Если при β-распаде происходит образование дочернего ядра не только в основном, но и в возбужденном состоянии, суммарный β-спектр является суперпозицией нескольких парциальных β-спектров, подобных (8.1).
8.5. Ядра отдачи при β-распаде. Спектр ядер отдачи при β-распаде также непрерывен. Определим максимальную энергию ядра отдачи, выразив ее через Еβ. Импульсы β-частицы и нейтрино после распада равны р e и р ν соответственно. Максимальный импульс, а значит, и максимальную энергию ядро отдачи будет иметь тогда, когда векторы р e и р ν направлены в одну и ту же сторону. Из закона сохранения импульса в этом случае следует, что
.
Полагая любые испускаемые нейтрино ультрарелятивистскими, выразим импульс ядра отдачи через максимальную энергию β-спектра. Так как 
, а 
, то
.
Чтобы найти, при каком рβ импульс ря.о достигает максимального значения, вычислим производную
.
Так как эта производная всегда положительна, т.е. ря.о растет с ростом рβ, максимально возможный импульс ядра отдачи равен импульсу β-частицы, вылетающей с энергией Еβ (импульс нейтрино в этом случае равен нулю). Движение ядра отдачи можно рассматривать классическим образом, т.е.
.
Подставляя сюда квадрат импульса β-частицы с кинетической энергией, равной Еβ (см. ПРИЛОЖЕНИЕ Е), найдем, что максимальная энергия ядра отдачи
. (8.7)
Так как энергия покоя ядра отдачи всегда много больше энергии покоя электрона и даже максимальной энергии β-частиц, максимальная энергия ядер отдачи при β-распаде, как правило, не превышает 10 кэВ.
8.6. Разрешенные и запрещенные β-переходы. Для огромного числа β-радиоактивных нуклидов период полураспада составляет от нескольких секунд до нескольких часов. Тем не менее, существуют и видимые исключения; среди них 40K и 87Rb, периоды полураспада которых измеряются миллиардами лет (п. 6.3). Теория β-распада, созданная Ферми, позволяет объяснить подобные аномалии.
Пусть имеется система частиц, начальное состояние которой описывается не зависящей от времени волновой функцией ψi. Пусть далее внутри этой системы возникают дополнительные силы (слабые), причем эти силы существенно меньше тех, что обеспечивают существование самой системы (сильные). За счет дополнительного слабого взаимодействия система может перейти в некоторое новое состояние ψf. Используя математический аппарат квантовой механики, Ферми показал, что вероятность перехода системы из состояния ψi в состояние ψf в единицу времени за счет дополнительного взаимодействия с потенциалом Ũ
, (8.8)
где n (E) – плотность конечных состояний, т.е. число состояний, приходящееся на единичный интервал энергии; интегрирование в (8.8) ведется по всему пространству. Выражение (8.8) называют золотым правилом Ферми.
Малая интенсивность слабого взаимодействия по сравнению с сильным позволяет использовать (8.8) для получения вероятности β-распада. Ниже для определенности будем говорить о β–-распаде, когда ядро испускает электрон и антинейтрино. В этом случае в начальном состоянии существует материнское ядро, описываемое волновой функцией φi, а в конечном состоянии – дочернее ядро, электрон и антинейтрино, описываемые волновыми функциями φf, φe и φν. Считая, что дочернее ядро, электрон и антинейтрино после разлета не взаимодействуют друг с другом, имеем для волновой функции конечного состояния ψf = φf · φe · φν. Поскольку слабые силы – силы короткодействующие,[74] их потенциал внутри ядра может быть представлен некоторой постоянной GF, которая получила название константы Ферми. Экспериментально установлено, что GF = 89 эВ·фм3. За пределами ядра слабого взаимодействия нет.
Согласно введенным обозначениям, выражение (8.8) будет выглядеть как
. (8.9)
Стоящий в (8.9) интеграл есть мера перекрывания волновых функций начального и конечного состояний (отметим, что подынтегральное выражение отлично от нуля лишь в пределах объема ядра V). Плотность конечных состояний системы с точностью до постоянного множителя дается выражением (8.1). Если обозначить интеграл (8.4) через f 0, то можно записать
, (8.10)
где К – постоянная, одинаковая для всех ядер.[75] Стоящий в (8.10) интеграл М определяется особенностями структуры ядра. Можно ожидать, что значение М не будет зависеть от энергии, и вообще будет постоянно для распада нейтрона и тех распадов, при которых не меняется конфигурация нуклонов в ядре.[76] В остальных случаях форма спектра будет определяться свойствами конкретных ядер.
Экспериментально установлено, что спектры типа (8.1) действительно наблюдаются как раз в тех случаях, когда конфигурация нуклонов не меняется при распаде. Такие спектры (например, β-спектр нейтрона) получили название разрешенных. Спектры, имеющие другую форму, называются запрещенными. Степень отклонения формы спектра от разрешенной свидетельствует о влиянии структуры ядра на β-распад. Будет ли β-распад разрешенным или запрещенным, определяется моментами и четностями материнского и дочернего ядер.
Пусть спины материнского и дочернего ядер равны Ji и Jf соответственно. Суммарный спин, уносимый электроном и антинейтрино при центральном разлете, как суммарный момент импульса пары частиц со спином ½ и относительным орбитальным моментом L = 0 может быть равен 0 или 1.[77] В этом случае закон сохранения момента импульса требует
.
Подобные процессы являются разрешенными β-переходами. При Δ J = 0 конфигурация нуклонов в ядре не меняется и перекрывание волновых функций в (8.9) максимально. Четность при разрешенном переходе не изменяется.[78]
Если спины материнского и дочернего ядер таковы, что Δ J > 1, относительный орбитальный момент пары электрон-антинейтрино не может быть равен нулю. В этом случае по классическим понятиям происходит нецентральный разлет частиц, вероятность которого значительно меньше. Как уже отмечалось в предыдущей лекции, нецентральный разлет приводит к необходимости преодолеть центробежный барьер, высота которого определяется формулой, аналогичной (7.17).[79] С увеличением квантового числа l, т.е. с увеличением Δ J, увеличивается высота барьера и уменьшается вероятность туннельного эффекта. Так как вероятность тунелирования зависит от энергии частицы, энергетический спектр запрещенного β-перехода будет испытывать влияние этой зависимости и уже не будет совпадать с распределением (8.1).
Наконец заметим, что уносимая парой «электрон-антинейтрино» четность определяется ее орбитальным моментом, т.е. равна (–1) l. Различные четности материнского и дочернего ядер требуют, чтобы l было равно 1, 3, 5… Таким образом, переходы с изменением четности обязательно будут запрещенными.[80]
Понятие запрещенного β-перехода не означает абсолютного запрета. Оно означает лишь, что вероятность запрещенного перехода существенно меньше, нежели в случае разрешенного перехода. Действительно, как показывает практика, при увеличении порядка запрета (величины Δ J) на единицу постоянная распада радионуклида уменьшается от 102 до 104 раз, в зависимости от энергии β-частиц.
Вернемся теперь к превращениям 40K(4–) в 40Ca(0+) и 87Rb(3/2–) в 87Sr(9/2+). Это запрещенные переходы четвертого и третьего порядка с изменением четности. Максимальные энергии β-частиц равны 1,31 МэВ для 40K и 0,28 МэВ для 87Rb. Поэтому неудивительно, что периоды полураспада этих нуклидов составляют 1,3 и 48 млрд. лет соответственно.
