Розв'язання. оскільки підінтегральна функція є непарною відносно 
, то можна застосувати підстановку 
.
відповідь. 
Розглянемо інтеграл виду 
, що є окремим випадком раніше розглянутого інтеграла 
. Для знаходження таких інтегралів рекомендується:
| Якщо m – ціле додатне непарне число | підстановка 
| |
| Якщо n – ціле додатне непарне число | підстановка 
| |
| Якщо m, n - цілі додатні парні числа | застосовуємо формули пониження степеня |
, 
- формули пониження степеня.
приклад 7.3 Знайти інтеграл 
Розв'язання. 
відповідь. 
приклад 7.4 Знайти інтеграл 
Розв'язання. 
відповідь. 
Інтеграли виду 
зводяться
до алгебраїчної суми табличних інтегралів за допомогою формул: 
приклад 7.5 Знайти інтеграл 
Розв'язання. 
відповідь. 
ЗАДАЧА 7. Індивідуальні завдання
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
| 27. 
|
28. 
| 29. 
| 30. 
|
Визначені інтеграли
якщо функція 
визначена на відрізку 
- довільне розбиття відрізка на n частин, то інтегральною сумою функції на відрізку 
називається сума виду 
Визначеним інтегралом функції на відрізку називають скінчену границю інтегральної суми 
, якщо найбільша з різниць 
прямує до нуля, і при цьому не залежить від способу розбиття відрізка та вибору точок 
і позначають 
якщо функція інтегрована на відрізку і F(x) одна з її первісних, то визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця: 
Наприклад, обчислимо інтеграл 
.
Розв'язання. 
відповідь. 
ЗАДАЧА 8 (8.1-8.30) обчислити визначений інтеграл за допомогою методу інтегрування частинами.
Метод інтегрування частинами.
у визначеному інтегралі інтегрування частинами виконують за формулою: 
функції, диференційовані на .
приклад 8.2 обчислити інтеграл 
Розв'язання. 
відповідь. 1
приклад 8.3 обчислити інтеграл 
Розв'язання. 
відповідь. 
ЗАДАЧА 8. Індивідуальні завдання
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
| 27. 
|
28. 
| 29. 
| 30. 
|
Метод заміни змінної.
нехай в інтегралі 
проведено заміну змінної 
. Якщо функція 
визначена і неперервна на відрізку , функція 
диференційована і визначена на відрізку 
, причому 
, то має місце формула заміни змінної у визначеному інтегралі: 
. при застосуванні даної формули слід пам'ятати про необхідність заміни границь інтегрування. Можлива також обернена заміна 
.
ЗАДАЧА 9.(9.1-9.30) обчислити визначений інтеграл за допомогою методу заміни.
Приклад 9.1 обчислити 
Розв'язання. застосуємо підстановку 
. границі інтегрування знаходимо із співвідношень 
і 
. Функції та її похідна 
неперервні на відрізку 
, що підтверджує законність даної підстановки. Отже маємо 
=
= 
.
відповідь. 
ЗАДАЧА 9. Індивідуальні завдання
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
| 27. 
|
28. 
| 29. 
| 30. 
|
Невласні інтеграли
Означення. Невласним інтегралом від неперервної функції f(x) на 
на інтервалі 
називається 
:
. (3)
Якщо ця границя скінченна, то кажуть, що невласний інтеграл збігається, якщо ж границя (3) не існує або нескінченна, то інтеграл називається розбіжним.
Аналогічно, за означенням, 
.
Для визначення інтеграла на інтервалі 
розіб’ємо заданий інтервал довільною точкою с на два: 
, 
. Тоді, якщо кожний із невласних інтегралів 
і 
збігається, то збігається і інтеграл 
і дорівнює їх сумі:
.
Якщо ж хоча б один із невласних інтегралів або розбігається, то розбігається і .
Задача 10 (10.1 - 10.30). Обчислити невласний інтеграл з нескінченними границями інтегрування.
Приклад 10.1. Обчислити невласний інтеграл
.
Розв'язання. В цьому прикладі обидві границі інтегрування нескінченні, тому розбиваємо заданий інтеграл на два:
.
Далі, за означенням, маємо
