В классической механике предполагалось, что координата точки и ее импульс могут быть определены одновременно с любой точностью. Попробуем понять, какие трудности возникают, если пытаться применить классические понятия к объекту, обладающему двойственной природой (частица-волна). Рассмотрим так
называемый пакет волн. Если сложить несколько волн с различными частотами, распространяющиеся в направлении х, получится сложная несинусоидальная волна [xi]. Если будет складываться очень большое число волн со всевозможными длинами, образуется волновой пакет шириной D х (см.рис.). Монохроматическая волна имеет определенную длину волны и, соответственно импульс р = h / l = const,
D р ® 0, а протяженность ее D х ® ¥. Очень узкий волновой пакет содержит множество волн, количество которых в пределе стремится к бесконечности и разброс импульсов в нем D р ® ¥ [xii], а протяженность
D х ® 0. Т.о., мы приходим к выводу, чем более точно локализован волновой пакет, тем больше оказывается неопределенность в его импульсе.
Гейзенберг выдвинул принцип неопределенности: «Существует принципиальное ограничение на точность, с которой могут быть определены физические величины, не связанное с точностью приборов». Он предложил также формулы, смысл которых в следующем.
| соотношения неопределенностей для координаты и импульса [xiii] «Если измеряется координата х частицы и одновременно проекция ее импульса в направлении х - (рх), то минимальные ошибки при их одновременном измерении связаны этими соотношениями» |
Существует также соотношение неопределенности, касающееся энергии и времени.
| соотношения неопределенностей для энергии и времени. «Если атомная система обладает энергией Е в течение времени t, то одновременное измерение этих величин возможно лишь с точностью, определяемой данным соотношением» |
Из соотношений неопределенностей следует, что чем точнее определяется одна величина, тем менее точно – другая при одновременном их измерении,. Так как 
очень мало, то эти ограничения существенны только в атомных масштабах.
С помощью соотношений неопределенностей можно дать простые объяснения фактам, установленным другими путями. Например.
1). Входит ли электрон в состав атомного ядра?
| D х = 10-14 м | Размер ядра по порядку величины |
| Предположим, что электрон находится в ядре. Найдем неопределенность в его импульсе и примем ее равной самому импульсу[xiv] |
 МэВ
| кинетическая энергия релятивистского электрона в ядре (считаем, что он движется как квант со скоростью с) |
| Из опытов по радиоактивному бета-распаду известно, что энергии вылетающих из ядра электронов значительно меньше. Следовательно, в ядре «готовых» электронов нет; электрон образуется в ядре при превращении нейтрона в протон. |
2). Оценим с помощью соотношения неопределенностей энергию связи электрона в атоме водорода.
| D х =0,5 10-10 м | размер атома Н |
| импульс электрона, вычисленный с помощью соотношения неопределенности |
 эВ
| Энергия нерелятивистского электрона (1 эВ=1,6×10-19 Дж). По порядку величины совпадает с энергией, вычисленной по теории Бора |
3). Найдем предел точности, с которой можно определить частоту и длину волны излучаемого света
| время возбужденного атома, спустя это время электрон возвращается на нижележащую орбиту, и атом испускает квант света с энергией Е |
 Гц
| предел точности определения частоты излучения, найденный с помощью соотношения неопределенности |
| предел точности измерения длины световой волны для зеленого света l =(500,0000000 ± 0,0000002) нм с = 3×108 м/с – скорость света в вакууме |
Уравнение Шрёдингера.
Открытие двойственной природы частиц привело к пониманию о невозможности описывать поведение микрочастиц с помощью классических представлений и законов. Стало ясно, что нельзя говорить о траектории частицы, т.е. о точном ее местоположении в любой момент времени. Появилась новая наука – квантовая механика. Вместо слова траектория частицы было введено понятие о вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства. Для описания поведения микрочастиц Шрёдингер (1926 г) предложил дифференциальное уравнение:
 i
| нестационарное уравнение Шрёдингера; решение уравнения позволяет найти вероятность нахождения частицы в том или ином мете пространства | |
| мнимая единица | |
| M | масса рассматриваемой частицы | |
| U (x,y,z,t) | потенциальная энергия частицы, зависящая в общем случае от координат и времени | |
| оператор Лапласа (или лапласиан) краткое обозначение математической операции дифференцирования в частных производных;  - набла (греч. слово nabla - арфа, символ по форме напоминает этот инструмент)
| |
| Y (x,y,z,t) | пси-функция или волновая функция, физического смысла не имеет, но квадрат ее модуля êYê2 – это вероятность нахождения частицы в данном месте пространства (подробнее см. дальше – стационарное уравнение Шрёдингера) | |
Математически уравнение Шрёдингера имеет бесконечное число решений, что физически неприемлемо, поэтому на пси-функцию накладываются дополнительные условия:
1).Пси-функция должна быть:
а) конечной – вероятность не может быть больше 1,
б) непрерывной – вероятность не может внезапно оборваться,
в) однозначной – не может быть две вероятности в одной точке,
2) Производные пси-функции должны быть непрерывны,
3) Пси-функция должна подчиняться условию нормировки:
| условие нормировки; смысл его в том, что вероятность обнаружить частицу во всем мыслимом пространстве равна 1. |
В тех случаях, когда потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от времени, т.е U = U (x,y,z), пси-функцию можно представить как произведение двух функций: Y (x,y,z,t) = y (x,y,z)× j (t). (Y - большая буква пси,
y - малая буква пси, обе функции называются пси- или волновыми функциями.) Подставим в уравнение (i) и, разделим на (y × j).. Получим:
| Левая часть уравнения зависит только от t, правая – только от координат, следовательно, каждая из них должна быть равна некоторой постоянной, которую мы обозначим Е. | |||
| 
| 
| j (t) называется временнОй частью пси-функции, со временем она затухает | |
Если приравнять константе Е правую часть уравнения, получим:
 a
| стационарное уравнение Шрёдингера Е – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия |
При решении уравнения Шредингера мы
| Задаем | находим |
| U – потенциальную энергию частицы m – массу частицы | y - пси-функцию (собственные функции) Е – полную энергию частицы (собственные значения) |
Решение уравнения с учетом дополнительных условий, накладываемых на пси-функцию, приводит не к любым величинам энергии Е, а к дискретным:
Е1, Е2,…, Еn. В теории Бора электрон мог находиться тоже только в дискретных энергетических состояниях, но при этом была введена искусственно гипотеза о квантовании момента импульса электрона. Уравнение Шрёдингера приводит к квантованию энергии естественно, как математическое решение.
При решении оказывается, что данному энергетическому состоянию частицы могут соответствовать одна или несколько (к) пси-функций. Иначе говоря, при данной энергии Еn частица может вести себя по-разному. Тогда говорят, что уровень Еn к -кратно вырожден и обозначают пси-функцию как 
Если на систему воздействовать внешним, например магнитным полем, то вырождение снимается, уровень расщепляется на несколько уровней. Практически это обнаруживается в спектрах, вместо одной линии появляются несколько. Например, в спектре атома водорода на приборе с большим разрешением можно обнаружить, что почти все линии спектра являются дублетами.
Рассмотрим подробнее пси-функцию.
| y - пси-функция | физического смысла не имеет | |
 1/м3
для 3-х-мерного случая
| плотность вероятности (квадрат модуля пси-функции) – по смыслу – это вероятность того, что частица находится в единичном объеме в данном месте пространства Р – вероятность. | |
 1/м
для одномерного случая
| --²--…. вероятность того, что частица находится на единичном отрезке… | |
| вероятность того, что частица находится в элементарном объеме dV | |
| вероятность того, что частица находится в конечном объеме V | |
| вероятность того, что частица находится во всем пространстве | |
Уравнение Шрёдингера (a) решается точно только для упрощенных, нереальных случаев, например, электрон в одномерной потенциальной яме. Из реальных объектов уравнение можно решить точно только для атома водорода при использовании сферических координат и для иона 
в эллиптических координатах. Во всех остальных случаях для решения применяются приближенные методы.
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА
Гармонический осциллятор.
В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх2/2, частота колебаний 
. Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (a), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.
| уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора Т.к. случай одномерный, оператор Лапласа D y = d2y / dx2, потенциальная энергия U = кх2/2. |
Мы не приводим решение этого уравнения, т.к. оно выходит далеко за рамки курса. [xv] Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:
| Полная энергия квантового осциллятора n = 0, 1, 2,…,¥ |
 при
n = 0
| Эта величина называется нулевой энергией осциллятора. |
По классическим представлениям при Т ® 0 К энергия должна стремиться к 0, решение уравнения Шрёдингера приводит к выводу о существовании нулевой энергии;
даже при абсолютном нуле (Т = 0 К) частица имеет энергию ¹ 0.
На рис. показаны плотности вероятности 
при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е1, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии hn.
Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.
| соотношение неопределенностей | |
| D х» А | неопределенность в координате примем равной амплитуде А колебаний | |
| D р» р = mv = mw А | неопределенность в импульсе примем равной самому импульсу; максимальная скорость колебаний v = w А | |
| Е - максимальная энергия гармонических колебаний (Е =кх2 /2, )
| |
Таким образом, из соотношения неопределенностей следует, что энергия осциллятора равна 
.
Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)
Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения.
1).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы ® ¥, т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.).
2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0£ х £ а (одномерная задача).
Запишем уравнение Шрёдингера a для частицы в виде:
 [
| Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме |
При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию y (х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: 
. Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие 
, смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.
| Отсюда следует:  , т.к. sin 0 = 0, а cos 0 = 1 ¹ 0, то В = 0
|
Таким образом, получаем:
 ·
| Решение уравнения ([). Здесь неизвестными пока остаются А и w. |
Величину w найдем из второго краевого условия 
| А ¹ 0, следовательно, sinwa = 0, и значит wa = np, где n - -целые числа. Отсюда получаем w. |
Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.
| Смысл этого условия в том, что частица обязательно находится в пределах ширины ямы 0 ¸ а, следовательно, вероятность этого события равна 1. |
Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (·), подставим w, и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2 sin2a = 1- cos2a.
|
Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:
|
Зная А и w, найдем окончательный вид решения:
| Пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной яме, физического смысла не имеет. |
| Плотность вероятности для частицы в одномерной яме - определяет вероятность нахождения частицы на единичном отрезке ямы |
Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение [. Получим:
| энергия частицы в одномерной потенциальной яме, |
На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности представляют собой вероятности, т.к. .
Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е1 частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.
