Приложении 3. Описание лабораторных работ

Лабораторная работа 3 "Симплекс"

 

"Симплекс-метод определения режимов (параметров) оптимума (техно-

логического) процесса при двухфакторном эксперименте".

 

по курсу "Моделирование и оптимизация свойств материалов"

 

1.Теоретичекая часть.

Симплекс - простейший многоугольник в данном факторном пространс-

тве. Если есть функция двух параметров F(X1,X2), максимум (или мини-

мум) которой нам неоходимо найти, то используется треугольник. Если

такая же задача стоит перед нами для функции трех факторов

F(X1,X2,X3), то используется пирамида с треугольным основанием (тетра-

эдр). Если есть функция четырех параметров,то используется пентаэдр и

т.д. Вид функциональной зависимости не имеет значения, но желательно,

чтобы эта функция имела экстремум и была непрерывна.

Сущность метода состоит в том, что поиск (эксперимент) проводится

вначале (в случае функции F(X1,X2)) при трех значениях параметров

(факторов), расположенных в вершинах треугольника:Х11,X21; X12,X22;

X13,Y23. (Рис.1) После нахождения значений функции во всех трех точках

F1(Х11,X21), F2(X12,X22), F3(X13,Y23) их сравнивают между собой.

Координаты следующей точки определяют, располагая ее с противопо-

ложной стороны от точки, в которой F(X1,X2) минимальна, если ищут мак-

симум (или максимальна, если ищут минимум). Пусть, например, F1<F2 и

F1<F3, тогда, при поиске максимума, переворачиваем треугольник вокруг

оси между точками 2 и 3 и, таким образом, получают коррдинаты точки 4.

При этом треугольник перевернут. (Рис.2) После нахождения значения

функции в точке 4 получают F4(X14,X24). Сравнивают между собой значе-

ния функции в вершинах треугольника 2,3,4.

 

 

 

- 2 -

 

X2 I Х2 I

I I

I o 3 I o 3 o 4

I 1 o o 2 I 1 o o 2

I ______________ X1 I_________________ Х1

Рис.1 Рис.2

 

Если,например, F2<F4 и F2<F3 находят координаты точки 5 напротив

точки 2, перевернув треугольник вокруг оси между точками 3 и 4. Срав-

нивая между собой значения функции F в точках 3,4 и 5 находят коорди-

наты точки 6 и т.д. до достижения оптимум - максимума или минимума

функции F.

Соединяя на графике точки последовательно между собой, мы получа-

ем ломаную линию, постепенно приближающуюся к оптимуму.

В оптимуме значения F будут меньше в последующей точке по сравне-

нию с предыдущей.

Функция F - это "целевая функция" или параметр оптимизации. Это

может быть какая-то характеристика материала, например механическая

прочность (временное сопротивление) при разрыве или фукция желатель-

ности D, учитывающая роль нескольких параметров, как количественных,

так,возможно, и качественных: D=(D1*D2*D3..Dn)^1/n или это может быть

минимальная сумма квадратов отклонений отдельных параметров Xi от за-

данных (желаемых) Xiж: Summa(Ki*(Xi-Xiж)^2). Коэффициент Кi отражает

важность (весомость) параметра i.

В простейшем случае, если параметры равнозначны, K1=K2=...=Kn=1.

 

2. Порядок выполнения работы.

После запуска программы, программа запрашивает координаты первой

точки и шаг поиска, которые студент выбирает и вводит самостоятельно.

После ввода параметров программа рассчитывает и на экране показываются

координаты точек 2 и 3 и значения функции F во всех точках. Программа

сама сравнивает между собой значения в разных точках и указывает коор-

 

- 3 -

динаты точек 4 и 5. Если функция F в точке 5 больше предыдущих, то по-

иск продолжается до тех пор, пока в следующей точке не будет значение

F меньше, чем в предыдущей. При выполнении работы студент вводит также

порядковые номера точек.

Студент должен записать координаты и значения целевой функции в

каждой точке до достижения максимума. После записей нужно выйти из

программы, набрав номер 100.

Сбои в работе программы происходят, когда значения F у двух точек

оказываются равными. В этом случае после записи координат последней

точки нужно выйти из программы и запустить ее заново, введя в качестве

координат первой точки координаты последней предыдущей и изменим шаг

поиска в сторону уменьшения. Иногда целесообразно несколько сместить

одну из координат, но меньше, чем на шаг поиска.

После выхода из программы нужно построить график. Для этого сле-

дует запустить программу Simplexg. После ее запуска на экране появля-

ется координатная сетка Х2(Х1).

Программа запрашивает координаты точек, которые студент должен

ввести по порядку. При этом на экране можно наблюдать каким образом

происходит постепенное перемещение - поиск оптимума.

После введения всех точек до оптимума студент перерисовывает гра-

фик в лабораторный журнал и указывает стрелками направление перемеще-

ния в системе координат.

 

3. Сдача зачета по лабораторной работе.

Для зачета по работе студент должен представить лабораторный жур-

нал с записями и графиком поиска оптимума, а также ответить на вопросы

преподавателя. В ответах на вопросы студент должен продемонстрировать

знание сущности работы и принципы симплекс-метода.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

"Планирование полного двухфакторного эксперимента".

 

по курсу "Моделирование и оптимизация свойств материалов"

 

Работа посвящена рациональному планированию эксперимента при исс-

ледовании зависимости целевой функции от двух независимо изменяющихся

факторов X,Y,Z.

 

1.Теоретическая часть.

Полный двухфакторный эксперимент состоит в наборе эксперименталь-

ных данных по двум - максимальным и минимальным уровням значений X,Y

для всех возможных сочетаний значений. С целью облегчения дальнейших

расчетов составляется матрица планирования, имеющая вид (справа сим-

вольные представления):

 

N=1 Xmin Ymin 1 -1 -1

" 2 Xmax Ymin 1 1 -1

" 3 Xmin Ymax 1 -1 1

" 4 Xmax Ymax 1 1 1

 

После проведения экспериментов согласно заданному плану

по полученным результатам составляется уравнение регрессии, имеющее вид:

 

F=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b12*x1*x2;

где x1=(X-z1)/dz1; x2=(Y-z2)/dz2;

причем z1:=(Xmax+Xmin)/2; dz1:=(Xmax-Xmin)/2;

z2:=(Ymax+Ymin)/2;

dz2:=(Ymax-Ymin)/2;

После преобразований получаем более простую зависимость:

F=a0+a1*X+a2*Y+a3*Z+a12(X-z1)(Y-z2);

После расчетов некоторые коэффициенты могут быть равны нулю, нап-

 

- 2 -

ример член а12. Поэтому удобно для последующего анализа еще более уп-

ростить зависимость:

F=c0+c1*X+(c2+c4*X)*Y+(c3+c5*Y+c6*X)*Z;

Если b12,a12,с4,с5,с6=0, то последующие эксперименты можно прово-

дить по методу "крутого подъема", изменяя параметры провпорционально

коэффициентам уравнения регрессии b1,b2.

 

2.Порядок выполнения работы

 

1.Студент выбирает максимальные и минимальные значения параметров

X,Y и составляет матрицу планирования.

2.После запуска программы студент проводит "эксперимент" по сос-

тавленному плану. При этом он получает значения целевой функции

y1..y4.Результаты "эксперимента" следует записать.

3.После этого студент рассчитывает коэффициенты уравнения регрес-

сии.

4.Проводит проверку правильности расчета: для этого студент вво-

дит поочередно значения параметров, при которых он проводил "экспери-

мент", при этом по регрессионному уравнению должны получиться значения

целевой функции в

5.Затем слудует провести прогнозирование целевой функции,изменяя

параметры методом "крутого подъема".При этом следует изменить значения

параметров пропорционально коэффициентам b в уравнении регрессии - ум-

ножив прирост параметров в k раз.

6.После проведения прогнозирования следует провести дополнитель-

ные эксперименты, проверив прогноз. Для этого следует ввести рекомен-

дуемые значения параметров X,Y и записать результаты экспериментов.

Лучше всего,чтобы при последовательном изменении параметров значение F

проходило через максимум. В противном случае следует заново провести

прогноз,изменив значение k и снова провести "эксперимент" для достиже-

ния желаемого результата.

 

 

 

- 3 -

3. Сдача зачета по лаборатoрной работе.

Для зачета следует представить отчет, где должны быть приведены

план - матрица, полученные результаты экспериментов, анализ экспери-

ментов и полученных результатов.

При ответах на вопросы преподавателя следует прoявить знание су-

щества работы.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5

"Планирование полного трехфакторного эксперимента"

 

по курсу "Моделирование свойств материалов".

 

Работа посвящена рациональному планированию эксперимента при исс-

ледовании зависимости целевой функции от трех независимо изменяющихся

факторов X,Y,Z.

1.Теоретическая часть.

Полный факторный эксперимент состоит в наборе экспериментальных

данных по двум - максимальным и минимальным уровням значений X,Y,Z для

всех возможных сочетаний значений. С целью облегчения дальнейших рас-

четов составляется матрица планирования, имеющая вид:

 

N=1 Xmin Ymin Zmin 1 -1 -1 -1

" 2 Xmax Ymin Zmin 1 1 -1 -1

" 3 Xmin Ymax Zmin 1 -1 1 -1

" 4 Xmax Ymax Zmin 1 1 1 -1

" 5 Xmin Ymin Zmax 1 -1 -1 1

" 6 Xmax Ymin Zmax 1 1 -1 1

" 7 Xmin Ymax Zmax 1 -1 1 1

" 8 Xmax Ymax Zmax 1 1 1 1

 

После проведения экспериментов согласно заданному плану по полу-

ченным результатам составляется уравнение регрессии, имеющее вид:

 

F=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b12*x1*x2+b13*x1*x3+b23*x2*x3+b123*x1*x2*x3;

где x1=(X-z1)/dz1; x2=(Y-z2)/dz2; x3=(Z-z3)/dz3)

причем z1:=(Xmax+Xmin)/2; dz1:=(Xmax-Xmin)/2; z2:=(Ymax+Ymin)/2;

dz2:=(Ymax-Ymin)/2; z3:=(Zmax+Zmin)/2;dz3:=(Zmax-Zmin)/2;

После преобразований получаем более простую зависимость:

F=a0+a1*X+a2*Y+a3*Z+a12(X-z1)(Y-z2)+a13*(X-z1)(Z-z3)+

+a23*(Y-z2)*(Z-z3)+a123*(X-z1)(Y-z2)(Z-z3);

 

- 2 -

После расчетов многие коэффициенты равны нулю, например член а123.

Поэтому удобно для последующего анализа еще более упростить зависимость:

F=c0+c1*X+(c2+c4*X)*Y+(c3+c5*Y+c6*X)*Z;

Если с4,с5,с6=0, то последующие эксперименты можно проводить по методу

"крутого подъема", изменяя параметры провпорционально коэффициентам

уравнения регрессии с1,с2,с3.

 

2. Порядок выполнения работы

1.Студент выбирает максимальные и минимальные значения параметров

X,Y,Z и составляет матрицу планирования.

2.После запуска программы студент проводит "эксперимент" по сос-

тавленному плану - согласно матрице планирования. При этом он получает

значения целевой функции F1..F8.Результаты "эксперимента" следует за-

писать.

3.После этого студент рассчитывает коэффициенты уравнения регрес-

сии. Коэффициенты следует записать.

4.Проводит проверку правильности расчета: для этого студент вво-

дит одно из сочетаний значений параметров, проводит "эксперимент", при

этом по регрессионному уравнению должно получиться значение целевой

функции равное или близкое к "экспериментальному".

5.Затем слудует провести прогнозирование целевой функции,изменяя

параметры методом "крутого подъема".При этом следует изменить значения

параметров пропорционально коэффициентам b в уравнении регрессии - ум-

ножив прирост параметров в k раз.

6.После проведения прогнозирования следует провести дополнитель-

ные эксперименты, проверив прогноз. Для этого следует ввести рекомен-

дуемые значения параметров X,Y,Z и записать результаты экспериментов.

Лучше всего,чтобы при последовательном изменении параметров значение F

проходило через максимум. В противносм случае следует заново прочести

прогноз,изменив значение k и снова провести "эксперимент" для достиже-

ния желаемого результата.

 

 

 

- 3 -

3. Сдача зачета по лаборатoрной работе.

Для зачета следует представить отчет, где должны быть приведены

план - матрица, полученные результаты экспериментов, анализ экспери-

ментов и полученных результатов.

При ответах на вопросы преподавателя следует прoявить знание су-

щества работы.

 

Составитель: проф. Лущейкин Г.А.