Лекция 5. Радиоактивный распад. Общие закономерности 4 страница

Если при β-распаде происходит образование дочернего ядра не только в основном, но и в возбужденном состоянии, суммарный β-спектр является суперпозицией нескольких парциальных β-спектров, подобных (8.1).

8.5. Ядра отдачи при β-распаде. Спектр ядер отдачи при β-распаде также непрерывен. Определим максимальную энергию ядра отдачи, выразив ее через Е_β. Импульсы β-частицы и нейтрино после распада равны р _e и р _ν соответственно. Максимальный импульс, а значит, и максимальную энергию ядро отдачи будет иметь тогда, когда векторы р _e и р _ν направлены в одну и ту же сторону. Из закона сохранения импульса в этом случае следует, что

.

Полагая любые испускаемые нейтрино ультрарелятивистскими, выразим импульс ядра отдачи через максимальную энергию β-спектра. Так как , а , то

.

Чтобы найти, при каком р_β импульс р_я.о достигает максимального значения, вычислим производную

.

Так как эта производная всегда положительна, т.е. р_я.о растет с ростом р_β, максимально возможный импульс ядра отдачи равен импульсу β-частицы, вылетающей с энергией Е_β (импульс нейтрино в этом случае равен нулю). Движение ядра отдачи можно рассматривать классическим образом, т.е.

.

Подставляя сюда квадрат импульса β-частицы с кинетической энергией, равной Е_β (см. ПРИЛОЖЕНИЕ Е), найдем, что максимальная энергия ядра отдачи

. (8.7)

Так как энергия покоя ядра отдачи всегда много больше энергии покоя электрона и даже максимальной энергии β-частиц, максимальная энергия ядер отдачи при β-распаде, как правило, не превышает 10 кэВ.

8.6. Разрешенные и запрещенные β-переходы. Для огромного числа β-радиоактивных нуклидов период полураспада составляет от нескольких секунд до нескольких часов. Тем не менее, существуют и видимые исключения; среди них ⁴⁰K и ⁸⁷Rb, периоды полураспада которых измеряются миллиардами лет (п. 6.3). Теория β-распада, созданная Ферми, позволяет объяснить подобные аномалии.

Пусть имеется система частиц, начальное состояние которой описывается не зависящей от времени волновой функцией ψ_i. Пусть далее внутри этой системы возникают дополнительные силы (слабые), причем эти силы существенно меньше тех, что обеспечивают существование самой системы (сильные). За счет дополнительного слабого взаимодействия система может перейти в некоторое новое состояние ψ_f. Используя математический аппарат квантовой механики, Ферми показал, что вероятность перехода системы из состояния ψ_i в состояние ψ_f в единицу времени за счет дополнительного взаимодействия с потенциалом Ũ

, (8.8)

где n (E) – плотность конечных состояний, т.е. число состояний, приходящееся на единичный интервал энергии; интегрирование в (8.8) ведется по всему пространству. Выражение (8.8) называют золотым правилом Ферми.

Малая интенсивность слабого взаимодействия по сравнению с сильным позволяет использовать (8.8) для получения вероятности β-распада. Ниже для определенности будем говорить о β^–-распаде, когда ядро испускает электрон и антинейтрино. В этом случае в начальном состоянии существует материнское ядро, описываемое волновой функцией φ_i, а в конечном состоянии – дочернее ядро, электрон и антинейтрино, описываемые волновыми функциями φ_f, φ_e и φ_ν. Считая, что дочернее ядро, электрон и антинейтрино после разлета не взаимодействуют друг с другом, имеем для волновой функции конечного состояния ψ_f = φ_f · φ_e · φ_ν. Поскольку слабые силы – силы короткодействующие,[74] их потенциал внутри ядра может быть представлен некоторой постоянной G_F, которая получила название константы Ферми. Экспериментально установлено, что G_F = 89 эВ·фм³. За пределами ядра слабого взаимодействия нет.

Согласно введенным обозначениям, выражение (8.8) будет выглядеть как

. (8.9)

Стоящий в (8.9) интеграл есть мера перекрывания волновых функций начального и конечного состояний (отметим, что подынтегральное выражение отлично от нуля лишь в пределах объема ядра V). Плотность конечных состояний системы с точностью до постоянного множителя дается выражением (8.1). Если обозначить интеграл (8.4) через f ₀, то можно записать

, (8.10)

где К – постоянная, одинаковая для всех ядер.[75] Стоящий в (8.10) интеграл М определяется особенностями структуры ядра. Можно ожидать, что значение М не будет зависеть от энергии, и вообще будет постоянно для распада нейтрона и тех распадов, при которых не меняется конфигурация нуклонов в ядре.[76] В остальных случаях форма спектра будет определяться свойствами конкретных ядер.

Экспериментально установлено, что спектры типа (8.1) действительно наблюдаются как раз в тех случаях, когда конфигурация нуклонов не меняется при распаде. Такие спектры (например, β-спектр нейтрона) получили название разрешенных. Спектры, имеющие другую форму, называются запрещенными. Степень отклонения формы спектра от разрешенной свидетельствует о влиянии структуры ядра на β-распад. Будет ли β-распад разрешенным или запрещенным, определяется моментами и четностями материнского и дочернего ядер.

Пусть спины материнского и дочернего ядер равны J_i и J_f соответственно. Суммарный спин, уносимый электроном и антинейтрино при центральном разлете, как суммарный момент импульса пары частиц со спином ½ и относительным орбитальным моментом L = 0 может быть равен 0 или 1.[77] В этом случае закон сохранения момента импульса требует

.

Подобные процессы являются разрешенными β-переходами. При Δ J = 0 конфигурация нуклонов в ядре не меняется и перекрывание волновых функций в (8.9) максимально. Четность при разрешенном переходе не изменяется.[78]

Если спины материнского и дочернего ядер таковы, что Δ J > 1, относительный орбитальный момент пары электрон-антинейтрино не может быть равен нулю. В этом случае по классическим понятиям происходит нецентральный разлет частиц, вероятность которого значительно меньше. Как уже отмечалось в предыдущей лекции, нецентральный разлет приводит к необходимости преодолеть центробежный барьер, высота которого определяется формулой, аналогичной (7.17).[79] С увеличением квантового числа l, т.е. с увеличением Δ J, увеличивается высота барьера и уменьшается вероятность туннельного эффекта. Так как вероятность тунелирования зависит от энергии частицы, энергетический спектр запрещенного β-перехода будет испытывать влияние этой зависимости и уже не будет совпадать с распределением (8.1).

Наконец заметим, что уносимая парой «электрон-антинейтрино» четность определяется ее орбитальным моментом, т.е. равна (–1) ^l. Различные четности материнского и дочернего ядер требуют, чтобы l было равно 1, 3, 5… Таким образом, переходы с изменением четности обязательно будут запрещенными.[80]

Понятие запрещенного β-перехода не означает абсолютного запрета. Оно означает лишь, что вероятность запрещенного перехода существенно меньше, нежели в случае разрешенного перехода. Действительно, как показывает практика, при увеличении порядка запрета (величины Δ J) на единицу постоянная распада радионуклида уменьшается от 10² до 10⁴ раз, в зависимости от энергии β-частиц.

Вернемся теперь к превращениям ⁴⁰K(4^–) в ⁴⁰Ca(0⁺) и ⁸⁷Rb(3/2^–) в ⁸⁷Sr(9/2⁺). Это запрещенные переходы четвертого и третьего порядка с изменением четности. Максимальные энергии β-частиц равны 1,31 МэВ для ⁴⁰K и 0,28 МэВ для ⁸⁷Rb. Поэтому неудивительно, что периоды полураспада этих нуклидов составляют 1,3 и 48 млрд. лет соответственно.