределительный закон:

а) Для конъюнкции относительно дизъюнкции:

б)Для дизъюнкции относительно конъюнкции:

Это свойство фактически определяет правило раскрытия скобок или взятия в скобки логических выражений.

Законы Де-Моргана.

Несложно установить правильность следующих соотношений:

Из этого закона вытекает, что и . С помощью этих соотношений появляется возможность выражать конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание или наоборот.

Законы Де-Моргана справедливы для любого числа переменных, т.е.

Для логической функции устанавливается соотношения известные как законы поглащения:

1) 2)

х1	х2	х1+х2	х1х2	х1+(х1х2)	х1(х1+х2)

Сложение по модулю два.

Эта функция выражается следующим образом:

Функция сложения по модулю два обладает свойствами:

1) Свойство коммутативности, переместительный закон:

2) Свойства ассоциативности:

3) Свойства дистрибьютивности или распределительный закон:

Для этой функции справедливы следующие аксиомы:

На основании аксиом и свойств можно вывести правила перевода функций «и», «или»,

«не» через функцию сложения по модулю два и наоборот:

Функция импликации.

Это функция выражается следующим образом:

Для функции импликации справедливы аксиомы:

Из этих аксиом следует, что импликация обладает только свойствами коммутативности, но в несколько измененном виде:

Функции «и», «или», «не» через импликацию выражаются:

Функция Шеффера.

Это функция, которая может быть выражена:

Для нее характерны аксиомы:

Для функции Шеффера справедливо только свойство коммутативности, т.е.:

Из этих аксиом и свойств можно получить формулу преобразования функции «и», «не», «или» через функцию Шеффера:

 

Функция Пирса-Вебба.

Это функция описывается следующем выражением:

Для этой функции справедливы аксиомы:

Эта функция обладает только свойством коммутативности:

Функция «и», «или», «не» через функцию Пирса-Вебба выражается следующим образом: