Лабораторная работа 3 "Симплекс"
"Симплекс-метод определения режимов (параметров) оптимума (техно-
логического) процесса при двухфакторном эксперименте".
по курсу "Моделирование и оптимизация свойств материалов"
1.Теоретичекая часть.
Симплекс - простейший многоугольник в данном факторном пространс-
тве. Если есть функция двух параметров F(X1,X2), максимум (или мини-
мум) которой нам неоходимо найти, то используется треугольник. Если
такая же задача стоит перед нами для функции трех факторов
F(X1,X2,X3), то используется пирамида с треугольным основанием (тетра-
эдр). Если есть функция четырех параметров,то используется пентаэдр и
т.д. Вид функциональной зависимости не имеет значения, но желательно,
чтобы эта функция имела экстремум и была непрерывна.
Сущность метода состоит в том, что поиск (эксперимент) проводится
вначале (в случае функции F(X1,X2)) при трех значениях параметров
(факторов), расположенных в вершинах треугольника:Х11,X21; X12,X22;
X13,Y23. (Рис.1) После нахождения значений функции во всех трех точках
F1(Х11,X21), F2(X12,X22), F3(X13,Y23) их сравнивают между собой.
Координаты следующей точки определяют, располагая ее с противопо-
ложной стороны от точки, в которой F(X1,X2) минимальна, если ищут мак-
симум (или максимальна, если ищут минимум). Пусть, например, F1<F2 и
F1<F3, тогда, при поиске максимума, переворачиваем треугольник вокруг
оси между точками 2 и 3 и, таким образом, получают коррдинаты точки 4.
При этом треугольник перевернут. (Рис.2) После нахождения значения
функции в точке 4 получают F4(X14,X24). Сравнивают между собой значе-
ния функции в вершинах треугольника 2,3,4.
- 2 -
X2 I Х2 I
I I
I o 3 I o 3 o 4
I 1 o o 2 I 1 o o 2
I ______________ X1 I_________________ Х1
Рис.1 Рис.2
Если,например, F2<F4 и F2<F3 находят координаты точки 5 напротив
точки 2, перевернув треугольник вокруг оси между точками 3 и 4. Срав-
нивая между собой значения функции F в точках 3,4 и 5 находят коорди-
наты точки 6 и т.д. до достижения оптимум - максимума или минимума
функции F.
Соединяя на графике точки последовательно между собой, мы получа-
ем ломаную линию, постепенно приближающуюся к оптимуму.
В оптимуме значения F будут меньше в последующей точке по сравне-
нию с предыдущей.
Функция F - это "целевая функция" или параметр оптимизации. Это
может быть какая-то характеристика материала, например механическая
прочность (временное сопротивление) при разрыве или фукция желатель-
ности D, учитывающая роль нескольких параметров, как количественных,
так,возможно, и качественных: D=(D1*D2*D3..Dn)^1/n или это может быть
минимальная сумма квадратов отклонений отдельных параметров Xi от за-
данных (желаемых) Xiж: Summa(Ki*(Xi-Xiж)^2). Коэффициент Кi отражает
важность (весомость) параметра i.
В простейшем случае, если параметры равнозначны, K1=K2=...=Kn=1.
2. Порядок выполнения работы.
После запуска программы, программа запрашивает координаты первой
точки и шаг поиска, которые студент выбирает и вводит самостоятельно.
После ввода параметров программа рассчитывает и на экране показываются
координаты точек 2 и 3 и значения функции F во всех точках. Программа
сама сравнивает между собой значения в разных точках и указывает коор-
- 3 -
динаты точек 4 и 5. Если функция F в точке 5 больше предыдущих, то по-
иск продолжается до тех пор, пока в следующей точке не будет значение
F меньше, чем в предыдущей. При выполнении работы студент вводит также
порядковые номера точек.
Студент должен записать координаты и значения целевой функции в
каждой точке до достижения максимума. После записей нужно выйти из
программы, набрав номер 100.
Сбои в работе программы происходят, когда значения F у двух точек
оказываются равными. В этом случае после записи координат последней
точки нужно выйти из программы и запустить ее заново, введя в качестве
координат первой точки координаты последней предыдущей и изменим шаг
поиска в сторону уменьшения. Иногда целесообразно несколько сместить
одну из координат, но меньше, чем на шаг поиска.
После выхода из программы нужно построить график. Для этого сле-
дует запустить программу Simplexg. После ее запуска на экране появля-
ется координатная сетка Х2(Х1).
Программа запрашивает координаты точек, которые студент должен
ввести по порядку. При этом на экране можно наблюдать каким образом
происходит постепенное перемещение - поиск оптимума.
После введения всех точек до оптимума студент перерисовывает гра-
фик в лабораторный журнал и указывает стрелками направление перемеще-
ния в системе координат.
3. Сдача зачета по лабораторной работе.
Для зачета по работе студент должен представить лабораторный жур-
нал с записями и графиком поиска оптимума, а также ответить на вопросы
преподавателя. В ответах на вопросы студент должен продемонстрировать
знание сущности работы и принципы симплекс-метода.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
"Планирование полного двухфакторного эксперимента".
по курсу "Моделирование и оптимизация свойств материалов"
Работа посвящена рациональному планированию эксперимента при исс-
ледовании зависимости целевой функции от двух независимо изменяющихся
факторов X,Y,Z.
1.Теоретическая часть.
Полный двухфакторный эксперимент состоит в наборе эксперименталь-
ных данных по двум - максимальным и минимальным уровням значений X,Y
для всех возможных сочетаний значений. С целью облегчения дальнейших
расчетов составляется матрица планирования, имеющая вид (справа сим-
вольные представления):
N=1 Xmin Ymin 1 -1 -1
" 2 Xmax Ymin 1 1 -1
" 3 Xmin Ymax 1 -1 1
" 4 Xmax Ymax 1 1 1
После проведения экспериментов согласно заданному плану
по полученным результатам составляется уравнение регрессии, имеющее вид:
F=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b12*x1*x2;
где x1=(X-z1)/dz1; x2=(Y-z2)/dz2;
причем z1:=(Xmax+Xmin)/2; dz1:=(Xmax-Xmin)/2;
z2:=(Ymax+Ymin)/2;
dz2:=(Ymax-Ymin)/2;
После преобразований получаем более простую зависимость:
F=a0+a1*X+a2*Y+a3*Z+a12(X-z1)(Y-z2);
После расчетов некоторые коэффициенты могут быть равны нулю, нап-
- 2 -
ример член а12. Поэтому удобно для последующего анализа еще более уп-
ростить зависимость:
F=c0+c1*X+(c2+c4*X)*Y+(c3+c5*Y+c6*X)*Z;
Если b12,a12,с4,с5,с6=0, то последующие эксперименты можно прово-
дить по методу "крутого подъема", изменяя параметры провпорционально
коэффициентам уравнения регрессии b1,b2.
2.Порядок выполнения работы
1.Студент выбирает максимальные и минимальные значения параметров
X,Y и составляет матрицу планирования.
2.После запуска программы студент проводит "эксперимент" по сос-
тавленному плану. При этом он получает значения целевой функции
y1..y4.Результаты "эксперимента" следует записать.
3.После этого студент рассчитывает коэффициенты уравнения регрес-
сии.
4.Проводит проверку правильности расчета: для этого студент вво-
дит поочередно значения параметров, при которых он проводил "экспери-
мент", при этом по регрессионному уравнению должны получиться значения
целевой функции в
5.Затем слудует провести прогнозирование целевой функции,изменяя
параметры методом "крутого подъема".При этом следует изменить значения
параметров пропорционально коэффициентам b в уравнении регрессии - ум-
ножив прирост параметров в k раз.
6.После проведения прогнозирования следует провести дополнитель-
ные эксперименты, проверив прогноз. Для этого следует ввести рекомен-
дуемые значения параметров X,Y и записать результаты экспериментов.
Лучше всего,чтобы при последовательном изменении параметров значение F
проходило через максимум. В противном случае следует заново провести
прогноз,изменив значение k и снова провести "эксперимент" для достиже-
ния желаемого результата.
- 3 -
3. Сдача зачета по лаборатoрной работе.
Для зачета следует представить отчет, где должны быть приведены
план - матрица, полученные результаты экспериментов, анализ экспери-
ментов и полученных результатов.
При ответах на вопросы преподавателя следует прoявить знание су-
щества работы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5
"Планирование полного трехфакторного эксперимента"
по курсу "Моделирование свойств материалов".
Работа посвящена рациональному планированию эксперимента при исс-
ледовании зависимости целевой функции от трех независимо изменяющихся
факторов X,Y,Z.
1.Теоретическая часть.
Полный факторный эксперимент состоит в наборе экспериментальных
данных по двум - максимальным и минимальным уровням значений X,Y,Z для
всех возможных сочетаний значений. С целью облегчения дальнейших рас-
четов составляется матрица планирования, имеющая вид:
N=1 Xmin Ymin Zmin 1 -1 -1 -1
" 2 Xmax Ymin Zmin 1 1 -1 -1
" 3 Xmin Ymax Zmin 1 -1 1 -1
" 4 Xmax Ymax Zmin 1 1 1 -1
" 5 Xmin Ymin Zmax 1 -1 -1 1
" 6 Xmax Ymin Zmax 1 1 -1 1
" 7 Xmin Ymax Zmax 1 -1 1 1
" 8 Xmax Ymax Zmax 1 1 1 1
После проведения экспериментов согласно заданному плану по полу-
ченным результатам составляется уравнение регрессии, имеющее вид:
F=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b12*x1*x2+b13*x1*x3+b23*x2*x3+b123*x1*x2*x3;
где x1=(X-z1)/dz1; x2=(Y-z2)/dz2; x3=(Z-z3)/dz3)
причем z1:=(Xmax+Xmin)/2; dz1:=(Xmax-Xmin)/2; z2:=(Ymax+Ymin)/2;
dz2:=(Ymax-Ymin)/2; z3:=(Zmax+Zmin)/2;dz3:=(Zmax-Zmin)/2;
После преобразований получаем более простую зависимость:
F=a0+a1*X+a2*Y+a3*Z+a12(X-z1)(Y-z2)+a13*(X-z1)(Z-z3)+
+a23*(Y-z2)*(Z-z3)+a123*(X-z1)(Y-z2)(Z-z3);
- 2 -
После расчетов многие коэффициенты равны нулю, например член а123.
Поэтому удобно для последующего анализа еще более упростить зависимость:
F=c0+c1*X+(c2+c4*X)*Y+(c3+c5*Y+c6*X)*Z;
Если с4,с5,с6=0, то последующие эксперименты можно проводить по методу
"крутого подъема", изменяя параметры провпорционально коэффициентам
уравнения регрессии с1,с2,с3.
2. Порядок выполнения работы
1.Студент выбирает максимальные и минимальные значения параметров
X,Y,Z и составляет матрицу планирования.
2.После запуска программы студент проводит "эксперимент" по сос-
тавленному плану - согласно матрице планирования. При этом он получает
значения целевой функции F1..F8.Результаты "эксперимента" следует за-
писать.
3.После этого студент рассчитывает коэффициенты уравнения регрес-
сии. Коэффициенты следует записать.
4.Проводит проверку правильности расчета: для этого студент вво-
дит одно из сочетаний значений параметров, проводит "эксперимент", при
этом по регрессионному уравнению должно получиться значение целевой
функции равное или близкое к "экспериментальному".
5.Затем слудует провести прогнозирование целевой функции,изменяя
параметры методом "крутого подъема".При этом следует изменить значения
параметров пропорционально коэффициентам b в уравнении регрессии - ум-
ножив прирост параметров в k раз.
6.После проведения прогнозирования следует провести дополнитель-
ные эксперименты, проверив прогноз. Для этого следует ввести рекомен-
дуемые значения параметров X,Y,Z и записать результаты экспериментов.
Лучше всего,чтобы при последовательном изменении параметров значение F
проходило через максимум. В противносм случае следует заново прочести
прогноз,изменив значение k и снова провести "эксперимент" для достиже-
ния желаемого результата.
- 3 -
3. Сдача зачета по лаборатoрной работе.
Для зачета следует представить отчет, где должны быть приведены
план - матрица, полученные результаты экспериментов, анализ экспери-
ментов и полученных результатов.
При ответах на вопросы преподавателя следует прoявить знание су-
щества работы.
Составитель: проф. Лущейкин Г.А.
