Получение большого количества точек для построения кривой распределения требует проведения многократных измерений с большим числом образцов. В связи с этим нередко ограничиваются небольшим числом наблюдений (образцов), стремясь получить оценочное значение параметра с достаточной для практики точностью. С помощью критерия Стьюдента удается при ограниченном числе наблюдений (так называемой частичной совокупности) установить с определенной степенью вероятности границы, между которыми заключено среднее значение искомого параметра, отвечающее полной совокупности (т.е. достаточно большому числу) опытов.
Рассмотрим последовательность статистической обработки результатов измерения, например диэлектрической проницаемости ε.
В результате экспериментов получили частичную совокупность значений εi. Находят среднее значение частичной совокупности
Εчаст=(1/N)Σεi
Где N–число наблюдений. Вместо определения среднего квадратичного отклонения, которое для частичной совокупности неизвестно, производят оценку этого отклонения по формуле
S=[Σ(εi-εчаст)2/(N-1)]1/2
Границы, заключающие среднеe значение полной совокупности εср, согласно критерию Стьюдента определяются величинами
ε=εчаст±St(γ)/(N)1/2
Их часто называют доверительными границами при доверительной вероятности (γ).
Здесь t(γ) – табличная функция вероятности γ и количества наблюдений N. Значение доверительной вероятности обычно задается равным 0,95-0,999.
Чем больше число наблюдений, тем ближе друг к другу границы, т.е. тем больше точность определения εср.
Рассмотрим применение критерия Стьюдента на примере определения диэлектрической проницаемости текстолита по данным 10 измерений при доверительной вероятности 0,95. Оказалось, что значение ε колеблется от 4,7 до 5,5. Сумма всех измеренных значений ε Σε=50,3. Далее подсчитываем
εчаст=50,3/10=5,03
S=(1,282/9)1/2=0,377
В таблице находит для γ=0,95 и N=9 t=2.26. Подставляя полученные величины, находим
S/(10)1/2 =0,269.
Граничные значения εср=5,03±0,27
Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что величина εср ограничена значениями
4,76≤ εср ≤ 5,30
Результаты определения электрической прочности
| № интервала | Напряжение пробоя | р | М Общее число пробоев | Ui-Ucp | (Ui-Ucp)2 |
| 27,2 | 0,3 | 0,3 | 3.04 | 9.25 | |
| 27,6 | 1,3 | 2.64 | 6,97 | ||
| 2,0 | 3,3 | 2.24 | 5,00 | ||
| 28,4 | 4,0 | 7,3 | 1.84 | 3,38 | |
| 28,8 | 8,5 | 15,8 | 1.44 | 2,07 | |
| 29,2 | 12,0 | 27,8 | 1.04 | 1,08 | |
| 29,6 | 14,5 | 42,3 | 0.64 | 0,41 | |
| 58,3 | 0.24 | 0,06 | |||
| 30,4 | 72,3 | 0.16 | 0,013 | ||
| 30,8 | 84,3 | 0.56 | 0,31 | ||
| 31,2 | 92,3 | 0.96 | 0,92 | ||
| 31,6 | 95,3 | 1.36 | 1,85 | ||
| 98,3 | 1.76 | 3,04 | |||
| 32,4 | 99,3 | 2.16 | 4,67 | ||
| 32,8 | 0,7 | 2.56 | 6,55 | ||
| Сумма | Uср=30,24 |
σ=0,676 кВ
kвар=2,24%
Оценка расхождений между средними знпчениями
Проверим гипотезу, что две независимые частичные совокупности n1 и n2 взяты из одной и той же нормально распределенной общей совокупности, имеющей среднее значение X0 и дисперсию s2.
Пусть оценки дисперсии S1 и S2 и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки является разность Xcp1 и Xcp2, дисперсия которой равна
s12/n1+s22/n2 = (n1 + n2)s2 /n1n2
Так как оценки S12 и S22 дисперсии s2 имеют вес n1 -1 и n2 -1, то полная оценка дисперсии s2 будет равна
S2 =[(n1 -1)S12 +(n2 -1)S22]/[(n1 -1)+(n2 -1)] =
= [S(X-Xcp)2 +S(X-Xcp)2]/(n1 +n2 -2)
В результате получаем
t = [(X -Xcp1)2/S][n1n2 /(n1 +n2)]
Для оценки значимости расхождения между двумя средними можно воспользоваться таблицей t с числом степеней свободы n1+n2 -2.
В вышеприведенном примере t=2,8, а табличное t=2,567 при n=18 P=0,02. Т.о. вероятность случайных значений t, которые по абсолютной величине не меньше наблюдаемого t ничтожно мала. Следовательно, наблюдаемое расхождение не является случайным.
Оценка дисперсии. Критерий Фишера.
Пусть есть две независимых совокупности X'...Xn1 ' и X"...Xn2 " со средними значениями Xcp1 и Xcp2. Оценки дисперсий S12 и S22.Необходимо выяснить, являются ли эти оценки существенно pазличными или данные частичные совокупности можно рассматривать, как взятые наудачу из нормальных общих совокупностей, имеющих равные дисперсии s2.
Для решения этой задачи используют критерий Фишера F - (дисперсионное отношение) - отношение оценок S12 и S22 дисперсии s, полученные из независимых частичных совокупностей F=S12/S22. Построены таблицы F в зависимости от степени свободы, которые могут быть превзойдены соответственно с вероятностью 0,05; 0,01 и др.
Проверяемая гипотеза: Частичные совокупности взяты из одной и той же совокупности из нормальных общих совокупностей равной дисперсией. За S12 берется большая из них.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -
Пример. 4. Пусть работают два лаборанта. У одного из них получилось Xср1 =4,57 S12 =0,0295 n=19 (n=20). У другого Xср2 =4,56 S22=0,0139 n=12
Находим F=0,0295/0,0139=2,12. По таблице при n=19 и 12 и 5% уровне значимости F=2,54. Так как рассчитанное F меньше табличного, то нет оснований считать разницу в точности существенной.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Критерий Романовского
Для сравнения дисперсий с помощью критерия Романовского вводится величина f=[(n -2)/n ]F, где F-критерий Фишера. Математическое ожидание этой величины в случае независимого выбора из нормальных общих совокупностей с одинаковой дисперсией равно 1, а основное отклонение равно sr =+[(2n1 +n1 -2)/ n1(n2 -4)]1/2.
По величине критерия R=|f-1|/sr можно сделать заключение о существенности или случайности расхождений между оценками S12 и S22.
Если R³3, то расхождение существенно.
Если R<3, то расхождение признается случайным.
Для применения этого критерия надо, чтобы одно из значений степеней свободы было больше 4. Оно принимается за n2. В примеpе о работе двух лаборантов получаем f=1,77 и sr =0,72 R=1,07.Вывод тот же.
Критерий согласия Пирсона P(c2)
Критерий Пирсона проверяет гипотезу, удовлетворяет ли рассматриваемая случайная величина заданному закону распределения F(X). Критерий Пирсона называется также критерием согласия или критерий хи-квадрат. Критерий служит для проверки гипотезы, что функция распределения, полученная экспериментально, F(X), соответствует некоторой заданной (гипотетической) функции распределения F0(X). Для расчетов область значений Х делится на ряд интервалов h. Пусть рi теоретическая вероятность того, что случайная величина попадает в интервал i. Затем сравниваем число с теоретическим.
Распределение Р(c2) представляет собой вероятность того, что
случайная величина c2 =S(Xh2/sh2) (где Xh =ni -nч; nч -частота нормального распределения) примет значение, превосходящее некоторое заданное:
h
c2 =S(ni-npi)2/npi
i=1
где рi=ni/n и h-число интервалов; Xh(h=1,n) - независимые случайные величины, имеющие нормальные распределения с общим средним значением, равным нулю и дисперсиями sh2 (h=1,n). Число независимых величин n - число степеней свободы.
Пусть есть m независимых линейных связей и n - случайные величины.
Тогда n=n-m. Есть Таблица, где по данному значению c2 и числу степеней свободы n n найти вероятность P(c2) того, что c2 превзойдет данное значение.
Например, для n=10 и 5% уровня значимости по таблице находим c2 =18,307. Это значит, что вероятность того, что c2 с 10 степенями свободы будет превышать 18,307, равна 0.05. Когда n>30 вероятность P(c2) находится по формуле
P(c2)=(1/2)[1-Ф(x)],
где Ф(X) берется из таблицы - функция Лапласа.
При n>30, распределение величины (2c2)1/2 оказывается приближенно нормальным со средним значением, равным (2n-1)1/2 и основным отклонением, равным единице.
Оценка воспроизводимости.
Дисперсию генеральной совокупности s2х нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки - выборочной дисперсии S2ч. Распределение S2х можно получить по распределению c2 .
Если есть выборка n независимых наблюдений X1,X2,...Xn над нормально распределенной случайной величиной, то имеет место распределение c2
c2 =S[(Xi -Xcp)2 /sх ]
с f=n-1 степенями свободы. Плотность c2 зависит только от f:
f(c2)= 1/[2f/2 Г(f/2)] (c2)(f-2)/2 exp(-c2 /2), 0 < c < ¥.
Есть таблицы f от f и с разной 1-p доверительной вероятностью.
Двусторонняя оценка Sx. Кривые асимметричны, степень симметрии
уменьшается с увеличением f.
c2 p/2 £c2 £c2 1-p/2
Односторонняя оценка: c2 £ c21-p; c2 ³ c2p .
Или двусторонняя:
fS2x / c2 1-p/2 £ s2х £ fS2х/c2р
и односторонняя:
sх2 £ fSх2 /c2 р и sх2 ³ fSх2 /c21-р
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Пример 5. Испытания показали,что параметр X равен 17,2, 16,3, 15,5
Определить ошибку воспроизводимости. Для этого рассчитаем выборочную дисперсию
Sх2 = S(X-Xср)2 /(3-2)=0,73
При доверительной вероятности 1-р=0,9 по таблице при f=2 находим
c2 0,05 =6 и c2 0,95 = 0,103
0,73 х 2/6 £ sх2 £ 0,73 х 6/0,103
0,24 £ sх2 £ 14,1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
При n>30 выборочная S распределена нормально с математическим ожиданием s с ощибкой ss = sx /(2f)1/2 = Sx/(2f)1/2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Пример 6. Оценить ошибку воспроизводимости s для выборки из 31
измерений с S =0,85 при 1-p = 0,9.
Доверительный интервал:
c2 0,05 = 43,8 и c2 0,95 =18,5
0,85.30/43,8 £ sх2 £ 0,85.30/18,5; 0,48 £ sх2 £ 1,13
Ошибки косвенных измерений
Пусть случайная величина Z зависит от наблюдений по известному
закону Z=f(X1,X2,...Xn). Дисперсию косвенных измерений можно найти, зная дисперсию отдельных наблюдений. На практике определяют выборочную дисперсию Sxi2 и по ним выборочную дисперсию косвенного измерения Sz2. Чтобы найти ее, разложим функцию Z(X) в ряд Тейлора в точке m1,m2...mn, ограничиваясь членами первого порядка:
Z=f(m1, m2...mn) + (X1 -m1)df/dX1 + (X2 -m2)df/dX2 +...(Xn -mn)df/dXn
и Sz определим по закону сложения дисперсий (закон накопления ошибок)
n
Sz2 = S(df/dXi)Si2
i=1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Пример 7. Определить ошибку определения линейной скорости движения газа в трубопроводе v, если измерено G=3000 м /час, S =10 м /час, сечение трубопровода F=0,1 м ± 1 см.
Решение: v - результат косвенных измерений v=G/F=3000/0,1=30000 м/час= =8,82 м/сек. Sv =[(dv/dG)2 SG2 + (dv/dF)2 SF2 ]1/2 = [SG2/F2 + G2 SF2/F4]1/2 =
= [10000 + 900]1/2 = 100/3600 = 0,03 м/c
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Определение воспроизводимости (дисперсии по текущим измерениям).
Если сделано m параллельных опытов и получена выборка y1,y2,...yn то дисперсия воспроизводимости
u
Sв2 =[S(y-ycp)]/(m-1)
u-1
и ошибка опыта (ошибка воспроизводимости) Sвос = (Sв2)1/2
Общая дисперсия воспроизводимости S2 = SS(yn -yi)/Smi -n
где yn =Sym /mm.
Если число параллельных опытов одинаково (m1 =m2 =...=m),то дисперсия воспроизводимости S2 =SSi2/n или
n m
Sв2 = S S(yiu-yicp)2/n(m-1)
i-1 u-1
Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов m1=mn=...=m, то для их сравнения используют критерий Кохрена
n
G=S2max /SSi2
i=1
