Лекция 2. Пример обработки результатов. Функция желательности

 

В качестве примера рассмотрим обработку результатов при определении электрической прочности. В целях получения достоверных результатов при значительном разбросе данных проводят ряд повторных (иногда десятки) испытаний одного и того же материала.

Пусть при одних и тех же условиях проведено N пробоев, пробивные напряжения при этом оказались равны U1,U2…Ui, Ux. Среднее значение пробивного напряжения – сумма всех значений Ui, деленная на число пробоев

Ucp= ΣUi/N

 

Разброс пробивных напряжений Ui относительно среднего значения Ucp характеризуется среднеквадратичным отклонением σ

σ= [Σ(Ui-Ucp)²/(N-1)]^1/2

 

Вероятность пробоя одного и того же материала при неизменных условиях и при многократных испытаниях на партии образцов определяют путем построения дифференциальной и интегральной кривых вероятности в функции напряжения. Пусть все необходимые значения пробивного напряжения находятся в определенном диапазоне. Разобьем это диапазон на ряд небольших одинаковых интервалов ΔU и найдем число пробоев n для каждого интервала. Таким образом, первому интервалу напряжений будет соответствовать n1 пробоев, второму n2 -число пробоев, k–тому число пробоев n_k и т.д. Пусть таких интервалов оказалось m, очевидно m<N. Сумма всех значений n_k должна равняться общему числу пробоев.

Σn_k=N

При большом числе пробоев вместо трудоемкого определения среднего значения пробивного напряжения для всех N пробоев довольствуются приближенным средним статистическим пробивным напряжением Ucp.cт., Оно определяется следующим образом. Для каждого интервала k напряжений находят произведение p_k*U_k, где р_k=(n_k/N)*100. Сумма этих произведений, деленная на 100 и даст значение Ucp.cт:

Ucp.cт=(1/100)Σp_kU_k

Эта величина близка к Ucp, но не равна ей, так как в пределах интервала усреднялись значения напряжения. При достаточно малых интервалах

Ucp.cт ≈ Uср

Вероятность р того, что пробой произойдет при напряжении U, соответствующем интервалу определяется в % отношением

100(n_k/N)=p_k

Можно построить ступенчатый график p(U) выражающий зависимость р от напряжения U. Сумма всех значений p_k равняется

Σp_k=(100/N)Σn_k=(100/N)N = 100%

Откладывая по оси ординат р, а по оси абсцисс напряжение при пробое для каждого интервала, получают ступенчатый график (рис.) называемый гистограммой. Плавная кривая, проведенная через средние точки графика, представляет собой дифференциальную кривую вероятности.

Заметим, что при увеличении числа наблюдений график р(U) приближается в плавной кривой, симметрично расположенной около центральной ординаты. Уравнение такой кривой (для рассматриваемого процесса пробоя однородных диэлектриков) имеет вид:

p(U)=1/[σ(2π)^1/2]exp[-(U-Ucp)/(2σ²)]

Эта кривая выражает так называемый нормальный закон распределения вероятностей Гаусса.

Для построения интегральной кривой найдем соответствующее каждому интервалу k число пробоев М (в процентах от общего числа пробоев N), т.е. число образцов, пробитых при напряжении U_k и при более низких значениях напряжения. Нарастающая зависимость М(U) носит название интегральной кривой.

Дифференциальная и интегральная кривые вероятности играют важную роль не только при определении электрической прочности материалов, но также при оценке других их свойств.

Доверительный интервал. Вероятность того, что абсолютное значение отклонения какой-либо величины (пробивного напряжения) от среднего значения этой величины

│Uk-Ucp│

не превышает некоторого значения u, выражается функцией Лапласа

Ф(z)=Ф(u /(σ^1/2))

Где σ – среднеквадратичной отклонение. Эта функция представляет собой определенный интеграл вида

z

Ф(z)=(2/π)∫еxp(-t²)dt

Ee значения даются в виде таблиц в справочниках.

Рассмотрим значения вероятности отклонения для некоторых частных случаев.

1) u=σ. Тогда вероятность отклонения при │Uk-Ucp│<= σ,будет равна Ф=0,68.

2) u=1,5σ. Ф=0,866 ≈ 0,9.

3) u=2σ. Ф=0,954.

Таким образом, если на гистограмме отложить влево и вправо от средней величины 2σ, то количество пробоев в этом интервале составляет 95% от общего числа пробоев. Зачастую довольствуются значением 1,5σ, считают, что за этим интервалом измеряемые величины встречаются редко, в виде единичных случаев.

Коэффициентом вариации называют отношение

k=σ/Ucp*100%

Считают, что материалы с k ≤15% являются однородными, а при большей величине k - недостаточно однородными.

 

Рис.2. Пример интегральной (ряд 2) и дифференциальной (ряд 1) функций распределения. По оси абсцисс нанесены значения электрической прочности. По оси ординат нанесены величины пропорциональные плотности вероятности. Показано среднее значение (ряд 3), совпадающее с наивероятнейшим значением.

 

Пороговое пробивное напряжение.

Определение наиболее низкого пробивного напряжения, при котором (как и при более высоких значениях) пробивается значительное количество образцов (или происходит большое число пробоев) имеет важное значение для конструирования электроизоляционных конструкций и их расчетов. Очевидно, при многократных испытаниях всегда будут наблюдаться единичные пробои, отвечающие некоторому значению U_пр.мин; вероятность появления таких пробоев ничтожно мала, и едва ли можно эту величину, U_пр.мин положить в основу оценки электрической прочности материала. Иногда в качестве критерия используют величину среднего пробивного напряжения U_ср≈ U_ср.ст, но при этом следует учитывать, что около половины пробоев будет наблюдаться при более низких (по с сравнению с U_ср) пробивных напряжениях.

Более обоснованным является подход к оценке электрической прочности, основанный на разумной минимально допустимой (пороговой) вероятности пробоя М_пор, равной, например, 5-10%. Пробивное напряжение, U_пор, при котором (как и при более низких) пробьется М_пор процентов общего числа образцов, называют пороговым пробивным напряжением при заданной минимально допустимой вероятности. Нетрудно заметить, что

U_мин <U_пор< U_ср

Для получения порогового напряжения U_пор откладывают по вертикальной оси М значение интегральной вероятности М_пор и, проведя горизонтальную прямую до пересечения с интегральной кривой, находят U_пор.

Проследим на численном примере методику статистической обработки результатов испытаний. Определение электрической прочности одного из материалов показало, что значение U_пр лежит в пределах от 27 до 33 кВ. Весь диапазон напряжений можно разбить на интервалы по 0,4 кВ, причем таких интервалов оказалось 15, а вероятность р числа пробоев для отдельных интервалов колебалась от 0,3 до 16%. По этим данным построим дифференциальную кривую вероятности, которая оказалась близкой к нормальному закону распределения. Складывая значения р для каждого интервала со значениями р в предыдущих интервалах, получают значения М, по которым построена интегральная кривая распределения. Пусть М_пор=5%; отложив это значение по оси М и проведя горизонтальную прямую до пересечения с интегральной кривой, находит U_пор =28,2 кВ.

Интересно отметить, что в данном случае среднестатистическое пробивное напряжение составляет

U_ср.ст=30,24 кВ.

Среднеквадратичное отклонение равняется σ=0,676 кВ.

Коэффициент вариации составляет величину

k_вар=2,24%.

Таким образом, материал, подвергнутый испытаниям, относится к

материалам первой группы однородности («материал однородный»).