Лекция 5. Радиоактивный распад. Общие закономерности 3 страница

Вылет из ядра α-частиц (и других положительно заряженных нуклонных образований) объясняется квантовомеханическим эффектом тунелирования, т.е. возможностью частицы двигаться в классически запрещенной для нее области между точками поворота, где Т < U.

Для того чтобы найти вероятность прохождения положительно заряженной частицы через кулоновский потенциальный барьер, рассмотрим вначале прямоугольный барьер ширины a и высоты V, на который падает частица с энергией E (рис. 7.4). За пределами барьера в областях 1 и 3 уравнение Шредингера выглядит как

,

а во внутренней области 2 как

.

 

Решением его являются плоские волны

,

,

,

причем

.

Амплитуда А ₁ соответствует волне, падающей на барьер, В ₁ – волне, отраженной от барьера, А ₃ – волне, прошедшей сквозь барьер (так как прошедшая волна уже более не отражается, амплитуда В ₃ = 0). Поскольку Е < V,

величина q – чисто мнимая, и волновая функция под барьером

, (7.9)

где

.

Второе слагаемое в формуле (7.9) отвечает экспоненциально растущей волновой функции, а значит, и растущей с увеличением х вероятности обнаружить частицу под барьером. В связи с этим величина В ₂ не может быть большой по сравнению с А ₂. Тогда, положив В ₂ просто равным нулю, имеем

. (7.10)

Коэффициент прозрачности D барьера, т.е. вероятность найти частицу, первоначально находившуюся в области 1, в области 3, есть просто отношение вероятностей обнаружить частицу в точках х = а и х = 0. Для этого достаточно знания волновой функции под барьером. В результате[58]

. (7.11)

Представим далее потенциальный барьер произвольной формы как совокупность N прямоугольных потенциальных барьеров с высотой V (x) и шириной Δ x (рис. 7.5). Вероятность прохождения частицы через такой барьер есть произведение вероятностей пройти все барьеры друг за другом, т.е.

Тогда, рассматривая барьеры бесконечно малой ширины и переходя от суммирования к интегрированию, получаем

(7.12)

Пределы интегрирования x ₁ и x ₂ в формуле (7.12) соответствуют классическим точкам поворота, в которых V (x) = E, при этом движение частицы в областях x < x ₁ и x > x ₂ считается свободным.

Для кулоновского потенциального барьера вычисление D согласно (7.12) можно провести точно. Это впервые было сделано Г.А. Гамовым в 1928 г., т.е. еще до открытия нейтрона (Гамов полагал, что ядро состоит из α-частиц).[59]

Для α-частицы с кинетической энергией T в потенциале вида u / r выражение для коэффициента прозрачности барьера принимает следующий вид:

, (7.13)

причем значение ρ определяется равенством T = u / ρ. Интеграл в показателе экспоненты после подстановки ξ = r ^1/2 принимает форму, удобную для интегрирования:

.

Последнее дает

.

Если высота кулоновского барьера значительно больше, чем энергия α-частицы, то ρ >> R. В этом случае

. (7.14)

Подставляя (7.14) в (7.13) и учитывая, что ρ = BR / T, получаем

. (7.15)

В общем же случае, когда высота кулоновского барьера сравнима с энергией испускаемой частицы, коэффициент прозрачности D дается следующей формулой:

, (7.16)

где – приведенная масса двух разлетающихся частиц (для α-частицы она очень близка к ее собственной массе). Формула (7.16) дает для ²³⁸U значение D = 10^–39, т.е. вероятность тунелирования α-частиц крайне мала.

Результат (7.16) был получен для случая центрального разлета частиц, т.е. такого, когда α-частица испускается ядром строго в радиальном направлении. Если же последнее не имеет места, то уносимый α-частицей момент импульса не равен нулю. Тогда при расчетах D следует учитывать поправку, связанную с наличием дополнительного центробежного барьера:

, (7.17)

где l = 1, 2, 3, и т.д.

Значение U_ц (R) называется высотой центробежного барьера. Существование центробежного барьера приводит к возрастанию интеграла в (7.12) и уменьшению коэффициента прозрачности. Однако эффект центробежного барьера не слишком велик. Во-первых, поскольку вращательная энергия системы в момент разлета U_ц (R) не может превышать энергию α-распада T, то чаще всего , и высота центробежного барьера не превышает 25% от кулоновского. Во-вторых, следует учесть, что центробежный потенциал (~1/ r ²) гораздо быстрее убывает с расстоянием, чем кулоновский (~1/ r). В результате вероятность испускания α-частицы с l ≠ 0 имеет практически тот же порядок величины, что и при l = 0.

Возможные значения l определяются правилами отбора по моменту импульса и четности, которые вытекают из соответствующих законов сохранения. Так как спин α-частицы равен нулю, а ее четность положительна, то

(7.18)

(индексы 1 и 2 относятся к материнскому и дочернему ядру соответственно). С помощью правил (7.18) нетрудно, например, установить, что α-частицы ²³⁹Pu (рис. 7.2) с энергией 5,157 МэВ испускаются только при центральном разлете, тогда как для α-частиц с энергией 5,144 и 5,016 МэВ l = 2.

7.3. Скорость α-распада. Вероятность α-распада как сложного события – произведение двух величин: вероятности образования α-частицы внутри ядра и вероятности покинуть ядро. Процесс образования α-частицы – чисто ядерный; его довольно сложно рассчитать точно, поскольку ему присущи все трудности ядерной задачи. Тем не менее, для простейшей оценки можно принять, что α-частицы в ядре существуют, что называется, «в готовом виде». Пусть v – скорость α-частицы внутри ядра. Тогда на его поверхности она окажется n раз в единицу времени, где n = v /2 R. Положим, что по порядку величины радиус ядра R равен длине волны де Бройля α-частицы (см. приложение Б), т.е. , где . Рассматривая, таким образом, вероятность распада как произведение коэффициента прозрачности барьера и частоты соударений α-частицы с барьером, имеем

. (7.19)

Если коэффициент прозрачности барьера удовлетворяет соотношению (7.15), то после подстановки и логарифмирования (7.19) мы получим закон Гейгера-Неттола (7.7).[60] Принимая энергию α-частиц T << В, можно приближенно определить, как зависят коэффициенты формулы (7.7) от А и Z радиоактивного ядра. Подставляя в (7.15) высоту кулоновского барьера (7.8) и учитывая, что при α-распаде Z ₁ = Z_α = 2 и μ ≈ M_α, имеем

,

где Z ₂ – заряд дочернего ядра. Тогда логарифмируя (7.19), найдем, что

,

.

Таким образом, С ₁ очень слабо (логарифмически) зависит от массы ядра, а С ₂ линейно зависит от его заряда.

Согласно (7.19), частота столкновений α-частицы с потенциальным барьером составляет для большинства α-радиоактивных около 5·10²⁰ с^–1.[61] Следовательно, величиной, определяющей постоянную α-распада оказывается коэффициент прозрачности барьера, сильно зависящий от энергии, так как последняя входит в показатель экспоненты. С этим и связана узость диапазона, в котором могут меняться энергии α-частиц радиоактивных ядер: частицы с энергиями выше 9 МэВ вылетают практически мгновенно, тогда как при энергиях ниже 4 МэВ они живут в ядре настолько долго, что α-распад очень трудно зарегистрировать.

Как уже отмечалось, спектры α-излучения часто имеют тонкую структуру, т.е. энергия испускаемых частиц принимает не одно, а целый ряд дискретных значений. Появление в спектре частиц с меньшей энергией (короткопробежных) соответствует образованию дочерних ядер в возбужденных состояниях. В силу закона (7.7) выход короткопробежных α-частиц всегда значительно меньше выхода частиц основной группы. Поэтому тонкая структура α-спектров связана, как правило, с переходами на вращательно возбужденные уровни несферических ядер с невысокой энергией возбуждения.

Если распад материнского ядра происходит не только из основного, но и из возбужденных состояний,[62] наблюдают длиннопробежные α-частицы. Примером могут служить длиннопробежные α-частицы, испускаемые ядрами изотопов полония ²¹²Po и ²¹⁴Po. Таким образом, тонкая структура α-спектров в ряде случаев несет информацию об уровнях не только дочерних, но и материнских ядер.

Учет того обстоятельства, что α-частица не существует в ядре, но образуется из составляющих ее нуклонов (двух протонов и двух нейтронов), а также более строгое описание движения α-частицы внутри ядра требуют и более детального рассмотрения физических процессов, происходящих в ядре. В связи с этим не приходится удивляться, что α-распады ядер подразделяются на облегченные и задержанные. Облегченным называется распад, для которого достаточно хорошо выполняется формула (7.19).[63] Если же реальный период полураспада превышает рассчитанный более чем на порядок,[64] такой распад называют задержанным.

Облегченный α-распад наблюдается, как правило, у четно-четных ядер, а задержанный – у всех остальных. Так, переходы нечетного ядра ²³⁵U в основное и первое возбужденное состояние ²³¹Th замедляются почти в тысячу раз. Если бы не данное обстоятельство, этот важный радионуклид (²³⁵U) оказался бы настолько короткоживущим, что не сохранился бы в природе к настоящему времени.

Качественно задержанный α-распад объясняется тем, что переход в основное состояние при распаде ядра, содержащего неспаренный нуклон (с наименьшей энергией связи) может иметь место только тогда, когда этот нуклон становится частью α-частицы, т.е. когда происходит разрыв другой пары нуклонов. Такой путь образования α-частицы значительно более затруднен, чем ее построение из уже существующих пар нуклонов в четно-четных ядрах. По этой причине и может происходить задержка перехода в основное состояние. Если, с другой стороны, α-частица все же образуется из пар нуклонов, уже существующих в таком ядре, дочернее ядро должно после распада оказаться в возбужденном состоянии. Последнее рассуждение объясняет довольно высокую вероятность перехода в возбужденные состояния для нечетных ядер (рис. 7.2).

Лекция 8. Бета-распад

8.1. Феноменологическое рассмотрение. β-распад наблюдается у ядер с любым массовым числом, т.е. каждый химический элемент имеет β-активные изотопы. Периоды полураспада β-радиоактивных ядер лежат в интервале от 0,01 с до 10¹⁷ лет. Энергия β-распада изменяется в более широких пределах, чем при α-распаде: от 18,6 кэВ (³Н) до 16,3 МэВ (¹²N). Кроме того, в отличие от α-распада, при β-распаде образуются три новых частицы: при β^–-распаде это электрон, антинейтрино и дочернее ядро отдачи, при β⁺-распаде – позитрон, нейтрино и ядро отдачи.[65] Позитрон – античастица [66] электрона, имеющая ту же массу m_e, но положительно заряженная, – был открыт в 1932 г. К. Андерсоном в космических лучах, а в 1934 г И. Кюри и Ф. Жолио – при облучении алюминия и бора α-частицами.[67] Электроны и позитроны β-распада называют β-частицами.

Поразительной особенностью β-распада оказалась непрерывность спектра энергий испускаемых β-частиц. Их энергетический спектр простирается от 0 до некоторого максимального значения Е_β, называемого верхней границей β-спектра. Средняя энергия β-частиц составляет примерно 1/3 от Е_β. При этом, как показали калориметрические измерения, энергия, приходящаяся на долю каждой β-частицы, равна не максимальной, а именно средней энергии. Эти результаты, казалось, противоречили закону сохранения энергии. Более того, при дальнейших исследованиях обнаружилось и видимое нарушение закона сохранения момента импульса. Так как при β-распаде массовое число ядра не изменяется, спины материнского и дочернего ядер должны оставаться либо целыми (четные А), либо полуцелыми (нечетные А), что и наблюдалось экспериментально. С другой стороны, они, очевидно, должны отличаться на ½ (спин, уносимый электроном). Наконец, опыты, в которых были измерены и сопоставлены импульсы β-частицы и ядра отдачи, указывали и на несоблюдение закона сохранения импульса.

Во избежание отказа от законов сохранения В. Паули постулировал, что при β-распаде вместе с β-частицей вылетает еще одна неизвестная и ненаблюдаемая частица с нулевым зарядом и спином ½. Эта частица уносит соответствующие доли энергии и импульса, необходимые для обеспечения законов сохранения. После открытия Чедвиком в 1932 г. нейтрона Энрико Ферми назвал ее нейтрино (т.е. «нейтрончик»). Поскольку нейтрино ускользает от наблюдения обычными ядерными методами, необходимо было предположить, что эта частица обладает очень малой или даже нулевой массой.[68] Верхний предел массы нейтрино можно определить путем очень точных измерений масс материнского и дочернего ядер и верхней границы β-спектра (для этого больше всего подходит β-распад ³Н).

Нейтрино очень слабо взаимодействует с веществом: его пробег в твердых материалах составляет ≈ 10¹⁵ км. Лишь в 1956 г. Ф. Райнэсу и К. Коуэну удалось экспериментально подтвердить существование нейтрино в опыте по поглощению его протонами с образованием нейтронов и позитронов:

p ⁺ + → n + e ⁺.

Это пример т.н. обратного β-процесса, идущего с исключительно малой вероятностью и чрезвычайно труднодоступного для наблюдения. Путем исследования обратных β-процессов было установлено, что нейтрино, испускаемые при β⁺-распаде не идентичны тем, что получаются при β⁻-распаде (в связи с этим последние и получили название антинейтрино).

Распределить энергию β-распада между тремя частицами можно бесконечно большим числом способов. Именно поэтому энергетический спектр β-частиц и (анти)нейтрино непрерывен (при электронном захвате спектр нейтрино дискретный). Как и в случае α-распада, на ядро отдачи приходится очень малая доля энергии, а большую ее часть уносят легкие частицы. При этом, поскольку энергия распада часто сравнима с энергией покоя электрона (m_ec ² = 0,511 МэВ), движение β-частиц и (анти)нейтрино описывается формулами не классической, а релятивистской механики.

Если пренебречь массой (анти)нейтрино по сравнению с массой всех других частиц, то условие энергетической разрешенности β-распада:

где , для β-распада может быть переписано в следующем виде:

где δ = 1 для β⁺-распада и 0 для β ^–-распада и электронного захвата, или

;

.

Далее для каждого трех видов β-распада получим:

а) , δ = 0, = –0,789 МэВ;

б) , δ = 1, = 1,811 МэВ;

в) , δ = 0, = 0,789 МэВ

(здесь мы обозначили материнское ядро ).

Из первого условия, в частности, видна нестабильность свободного нейтрона. Последние два условия говорят о том, что электронный захват может идти параллельно β⁺-распаду, а также когда последний запрещен энергетически.

Определим далее возможное число стабильных изобаров. Согласно формуле Вайцзеккера, сечение поверхности энергии связи плоскостью А = const − парабола. Однако в зависимости от того, является ли число нуклонов четным или нечетным, имеем два разных случая. Для изобаров с данным нечетным А имеется всего один β-стабильный нуклид (рис. 8.1), расположенный наиболее близко к минимуму параболы. В случае четных А имеем две параболы, соответствующие четно-четным (нижняя) и нечетно-нечетным (верхняя) изобарам (рис. 8.2). Как можно видеть из рисунка, для четных А могут существовать один, два или даже три стабильных изобара. Строго говоря, изобары с большей энергией при этом все-таки не вполне стабильны. Однако переход в изобар с наименьшей энергией требует процесса, при котором испускаются одновременно две β-частицы (или захватываются два электрона). Такой процесс известен под названием двойного β-распада. Его исчезающе малая вероятность приводит к тому, что периоды полураспада соответствующих нуклидов столь велики, что с трудом поддаются измерениям.[69] В заключение отметим, что, согласно рис. 8.2, нечетно-нечетные ядра могут оказаться неустойчивыми по отношению как к β^–-распаду, так и к электронному захвату, как это наблюдается у ⁴⁰К. Некоторые из них (например, ³⁶Cl) могут претерпевать и все три вида β-распада.

8.2. Замечания об электронном захвате. Процесс электронного захвата экспериментально обнаружить значительно труднее, чем β⁺- или β⁻-распад, поскольку он не сопровождается испусканием какого-либо обычного ядерного излучения (если только дочернее ядро не оказывается в возбужденном состоянии, испускающем γ-кванты). Однако вслед за электронным захватом происходит перестройка электронной оболочки атома (заполнение вакансии на внутренней орбитали). Поэтому наблюдаемым эффектом, связанным с электронным захватом, является испускание внеядерного характеристического рентгеновского излучения (см. п. 1.2), возникающего в результате заполнения вакансий в оболочке дочернего атома электронами с внешних орбиталей. Избыток энергии может вызвать также освобождение одного из атомных электронов: они называются электронами Оже.

Своеобразный характер процесса электронного захвата (не испускание, а захват электрона ядром) приводит к тому, что в данном случае постоянная распада зависит от внешних условий. Это связано с тем, что вероятность захвата прямо пропорциональна плотности электронов вблизи ядра (в смысле квадрата модуля электронной волновой функции | ψ (0)|²), которая зависит, в частности, от химической связи.[70] По этой же причине, если β⁺-распад и электронный захват одновременно разрешены энергетически, для тяжелых атомов, у которых плотность электронов вблизи ядра велика, электронный захват наиболее вероятен.

8.3. Слабое взаимодействие. Теория Ферми. На основе гипотезы Паули Ферми в 1933 г. построил количественную теорию β-распада. Основная идея Ферми заключалась в том, что β-частицы и нейтрино не существуют в ядре,[71] а рождаются в нем в процессе распада, подобно тому как фотон не является составной частью атома, а появляется непосредственно в процессе излучения. В связи с этим теория Ферми во многом похожа на теорию испускания света атомами. Однако для ее построения Ферми потребовалось ввести гипотезу о существовании особого типа короткодействующих сил, которые вызывают в ядре превращение нейтрона в протон (или протона в нейтрон) и испускание электрона и антинейтрино (или позитрона и нейтрино). Соответствующие силы отвечают т.н. слабому взаимодействию.

Для установления физического смысла слабого взаимодействия обратимся для начала к процессу рассеяния заряженных частиц. На рис. 8.3 схематично представлено столкновение двух электронов, приводящее к изменению их импульсов и энергий (диаграмма процесса). Ось времени направлена вверх. Перпендикулярно ей направлена координатная ось, условно описывающая положение частиц. Характер движения электронов (отталкивание) обусловлен электромагнитным взаимодействием. Электромагнитное поле условно обозначено волнистой линией, соединяющей точки максимального сближения частиц.

Обратимся теперь к процессу электронного захвата (рис. 8.4). Будем считать, что вначале имеются только протон (в составе ядра) и электрон. Взаимодействие между ними, не сводящееся к электромагнитному (т.е. слабое) приводит к коренным изменениям: частицы до и после взаимодействия уже не остаются теми же самыми. Тем не менее, никаких фундаментальных ограничений в виде нарушения законов сохранения для такого процесса не существует (необходимая для превращения энергия может быть получена от ядра как целого).

Дальнейшее рассуждение основано на следующем постулате. Согласно теории, получившей название квантовой теории поля, исчезновению какой-либо частицы на диаграмме процесса эквивалентно рождение ее античастицы. Заменив тогда на рис. 8.4 исчезновение электрона испусканием позитрона, мы приходим к рис. 8.5. Но такая диаграмма отвечает β ⁺ -распаду (направления осей в данном случае несущественны, так как они всегда могут быть выбраны нужным образом).

Аналогичной диаграммой может быть представлен и β⁻-распад (рис. 8.6). Важно то, за все три разновидности β-распада ответственно одно и то же слабое взаимодействие, или поле слабых сил. В настоящее время процессы как слабого, так и электромагнитного взаимодействия объединены в рамках электрослабой модели (ЭСМ), подтвержденной не отменяет основных результатов теории Ферми, излагаемых ниже.

8.4. Спектр β-частиц. Правило Сарджента. Рассматривая поле слабых сил действующим исключительно внутри ядра и пренебрегая кулоновским взаимодействием между дочерним ядром и β-частицей, Ферми показал, что распределение β-частиц по энергиям T_e имеет следующий вид:

, (8.1)

где D’ = const, Е ₀ – энергия покоя электрона, Е_b – максимальная энергия β-спектра, практически равная энергии β-распада.[72]

В предельном случае малой энергии распада, когда каждое из допустимых значений кинетической энергии электрона , выражение (8.1) упрощается:

. (8.2)

В другом предельном случае, когда практически все электроны можно считать ультрарелятивистскими[73], т.е. ,

. (8.3)

Графики, иллюстрирующие форму β-спектра в первом и втором случае, изображены на рис. 8.7.

Вычислим среднее значение кинетической энергии электрона в каждом из этих предельных случаев, согласно определению среднего:

.

В классическом пределе непосредственное интегрирование дает:

.

 

Распределение (8.3), соответствующее ультрарелятивистскому пределу, симметрично относительно своей середины, поэтому

.

Следовательно, среднее значение энергии β-частиц лежит в пределах от 1/3 до 1/2 Е_β. Поскольку ультрарелятивистские β-частицы испускаются ядрами редко, в практических расчетах часто полагают среднюю энергию β-частиц равной 1/3 отмаксимальной.

Полная вероятность вылета β-частицы находится интегрированием (8.1) по всем значениям Т_e от 0 до Е_b. Тогда постоянная β-распада

. (8.4)

Результатом интегрирования является сложная, но вполне определенная функция Е_β. Если пренебречь влиянием кулоновского взаимодействия электронов и позитронов с ядром и рассматривать для простоты лишь классический и ультрарелятивистский пределы, получим

, (8.5)

, (8.6)

соответственно, так как в каждом случае результат определяется размерностью интеграла. Таким образом, постоянная β-распада зависит от энергии как (E_β) ⁿ (правило Сарджента), где n = 3,5-5, т.е. не столь исключительно сильно, как при α-распаде.