Приложение 2. Практические занятия

 

Практическое занятие 3

Оценка расхождений между средними значениями

Проверим гипотезу, что две независимые частичные совокупности n₁ и n₂ взяты из одной и той же нормально распределенной общей совокупности, имеющей среднее значение X₀ и дисперсию s².

Пусть оценки дисперсии S₁ и S₂ и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки является разность X_cp1 и X_cp2, дисперсия которой равна

s₁²/n₁+s₂²/n₂ = (n₁ + n₂)s² /n₁n₂

Так как оценки S₁² и S₂² дисперсии s² имеют вес n₁ -1 и n₂ -1, то полная оценка дисперсии s² будет равна

S² =[(n₁ -1)S₁² +(n₂ -1)S₂²]/[(n₁ -1)+(n₂ -1)] =

= [S(X-X_cp)² +S(X-X_cp)²]/(n₁ +n₂ -2)

В результате получаем

t = [(X_ср2 -X_cp1)/S][n₁n₂ /(n₁ +n₂)]^0.5

 

Для оценки значимости расхождения между двумя средними можно воспользоваться таблицей t с числом степеней свободы n₁+n₂ -2.

В вышеприведенном примере t=2,8, а табличное t=2,567 при n=18 P=0,02. Т.о. вероятность случайных значений t, которые по абсолютной величине не меньше наблюдаемого t ничтожно мала. Следовательно, наблюдаемое расхождение не является случайным.

 

Практическое занятие 4

Расчет доверительных границ. Оценка брака.

Рассчитаем по результатам выборки контрольных параметров, какой ожидается процент изделий не соответствующих заданным параметрам – процент брака. В соответствии с техническими условиями показатель качества должен быть x±z (например, 25±5).

Задача формулируется следующим образом: Найти вероятность того, что абсолютное отклонение Δх=Х-Хср не превзойдет заданного числа z (5). Чтобы от естественных значений х перейти к нормализованным Х, нужно использовать табличные значения Ф(Х), требуется провести нормализацию

Х=(х-хср)/Sx..

По результатам 15 испытаний рассчитаем S и Хср.

Вероятность противного события Р(Δх<=5)=2Ф(5/σ)=Y. Поэтому Р(Δх>=5)=1-Y.

2Ф(5/2,36)=2*0,482=0,964 Р=1-0,964=0,036 или Р=3,6%

 

Практическое занятие 5.

Оценка дисперсий. Критерий Фишера.

Пусть есть две независимых совокупности со средними значениями Х1 и Х2.Оценки дисперсий S1 и S2. Необходимо оценить, являются ли эти совокупности существенно различными или эти данные взяты из общей совокупности с дисперсией σ.

Для этого используют критерий Фишера F=S₁²/S₂². По Таблице критериев F Фишера находим отношение. Eсли рассчитанное значение F меньше табличного, то нет основания считать, что разница в разбросе данных (в совокупностях) существенна.

Первое задание посвящено сравнительному анализу дисперсий. Существенная разница дисперсий говорит о плохих методиках измерений, в результате которых были получены экспериментальные данные, или о плохой квалификации лаборантов, которые эти данные получили, или о несовершенстве технологий получения образцов (либо изделий), с помощью которых эти образцы были получены.

Второе задание посвящено сравнительному анализу самих результатов. Существенная разница между результатами Х указывает на то, что химический состав образцов (изделий) разный, либо говорит о разных технологиях их изготовлений.

Соответствующую оценку проводят, используя критерий Стьюдента t.

Сначала рассчитывают суммарную среднеквадратичную погрешность S²

S² =[(n₁ -1)S₁² +(n₂ -1)S₂²]/[(n₁ -1)+(n₂ -1)] =

= [S(X-X_cp)² +S(X-X_cp)²]/(n₁ +n₂ -2)

а затем рассчитывают значение критерия t.

В результате получаем

t = [(X_ср2 -X_cp1)/S][n₁n₂ /(n₁ +n₂)]^1/2

Если значение t превышает допустимое табличное, значит расхождение существенное.

Примечание.

Табличное значение F при вероятности 5% и при количестве результатов испытаний n1=n2=12 составляет F=2,54.

Табличное значение t при вероятности 5% и при количестве результатов испытаний n1=n2=12 составляет t=2,201.

 

Пример задания: Два столбца цифр – результаты проведения двух серий испытаний. Следует рассчитать средние значения Хср1 и Хср2, затем среднеквадратичные погрешности S1 и S2 и далее провести расчеты F и t как указано выше.

 

Практическое занятие 6.

Оценка воспроизводимости. Выявление и исключение грубых ошибок.

 

Перед тем, как сравнивать серии результатов экспериментов, следует установить, нет ли среди результатов грубых ошибок.

Для этого полезно расположить все результаты в порядке возрастания и выделить результат существенно отличающийся от всех остальных.

Затем для резко выделяющегося результата Хв рассчитывают значение

Q=(Хв-Х)/R гдн Х – соседнее значение и R- размах варьирования R=Хмах-Хмин

Если рассчитанное Q больше табличного для выбранного уровня значимости при числе параллельных наблюдений n, то значение Хв может быть отнесено к анормальному, его следует либо перемерить, либо исключить из ряда экспериментальных данных.

 

Таблица. Значения Q для оценки резко выделяющихся наблюдений при различных уровнях значимости α

Число наблюдений n	α=0,01	Α=0,05	α =0,1
	0,99	0,94	0,89
	0,76	0,64	0,56
	0,58	0,48	0,40

Перед тем, как перейти к планированию экспериментов следует оценить качество методик, по которым будут проводиться эксперименты.

Для этого следует оценить однородность дисперсий результатов. (См. Практическог занятие 5) и провести оценку воспроизводимости.

Для этого следует провести n независимых серий экспериментов, в каждой серии содержится m опытов. Для каждой серии следует рассчитать средние значения

Хср= ΣXi/m

рассчитать выборочные дисперсии

Si²=Σ(Xcp-Xi)²/(m-1)

Рассчитать суммарную величину дисперсий по результатам n серий

Scум²= Σ Si²

Найти отношение максимальной дисперсии из n серий к сумме дисперсий из числа всех серий

G=Simax²/Scум²

И сравнить полученное экспериментальное значение критерия Кохрена G с табличным G при m сериях по n экспериментов в каждой серии.

Если экспериментальное значение G меньше табличного (при вероятности 0,05) Gэксп<Gтаб, то это значит, что эксперименты удовлетворительно воспроизводятся и это заключение верно с вероятностью 95%.

 

Пример. Имеются три серии экспериментальных результатов

 

Практическое занятие 7.

Корреляция. Расчет уравнения регрессии.

 

Методом наименьших квадратов найти уравнение вида Y=b_о +b₁X, наилучшим образом описывающую положительную регрессионную зависимость Y от X.

Для этого составляем систему уравнений:

Sy_i - S(b +b₁X) = 0 ¶Ф/¶b₀ = S(y_i -(b₀+b₁x_i)) = 0

Sx_iy_i - S(b₀+b₁x_i) =0 ¶Ф/¶b₁ = S(y_i -(b₀+b₁x_i)x_i ) = 0

 

После преобразований находим

b = [Sx_iSy_i - NSx_iy_i ]/[ (Sx_i)²-NSx_i²]

b₀ =Y_cp-b₁X_cp

Коэффициент корреляции рассчитываем по формуле

R = [S(x_i -x_cp)(y_i -y_cp)]/(n-1)S_xS_y -1£R£+1

или

R=b₁S_x/S_y = b₁{[nSx_i² -(Sx_i)² ]/[nSy_i² -(Sy_i)² ]}^1/2

Проверку вычислений проводят по формуле:

S(x_i+y_i)² = Sx_i² + 2Sx_iy_i + Sy_i²

Качество аппроксимации оценивают, сравнивая S²_ост и дисперсию относительно среднего

S_у² = [S(y_i-Y_cp)²]/(n-1)

S²_ост = [SS(y_in -Y_icp)²]/(Sm_i -L)

где L - число коэффициентов в уравнении регрессии.

Пример

Получены экспериментальные точки зависимости Y(X)

Х	Y	x*y	x*x	y*y
	11,5			132,25
Sum=42	64,5			753,25

 

После расчетов получили

 

Y=4,3+0,9214*X

R=b1*((nSxi^2-(Sxi)^2)/(nSyi^2-(Syi)^2))^0,5
R=0,9214*((6*364-42^2)/(6*753,25-64,5^2))^0,5
R=0,996264

R^2=0.99254