2.3.1 Диференціальні рівняння рівноваги при поздовжньо-поперечному вигиністержня
Вигин стержня від дії поперечного навантаження з урахуванням впливу поздовжніх сил називають поздовжньо-поперечним вигином. Вплив поздовжніх сил виявляється суттєвим, якщо їх абсолютна величина має один порядок з величиною зусиль, які визивають втрату стійкості стержня.
Розглянемо плоский вигин стержня, вихідне положення якого зображено на рисунку 3. Обмежимося випадком малих деформацій стержня з матеріалу, що підкоряється закону Гука.
Рисунок 2.3 – Вихідне положення стержня системи
Диференціальні умови рівноваги елемента розтягнуто-вигнутого стержня (рисунок 2.4) для малих переміщень мають вигляд:
Суттєво, що ці рівняння складено для деформованого стану стержня.
Рисунок 2.4 – До виведення диференціальних рівнянь рівноваги стержня
За прийнятих припущень між внутрішніми зусиллями 
та переміщеннями 
для стержня постійної жорсткості існують залежності:
У випадку, коли поздовжня сила 
у стержні постійна, остання з залежностей (2.2) має вигляд:
де 
– жорсткість стержня при вигині;
– переміщення перерізу вздовж осі 
;
– інтенсивність розподіленого навантаження вздовж осі .
2.3.2 Розв’язок диференціального рівняння рівноваги при поздовжньо-поперечному вигині
Рівняння (2.3), яке звуть диференціальним рівнянням пружної лінії при поздовжньо-поперечному вигині, можна записати у вигляді:
Загальний розв’язок рівняння (2.4) у випадку, коли стержень зазнає розтягнення 
,
має вигляд:
де
– частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2.4).
Довільні постійні 
визначають з крайових умов.
У випадку, коли стержень зазнає стиснення 
, загальний розв’язок рівняння (2.4)
має вигляд:
2.3.3 Розв’язок за методом початкових параметрів
Розв’язок рівняння (2.4) у нормальних фундаментальних функціях (за методом початкових параметрів) у випадку, коли стержень зазнає розтягнення 
, має вигляд:
де 
– переміщення вздовж осі перерізу на початку координат;
– кут повороту перерізу на початку координат;
– момент в перерізі на початку координат;
– поперечна сила в перерізі на початку координат.
У випадку, коли стержень зазнає стиснення , розв’язок рівняння (2.4) по методу початкових параметрів має вигляд:
2.3.4 Дослідження стійкості методом початкових параметрів
Алгоритм розв’язання задачі стійкості методом початкових параметрів такий:
- визначаються поздовжні сили на кожній ділянці;
- визначаються параметри 
для кожної ділянки;
- складається рівняння пружної лінії для першої ділянки;
- за граничними умовами на лівому кінці визначаються початкові параметри (частина з них);
- визначаються 
в кінці першої ділянки (ці значення будуть початковими параметрами для другої ділянки);
- складається рівняння пружної лінії для другої ділянки;
- визначаються в кінці другої ділянки (ці значення будуть початковими параметрами для третьої ділянки) і так далі;
- складається рівняння пружної лінії для останньої ділянки.
У це рівняння увійдуть невідомі початкові параметри першої ділянки. Рівняння для їх визначення отримаємо із граничних умов на правому кінці.
Отримані рівняння – лінійні однорідні рівняння відносно невідомих початкових параметрів. Умова існування ненульового рішення дасть нам рівняння стійкості. Визначивши найменший корінь цього рівняння знайдемо критичне навантаження.
Позитивна якість цього методу: початкових параметрів ніколи не буває більше, ніж чотири. У найгіршому випадку рівняння стійкості ми отримаємо у вигляді визначника четвертого порядку.
Метод початкових параметрів доцільно використовувати для дослідження стійкості прямолінійних стержнів коли багато ділянок але відсутні проміжні опори. Для дослідження стійкості багатопрогонових балок та рам кращим є метод переміщень.
Метод переміщень
Метод переміщень є основним методом розрахунків стержневих систем на стійкість та міцність за деформованою схемою. Розробив цей метод для розв’язання задач стійкості та стійкої міцності стержневих систем видатний український вчений Н.В.Корноухов. Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості при поздовжньо-поперечному вигині, якими будемо користуватися в подальших розрахунках, наведено в позначеннях Н.В.Корноухова.
2.4.1Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості при поздовжньо-поперечному вигині
Обмежимося випадком малих деформацій стержня з матеріалу, що підкоряється закону Гука. Знехтуємо поздовжніми деформаціями стержня, а також впливом зсуву на поперечні деформації. У цьому випадку рівняння пружної лінії стержня (рисунок 2.5) матиме вигляд (2.8), коли стержень зазнає розтягнення , або (2.9), коли стержень зазнає стиснення 
.
Рисунок 2.5 - Вихідне й деформоване положення стержня
Підпорядкувавши рівняння пружної лінії граничним умовам:
одержимо систему рівнянь, з якої знайдемо значення згинальних моментів та поперечних сил на кінцях стержня 
:
де 
– зусилля на кінцях 
та 
стержня при поздовжньо-поперечному вигиністержня від місцевого навантаження коли перерізи та стержня жорстко защемлені; для обчислень слід користуватися результатами, які отримані для стержня з двома защемленими кінцями при поздовжньо-поперечному вигині стержня. Для найбільш часто вживаних випадків формули для обчислення наведено в таблиці 2.1.
– спеціальні функції. Визначаються ці функції для стиснуто-вигнутих стержнів (N<0) залежностями:
Тут N – поздовжня стискуюча сила.
Для розтягнуто-вигнутих стержнів (N>0) ці функції визначаються залежностями:
Зрозуміло, що величини 
та 
пов’язані залежністю 
або 
, тому тригонометричні функції обертаються в гіперболічні функції :
Інші позначення в залежностях (2.11) відповідають рисунку 2.5.
Залежностями (2.11) визначаються кінцеві зусилля стержня коли відомі переміщення кінцевих перерізів та - 
. Ці залежності надалі будемо називати основними залежностями методу переміщень при поздовжньо-поперечному вигиністержня в місцевій (локальній) системі координат.
У практичних додатках зручніше користуватися залежностями, записаними для загальної (глобальної) системи координат. Як видно з рисунка 2.6, між компонентами переміщень кінцевих перерізів та , визначеними в локальній (місцевій) і в глобальній (загальній) системах координат, існують залежності:
Рисунок 2.6 - До визначення зв’язку між компонентами переміщень визначеними в
локальній і в глобальній системах координат
З урахуванням залежностей (2.16) основні залежності методу переміщень (2.11) можна записати у вигляді:
Зауваження!
При користуванні формулами (2.11) та (2.17) для обчислень 
слід користуватися результатами, які отримані для стержня з двома з жорстко затиснутими кінцями при поздовжньо-поперечному вигині стержня. Для найбільш часто вживаних випадків формули для обчислення наведено в таблиці 2.1.
Таблиця 2.1 – Кінцеві зусилля балки з жорстко затиснутими кінцями
| Схема балки, навантаження та додатні кінцеві зусилля | Значення кінцевих зусиль при поздовжньо-поперечному вигині |
| 
|
| 
 
|
У тому випадку, коли на одному із кінців стержня є шарнір (наприклад, на кінці ), для визначення трьох зусиль 
ми маємо визначити чотири переміщення 
. Щоб не розшукувати зайву невідому, виключимо кут повороту шарнірного кінця 
. Для цього скористаємось тим, що в цьому випадку 
Знайшовши з цієї умови та підставивши його в 
отримаємо основні залежності методу переміщень для стержня із шарніром на кінці.
У локальній системі координат кінцеві зусилля визначаються залежностями:
Спеціальні функції 
та 
для стиснуто-вигнутих стержнів (N<0) визначаються залежностями:
Для розтягнуто-вигнутих стержнів (N>0) ці функції визначаються залежностями:
У переміщеннях глобальної системи координат 
визначаються залежностями:
Зауваження!
При користуванні формулами (2.18) та (2.21) для обчислень 
слід користуватися результатами, які отримані для стержня з одним затиснутим та з другим шарнірним кінцем при поздовжньо-поперечному вигині стержня. Для найбільш часто вживаних випадків формули для обчислення наведено в таблиці 2.2.
Таблиця 2.2 – Кінцеві зусилля балки з одним жорстко затиснутим кінцем, а другим - шарнірно обпертим
| Схема балки, навантаження та додатні кінцеві зусилля | Значення кінцевих зусиль при поздовжньо-поперечному вигині |
| 
|
| 
|
У тому випадку, коли стержень 
рами стиснутий, а один кінець, наприклад , вільний, то, підпорядкувавши рівняння пружної лінії умовам 
, отримаємо залежність, яка дозволить не розшукувати кут повороту та лінійне переміщення вільного кінця:
Урахувавши залежності (2.19) формулу (2.22) можна представити у вигляді:
У тому випадку, коли стержень рами стиснутий, а на одному кінці, наприклад на кінці , пружно-податлива при повороті опора 
, то, підпорядкувавши рівняння пружної лінії умові 
, отримаємо залежність, яка дозволить не розшукувати лінійне переміщення кінця :
Урахувавши залежності (2.19) залежності (2.24) можна представити у вигляді:
У тому ж випадку, коли стержень рами стиснутий, а на кінці "плаваюче" затиснення (
), то з рівнянь (2.24) отримаємо залежності:
У тому випадку, коли стержень рами стиснутий, а на обох кінцях стержня є шарніри, то, підпорядкувавши рівняння пружної лінії умовам 
, отримаємо:
У тих випадках, коли поздовжня сила в стержні дорівнює нулю (N=0), 
У цьому разі основні залежності методу переміщень обертаються у відомі основні залежності методу переміщень зі статики стержневих систем, коли виконується розрахунок не за деформованою схемою.
Основними залежностями методу переміщень для стержня при поздовжньо-поперечному вигині користуються в розрахунках на стійкість та міцність за деформованою схемою балок та рам. Коли ці розрахунки виконуються без використання обчислювальної техніки, зручно користуватися таблицями спеціальних функцій, які наведено нижче в таблицях 2.3 та 2.4. Таблиці взято з вибраних праць Н.В.Корноухова 
.
Таблиця 2.3 – Таблиці спеціальних функцій 
для стиснуто-вигнутих стержнів
|
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
| 0,00 | 2,00000 | 1,00000 | 3,00000 | 6,00000 | 3,00000 | 3,00000 | 0,00 |
| 0,10 | 1,99933 | 1, 00017 | 2,99950 | 5,99400 | 2,99800 | 2,98800 | 0,10 |
| 0,20 | 1,99733 | 1,00067 | 2,99800 | 5,97600 | 2,99199 | 2,95199 | 0,20 |
| 0,30 | 1,99399 | 1,00150 | 2,99550 | 5,94599 | 2,98195 | 2,89195 | 0,30 |
| 0,40 | 1,98931 | 1,00268 | 2,99199 | 5,90398 | 2,96785 | 2,80785 | 0,40 |
| 0,50 | 1,98328 | 1,00420 | 2,98748 | 5,84996 | 2,94964 | 2,69964 | 0,50 |
| 0,60 | 1,97589 | 1,00607 | 2 98195 | 5,78391 | 2,92725 | 2,56725 | 0,60 |
| 0,70 | 1,96712 | 1,00829 | 2,97541 | 5,70583 | 2,90060 | 2,41060 | 0,70 |
| 0,80 | 1,95697 | 1,01088 | 2,96785 | 5,61571 | 2,86959 | 2,22959 | 0,80 |
| 0,90 | 1,94542 | 1,01385 | 2,95926 | 5,51353 | 2,83411 | 2,02411 | 0,90 |
| 1,00 | 1,93244 | 1,01720 | 2,94964 | 5,39928 | 2,79402 | 1,79402 | 1,00 |
| 1,01 | 1,93107 | 1,01755 | 2,94862 | 5,38719 | 2,78975 | 1,76965 | 1,01 |
| 1,02 | 1,92967 | 1,01792 | 2,94759 | 5,37498 | 2,78543 | 1,74503 | 1,02 |
| 1,03 | 1,92827 | 1,01828 | 2,94655 | 5,36265 | 2,78107 | 1,72017 | 1,03 |
| 1,04 | 1,92685 | 1,01865 | 2,94550 | 5,35019 | 2,77666 | 1,69506 | 1,04 |
| 1,05 | 1,92541 | 1,01902 | 2,94444 | 5,33762 | 2,77220 | 1,66970 | 1,05 |
| 1,06 | 1,92396 | 1,01940 | 2,94336 | 5,32493 | 2,76769 | 1,64409 | 1,06 |
| 1,07 | 1,92250 | 1,01978 | 2,94228 | 5,31211 | 2,76313 | 1,61823 | 1,07 |
| 1,08 | 1,92102 | 1,02017 | 2,94119 | 5,29918 | 2,75852 | 1,59212 | 1,08 |
| 1,09 | 1,91953 | 1,02056 | 2,94008 | 5,28612 | 2,75386 | 1,56576 | 1,09 |
| 1,10 | 1,91802 | 1,02095 | 2,93897 | 5,27294 | 2,74916 | 1,53916 | 1,10 |
| 1,11 | 1,91650 | 1,02135 | 2,93785 | 5,25964 | 2,74440 | 1,51230 | 1,11 |
| 1,12 | 1,91496 | 1,02175 | 2,93671 | 5,24622 | 2,73960 | 1,48520 | 1,12 |
| 1,13 | 1,91341 | 1,02215 | 2,93556 | 5,23268 | 2,73474 | 1,45784 | 1,13 |
| 1,14 | 1,91184 | 1,02256 | 2,93441 | 5,21902 | 2,72983 | 1,43023 | 1,14 |
| 1,15 | 1,91026 | 1,02298 | 2,93324 | 5,20523 | 2,72488 | 1,40238 | 1,15 |
| 1,16 | 1,9086 | 1,0234 | 2,9320 | 5,19124 | 2,71987 | 1,37427 | 1,16 |
| 1,17 | 1,9072 | 1,0238 | 2,9309 | 5,17736 | 2,71481 | 1,34591 | 1,17 |
| 1,18 | 1,9053 | 1,0242 | 2,9295 | 5,16276 | 2,70969 | 1,31730 | 1,18 |
| 1,19 | 1,9038 | 1,0247 | 2,9285 | 5,14900 | 2,70455 | 1,28845 | 1,19 |
| 1,20 | 1,9021 | 1,0251 | 2,9272 | 5,13448 | 2,69934 | 1,25934 | 1,20 |
| 1,21 | 1,9005 | 1,0255 | 2,9261 | 5,12012 | 2,69410 | 1,23000 | 1,21 |
| 1,22 | 1,8989 | 1,0260 | 2,9248 | 5,10540 | 2,68876 | 1,20036 | 1,22 |
| 1,23 | 1,8970 | 1,0264 | 2,9234 | 5,09038 | 2,68340 | 1,17049 | 1,23 |
| 1,24 | 1,8953 | 1,0269 | 2,9222 | 5,07570 | 2,67796 | 1,14037 | 1,24 |
| 1,25 | 1,8938 | 1,0274 | 2,9212 | 5,06126 | 2,67241 | 1,11000 | 1,25 |
| 1,26 | 1,8920 | 1,0279 | 2,9198 | 5,04590 | 2 66699 | 1,07938 | 1,26 |
| 1,27 | 1,8901 | 1,0283 | 2,9184 | 5,03036 | 2,66140 | 1,04850 | 1,27 |
| 1,28 | 1,8884 | 1,0288 | 2,9172 | 5,01520 | 2,65578 | 1,01737 | 1,28 |
| 1,29 | 1,8866 | 1,0293 | 2,9159 | 4,99976 | 2,65008 | 0,98598 | 1,29 |
| 1,30 | 1,8848 | 1,0298 | 2,9146 | 4,98420 | 2,64434 | 0,95435 | 1,30 |
| 1,31 | 1,8830 | 1,0303 | 2,9132 | 4,96836 | 2,63854 | 0,92245 | 1,31 |
| 1,32 | 1,8810 | 1,0307 | 2,9117 | 4,95220 | 2,63271 | 0,89030 | 1,32 |
| 1,33 | 1,8792 | 1,0312 | 2,9103 | 4,93616 | 2,62681 | 0,85790 | 1,33 |
| 1,34 | 1,8774 | 1,0317 | 2,9091 | 4,92040 | 2,62085 | 0,82525 | 1,34 |
| 1,35 | 1,8755 | 1,0322 | 2,9077 | 4,90426 | 2,61482 | 0,79233 | 1,35 |
| 1,36 | 1,8736 | 1,0327 | 2,9063 | 4,88780 | 2,60878 | 0,75917 | 1,36 |
| 1,37 | 1,8717 | 1,0332 | 2,9049 | 4,87136 | 2,60265 | 0,72574 | 1,37 |
| 1,38 | 1,8697 | 1,0338 | 2,9034 | 4,85460 | 2,59646 | 0,69206 | 1,38 |
| 1,39 | 1,8677 | 1,0342 | 2,9019 | 4,83786 | 2,59022 | 0,65813 | 1,39 |
| 1,40 | 1,8658 | 1,0347 | 2,9006 | 4,82114 | 2,58394 | 0,62394 | 1,40 |
| 1,41 | 1,8639 | 1,0353 | 2,8992 | 4,80436 | 2,57760 | 0,58949 | 1,41 |
| 1,42 | 1,8619 | 1,0358 | 2,8977 | 4,78718 | 2,57118 | 0,55478 | 1,42 |
| 1,43 | 1,8599 | 1,0364 | 2,8962 | 4,77006 | 2,56472 | 0,51982 | 1,43 |
| 1,44 | 1,8578 | 1,0369 | 2,8947 | 4,75260 | 2,55820 | 0,48459 | 1,44 |
Продовження таблиці 2.3
