Приклади розрахунків стержнів та рам з пружними опорами

3.3.1 Приклад 1

Скласти рівняння стійкості центрально стиснутого стержня, на одному кінці якого жорстке затиснення, а на другому кінці – пружна лінійно піддатлива опора (рисунок 3.23). Коефіцієнт жорсткості опори дорівнює .

Рисунок 3.23 – Розрахункова схема прикладу 3 у вихідному та деформованому стані та вузол з силами, які діють на нього

У даному випадку одна невідома методу переміщень – лінійне переміщення кінця .

Сили, які діють на вузол показано на рисунку 3.23. Окрім внутрішніх зусиль стержня на вузол діє реакція пружної в'язі , величина якої пропорційна переміщенню вузла і спрямована проти переміщення. Коефіцієнт пропорційності – жорсткість пружини . Складемо рівняння рівноваги вузла . Умова рівноваги вузла має вигляд:

Скориставшись формулою для (основні залежності методу переміщень для стержня з шарніром на кінці)

та врахувавши граничні умови для нашого прикладу () рівняння рівноваги можна представити у вигляді:

Лінійне переміщення , бо відсутність лінійного переміщення вузла () означатиме, що стержень не втратив стійкість. Тоді має виконуватися умова . Ця умова і є рівнянням стійкості. Якщо ввести позначення (це відносна жорсткість пружної в'язі), то рівняння стійкості стержня матиме вигляд: . Для конкретних значень жорсткості опори методом спроб можна знайти корінь рівняння стійкості, а потім критичне значення навантаження та коефіцієнт приведення довжини.

Коефіцієнт жорсткості може змінюватися в межах від 0 до безкінечності .

У випадку, коли , ми отримаємо рівняння стійкості для стержня з одним затиснутим, а другим вільним кінцем: . З таблиці 2.3 знаходимо, що функція , коли . Тобто корінь рівняння стійкості . Коефіцієнт приведення довжини стержня .

У випадку, коли , ми отримаємо рівняння стійкості для стержня з одним затиснутим, а другим шарнірно обпертим кінцем: . З таблиці 2.3 знаходимо, що функція , коли . Тобто корінь рівняння стійкості . Коефіцієнт приведення довжини стержня .

3.3.2 Приклад 2

Скласти рівняння стійкості центрально стиснутого стержня з пружно затиснутими опорами (рисунок 3.24).

Рисунок 3.24 – Розрахункова схема стержня з пружно затисненими опорами

У даному випадку дві невідомі методу переміщень – кути повороту перерізів 1 та 2 (). Щоб знайти ці невідомі, необхідно скласти два рівняння рівноваги, - рівняння моментів для вузлів 1 та 2 (рисунок 3.25).

Рисунок 3.25 – Вузли 1 та 2 з діючими на них силами

Рівняння рівноваги вузлів 1 та 2 в зусиллях мають вигляд:

Реакції пружних в'язів опор 1 та 2 та пропорційні кутам поворотів вузлів 1 та 2 і спрямовані проти поворотів. Коефіцієнти пропорційності – жорсткості пружин та . Реакції опор 1 та 2 (опорні моменти) відповідно дорівнюють: , .

Моменти та визначаються основними залежностями:

;

Підставивши значення опорних моментів та , а також кінцевих моментів та в рівняння рівноваги в зусиллях, отримаємо рівняння рівноваги в переміщеннях:

Скоротивши ці рівняння на та позначивши , систему рівнянь (3.10) можемо представити у такому вигляді:

Система рівнянь (3.11) для визначення невідомих та однорідна, тому ненульове значення невідомих та можливе тільки в тому разі, коли визначник цієї системи дорівнюватиме нулю. Прирівнявши визначник системи рівнянь нулю, отримаємо частотне рівняння для стержня з пружно затисненими кінцями:

Розкриємо визначник і приведемо частотне рівняння (3.12) до такого вигляду:

Отримане частотне рівняння можна застосувати для дослідження стійкості дуже широкого класу задач.

Скориставшись рівнянням (3.13) отримайте рівняння стійкості та коефіцієнти приведення довжин

стиснених стержнів для випадків, коли обидва кінця стержня шарнірно обперті, коли один кінець стержня жорстко защемлений, а другий - шарнірно обпертий.

3.3.3 Приклад 3

Скласти рівняння стійкості рами, розрахункова схема якої зображена на рисунку 3.26.

Рисунок 3.26 – Розрахункова схема рами з пружною при повороті опорою

У даному випадку дві невідомі методу переміщень – кути повороту перерізів 1 та 3 (). Щоб знайти ці невідомі, необхідно скласти два рівняння рівноваги, - рівняння моментів для вузлів 1 та 3 (рисунок 3.27).

Рисунок 3.27 – Вузли 1 та 3 з діючими на них силами

Рівняння рівноваги вузлів 1 та 3 в зусиллях мають вигляд:

Реакція пружної в'язі опори 3 пропорційна куту повороту вузла 3 і спрямована проти повороту. Коефіцієнт пропорційності – жорсткість пружини . Реакція опори 3 (опорний момент) дорівнює .