Поняття про двофакторний дисперсійний аналіз

Припустимо, що в розглянутій задачі про якість різних (m) партій вироби виготовлялися на різних (l) верстатах і потрібно з'ясувати, чи є суттєві відмінності в якості виробів по кожному фактору: А - партія виробів, В - верстат. В результаті ми приходимо до задачі двофакторного дисперсійного аналізу.

Усі наявні дані представимо у вигляді табл. 5.4, в якій по рядках - рівні фактора А, по стовпцях - рівні чинника В, а у відповідних комірчинах таблиці знаходяться значення показника якості виробів

Двофакторна дисперсійна модель має вигляд:

, (5.14)

де - значення спостереження в осередку ij з номером k;

- загальна середня;

- ефект, обумовлений впливом i -го рівня фактора А;

- ефект, обумовлений впливом j -го рівня фактора В;

- ефект, обумовлений взаємодією двох факторів, тобто відхилення від середнього за спостереженнями у клітинці ij від суми перших трьох доданків в моделі (5.14);

- збурення, обумовлене варіацією змінної в середині окремої комірки.

 

Таблиця 5.4

В А			…		…
			…		…
			…		…
	…	…	…	…	…	…
			…		…
	…	…	…	…	…	…
			…		…

Вважаємо, що має нормальний закон розподілу , а всі математичні сподівання дорівнюють нулю. Групові середні знаходяться за формулами:

по клітинці – (5.15)

по рядку – (5.16)

по стовпцю – (5.17)

Загальне середнє - (5.18)

 

Таблиця 5.5 – таблиця дисперсійного аналізу.

Можна показати, що перевірка нульових гіпотез про відсутність впливу на розглянуту змінну факторів А, В та їх взаємодії АВ здійснюється порівнянням відношень (для моделі I з фіксованими рівнями факторів) або відношень (для випадкової моделі ІІ) з відповідними табличними значеннями F - критерію Фішера-Снедекора. Для змішаної моделі III перевірка гіпотез щодо факторів із фіксованими рівнями проводиться так само, як у моделі II, а факторів із випадковими рівнями - як в моделі I.

Якщо n = 1, тобто при одному спостереженні в осередку, то не всі нульові гіпотези можуть бути перевірені, оскільки випадає компонента із загальної суми квадратів відхилень, а з нею і середній квадрат , бо в цьому випадку не може бути мови про взаємодію чинників.

 

Таблиця 5.5

Компоненти дисперсії	Сума квадратів	Число степенів вільності	Середні квадрати
Міжгрупова (фактор А)		m -1
Міжгрупова (фактор В)		l- 1
Взаємодія (АВ)		(m -1)(l -1)
Залишкова		mln-ml
Загальна		mln -1

 

◄ Приклад 5.2. У табл. 5.6 наведені добові прирости (г) відібраних для дослідження 18 поросят в залежності від методу утримання поросят (фактор А) та якості їх годівлі (фактор В). Необхідно на рівні значущості

= 0,05 оцінити суттєвість (достовірність) впливу кожного фактора і їх взаємодії на добовий приріст ваги поросят.

Розв’язання. Маємо m = 3, l = 2, n = 3. Визначимо (в г) середні значення приросту ваги:

в осередках – за (5.15): ;

і аналогічно,

Таблиця 5.6

Кількість голів в групі (фактор А)	Вміст протеїну в кормі, г (фактор В)
Кількість голів в групі (фактор А)	В1=80	В2=100
А1 = 30	530, 540, 550	600, 620, 580
А2 = 100	490, 510, 520	550, 540, 560
А3 = 300	430, 420, 450	470, 460, 430

; по рядках – за (5.16):

і, аналогічно

по стовпцях - за (5.17):

і, аналогічно

Загальний середній приріст - за (5.18):

Всі середні значення приросту (г) відобразимо у табл. 5.7. З таблиці 5.7 випливає, що зі збільшенням кількості голів у групі середній добовий приріст поросят у середньому зменшується, а при збільшенні вмісту протеїну в кормі - в середньому збільшується. Але чи є ця тенденція достовірною або пояснюється випадковими причинами? Для відповіді на це питання за формулами табл. 5.5 обчислимо необхідні суми квадратів відхилень:

Середні квадрати знаходимо діленням отриманих сум на відповідну їм кількість степенів вільності m- 1= 2, l -1 = 1; (m -1) (l -1) = 2; mln - ml = 18-6 = 12; mln- 1 = 18-1 = 17.

 

Таблиця 5.7

Кількість голів у групі (фактор А)	Вміст протеїну в кормі, г (фактор В)

 

 

Результати зведемо в табл. 5.8.

 

Очевидно, дані фактори мають фіксовані рівні, тобто ми знаходимося в рамках моделі I. Тому для перевірки істотності впливу факторів А, В та їх взаємодії АВ необхідно знайти відношення:

і порівняти їх з табличними значеннями відповідно .

 

Таблиця 5.8

Компонента дисперсії	Суми квадратів	Число степенів вільності	Середні квадрати
Міжгрупова (фактор А)   Міжгрупова (фактор В)   Взаємодія (АВ)
Залишкова
Загальна

 

 

Оскільки і , то вплив методу утримання поросят (фактору А) та якості їх годівлі (фактора В) є істотним. В силу того що , взаємодія зазначених факторів незначна. ►

 

Зауваження. З точки зору техніки обчислень для знаходження сум квадратів доцільніше використовувати формули:

(5.19)

(5.20)

(5.21)

(5.22)

. (5.23)

Так, у розглянутому прикладі 5.2:

і за формулами (5.19) - (5.23):

 

При вирішенні реальних завдань методом дисперсійного аналізу використовуються статистичні програмні пакети.

Відхилення від основних передумов дисперсійного аналізу - нормальності розподілу досліджуваної змінної і рівності дисперсій в осередках (якщо воно не надмірне) - не позначається істотно на результатах при рівному числі спостережень в осередках, але може бути дуже чутливим при нерівному їх числі. Крім того, при нерівному числі спостережень в осередках різко зростає складність апарату дисперсійного аналізу. Тому рекомендується планувати схему з рівним числом спостережень в осередках, а якщо зустрічаються відсутні дані, то відшкодовувати їх середніми значеннями інших спостережень в осередках. При цьому, проте, штучно введені відсутні дані не слід враховувати при обчисленні степенів вільності.

Контрольні питання

 

1. В чому полягає сутність дисперсійного аналізу?

2. За яких умов застосовують однофакторний дисперсійний аналіз?

3. За яких умов застосовують двофакторний дисперсійний аналіз?

4. Як інтерпретувати результати дисперсійного аналізу?

 

 

РОЗДІЛ 6