Основные сведения из термодинамики

Основные свойства газа

Изложение данного курса основано на представлении газа как сплошной сжимаемой среды. Среда называется сплошной, если имеет достаточно большое число молекул в бесконечно ма­лом объеме занимаемого пространства. Это позволяет рассмат­ривать такие параметры, как плотность газа, давление, ско­рость и температуру как непрерывные функции координат и, следовательно, широко применять аппарат математического анализа.

Термодинамическое состояние газа определяется тремя величинами: давлением , плотностью и температурой . Все эти параметры взаимосвязаны. Изменение какой-либо из этих величин приводит в общем случае к изменению осталь­ных. Математическая зависимость указанных параметров назы­вается уравнением состояния сжимаемой среды

(1.1)

Иногда вместо плотности газа вводят понятие удельного объема , представляющего собой величину, обратную плотно­сти, т.е.

(1.2)

В термодинамике в качестве уравнения состояния газа ши­роко используется уравнение Клапейрона-Менделеева

(1.3)

где - газовая постоянная (для каждого газа своя), Дж/(кг К). Значение для каждого газа можно вычислить, если известна его молекулярная масса (кмоль/кг), по формуле:

(1.4)

где - универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль К).

Уравнение состояния (1.3) получено теоретически для модели идеального газа, т.е. газа, в котором отсутствуют силы притяжения между молекулами и изменение внутренней энергии связано только с изменением его абсолютной темпе­ратуры . Для единицы массы газа это изменение опреде­ляется по формуле:

(1.5)

где -удельная теплоемкость газа при постоянном объе­ме, Дж/(кг К).

Для реальных сжимаемых сред внутренняя энергия за­висит не только от температуры, но и от давления, и соотно­шение (1.5) теряет силу.

Именно поэтому газ, подчиняющийся уравнению вида (1.3), называют идеальным (в специальной литературе по газовой динамике такой газ называют еще совершенным). В газодинами­ке вводят также понятие идеальный газ в смысле невязкий (по аналогии с моделью идеальной жидкости), т.е. газ, у которого отсутствуют силы внутреннего трения. Поэтому, когда используется этот термин, необходимо четко различать какая из этих моделей имеется в виду.

Во избежание путаницы будем в дальнейшем пользоваться первым определением идеального газа, различая при этом отдельно случаи невязкого и вязкого газа.

Реальные газы, в общем случае, не следуют закону Кла­пейрона-Менделеева. Это уравнение с достаточной точностью может быть применено для реальных газов только в узком диа­пазоне изменения температуры и давления. Причем этот диапа­зон для каждого газа свой.

В настоящее время предложено множество эмпирических и полуэмпирических уравнений состояния для реальных газов. Наиболее известные из них - это уравнение Ван дер Ваальса и нижеследующее уравнение

(1.6)

которое широко применяется в большинстве задач нефтяной и газовой отраслях промышленности.

В уравнении (1.6) - коэффициент, учитывающий степень отклонения реального газа от идеального (совер­шенного), принимает значение меньшее, равное и большее единицы. Иногда называют коэффициентом сжимаемости или сверхсжимаемости. Коэффициент , вообще говоря, является функцией давления и температуры . Для нахождения численных значений можно рекомендовать обобщенные графики, на которых представлен в зависимо­сти от приведенных значений давления и температуры

(1.7)

где и - критические температура и давление, яв­ляющиеся физико-химическими характеристиками газа.

Известно, что изменяя и можно осуществлять фазовый переход вещества из газообразного в жидкое состояние, но не всегда.

Критическая температура - это температура, выше ко­торой газ невозможно перевести в жидкое состояние никаким (сколь угодно большим) повышением давления, т.е. при газ еще можно обратить в жидкость. Минимальное давление, которое обеспечивает переход из газообразного состояния в жидкое при , называется критическим .

Для каждого индивидуального (чистого) газа значение и можно найти в специальной литературе по добыче, транспорту и переработке природного и нефтяного газа. Для газовых смесей вводятся понятия псевдокритических значений давления и температуры, определяемых через и вхо­дных в смесь компонентов как средневзвешенные значения.

Основные сведения из термодинамики

Первое начало термодинамики представляет собой частную форму применительно к тепловым процессам всеобщего закона природы - закона превращения и сохранения энергии. Для ква­зистатических процессов он формулируется следующим образом: подведенное к единице массы газа бесконечно малое количест­во тепла расходуется на повышение внутренней энергии газа и на выполнение термодинамической работы

(1.8)

где - удельный объем, определяемый по формуле (1.2).

Формальное интегрирование выражения (1.8) позволяет найти полное количество тепла, которое подведено к газу в процессе изменения его состояния от начального 1 до конечного2.

(1.9)

 

Интеграл, стоящий в правой части равенства (1.9), представляет работу термодинамического процесса расширения и зависит от характера процесса, т.е. вида кривой, соеди­няющей точки 1 и 2 на поверхности . Это указывает на то, что , входящее в равенство (1.8), не является полным дифференциалом. Однако, если обе части равенства (1.8) умножить на интегрирующий множитель , то выражение становится полным диффе­ренциалом некоторой функции состояния , называемой эн­тропией, т.е.

(1.10)

При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 изме­нение не зависит от характера процесса пере­хода, а целиком и полностью определяется начальным и ко­нечным состояниями.

Следует обратить внимание, что равенство (1.10) справедливо для обратимых процессов. Обратимым называется процесс изменения состояния, который, будучи переведен в обратном направлении, возвращает систему в первоначальное состояние через теже промежуточные состояния без каких- либо изменений в окружающей среде.

Необратимые процессы изменения состояния определяются условием

(1.11)

Неравенство (1.11) является математическим выражени­ем второго начала термодинамики, которое характеризует на­правление протекающих в природе макроскопических процессов. Второе начало термодинамики позволяет установить количест­венное соотношение между работой, которая могла бы быть совершена системой при обратимом процессе, и действительной работой.

При изучении закономерностей движения газа необходимо учитывать термодинамический процесс изменения состояния га­за. При этом различают изотермический, адиабатный, изоэнтропийный, изоэнтальпийный процессы.

Процесс, происходящий без теплообмена системы с окружающей средой, называется адиабатным. Процесс в системе, при котором сохраняется неизменной энтропия системы, назы­вается изоэнтропийным. Изоэнтропийный процесс - это не что иное как обратимый адиабатный процесс. Он возможен в энерге­тически изолированной системе при отсутствии трения между частицами газа. При наличии трения между частицами газа адиабатный процесс будет неизоэнтропийным. Выделяющееся внутри системы тепло, обусловленное работой сил трения при­водит к возрастанию энтропии и, конеч­но, процесс при этом будет необратимым.

Процесс в системе, характеризуемый постоянством эн­тальпии, называется изоэнтальпийным.

Энтальпией (теплосодержанием), отнесенной к единице массы, называется функция

(1.12)

которая определяется только состоянием газа, например, тем­пературой и давлением.

Рассмотрим основные соотношения термодинамических пара­метров для идеального газа, которые будут использоваться в дальнейшем при изложении курса.

Подведенное к системе тепло приведет к новому состоянию газа с параметрами . Количество подведенного тепла можно выразить через удельную тепло­емкость газа при постоянном давлении

(1.13)

С другой стороны, согласно первому началу термодина­мики подведенное тепло идет на изменение внутренней энер­гии газа, которое в соответствии с (1.5) равно , и на выполнение работы расширения газа . Сле­довательно,

(1.14)

Второе слагаемое в правой части равенства (1.14) можно преобразовать, используя уравнение состояния (1.3), к виду

(1.15)

Если теперь заменить второе слагаемое в (1.14) по формуле (1.15), то после сокращения на величину получим известное в термодинамике выражение Майера

(1.16)

Используя соотношения (1.3), (1.5) и (1.16), можно получить иные выражения для энтальпии . В самом деле, из (1.12) имеем

(1.17)

Последнее выражение предстанет в ином виде, если в нем заменить по формуле (1.3)

(1.18)

где (1.19)

Изменение энтропии при переходе идеального газа из состояния 1 в состояние 2 определится интегрирова­нием (1.10), которое с учетом выражений (1.5) и (1.3) дает

или, если использовать формулу Майера (1.16)

(1.20)

Используя (1.20), получается уравнение адиабаты Пуассона, описывающее изоэнтропийный (обратимый адиабат­ный) процесс изменения состояния газа

(1.21)

Показатель степени , входящий в (1.21) и оп­ределяемый формулой (1.19), называется показателем адиа­баты Пуассона.

 

2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ

Вводные замечания

Движение любой сжимаемой среды характеризуется следую­щими физическими величинами: скоростью движения, плотностью среды, температурой и давлением. Причем в самом общем слу­чае все эти величины взаимосвязаны. Изменение какой-либо одной из них автоматически приводит к изменению всех остальных. Связь указанных величин описывается математически уравнениями, которые получаются из общих фундаментальных законов физики, механики, термодинамики. С отдельными соотно­шениями - уравнением состояния и уравнением термодинамичес­кого процесса - уже знакомы. Эти уравнения справедливы как для покоя, так и для движения, Однако в случае движения сжимаемой среды этих уравнений недостаточно для решения ин­женерных задач. К ним необходимо добавить уравнения, содер­жащие скорость движения, которые получаются при применении законов сохранения массы и энергии, законов изменения коли­чества движения и момента количества движения к движущейся сжимаемой среде.

В виду того, что в большинстве задач инженерной прак­тики трубопроводного транспорта газа приходится иметь дело с одномерными течениями, а также из-за ограниченности объе­ма настоящего пособия, изложение основных законов движения сжимаемой среды дается применительно к одномерным потокам конечных размеров. Хотя можно было бы (так же, как и в курсе гидравлики) сначала рассмотреть основные законы газодинамики в самом общем (трехмерном) случае, а затем с помощью элементарной струйки распространить их на поток конечных размеров введением средней^* (по сечению потока) скорости .

Закон сохранения массы

Рассмотрим отсек потока газа, ограниченный живыми се­чениями 1-1 и2-2, отстоящими друг от друга на расстоянии (рис. 2.1).

 

Рис.2.1. К выводу зако­на сохранения массы

Первое сечение характеризуется координатой ( - направление вдоль потока), второе – соответственно .

Поскольку давление является функцией координаты и газ - сжимаемая среда, то плотность и скорость потока будут также функциями . В самом общем случае, когда движение неустановившееся величины , , являются еще и функциями времени, т.е.

Переменным будет и массовый расход газа . Причем, при неустановившемся течении в любой фиксированный момент времени массовые расходы газа в первом сечении и во втором сечении определяются

;

(2.1)

Согласно закону сохранения массы, разница и рав­на изменению массы газа, заключенной в отсеке потока дли­ной . Это изменение должно рассматриваться во времени, масса газа в рассматриваемом отсеке в любой фиксированный момент времени определяется как . Изменение этой массы во времени определяется как производная по времени .

Следовательно, согласно закону сохранения массы, мож­но записать

(2.2)

Разложим в ряд Тейлора:

Подставляя это разложение в (2.2) и учитывая, что , будем иметь:

Поскольку длина отсека не зависит от времени , ее можно вынести из под знака производной. После сокращения на последнее равенство можно записать:

Или, если учесть, что массовый расход можно выразить через среднюю скорость потока как произведение ,

(2.3)

Это уравнение называет уравнением неразрывности (или сплошности) для неустановившегося одномерного течения газа или любой сжимаемой среды.

В случае движения газа в трубах и каналах постоянного сечения уравнение неразрывности (2.3) при­нимает вид

(2.4)

В случае установившегося течения газа и уравнение неразрывности (2.3) принимает вид

Это равносильно тому, что вдоль потока (при устано­вившемся движении) массовый расход не изменяется

(2.5)

т.е. для любых двух сечений потока газа справедливо равен­ство:

(2.5’)

Соотношение (2.5) или (2.5') называют уравнением расхода.