Пример П1.1
В цепи, схема которой представлена на рис. П1.1, в момент времени t = 0 замыкается ключ. Найдите законы изменения тока iL (t) и напряжения uL (t) для t ³ 0, если до коммутации в цепи был режим постоянного тока.
| 
|
| Рис. П1.1 | Рис. П1.2 |
Решение
Найдем начальные условия задачи. В данном случае это ток через индуктивность при t = 0. Закон коммутации позволяет найти этот ток в момент t = 0–, когда ключ был еще разомкнут, и в цепи имел место режим постоянного тока, при котором напряжение на зажимах индуктивности равно нулю, что эквивалентно короткому замыканию ее зажимов (рис. П1.2):
.
|
| Рис. П1.3 |
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации (рис. П1.3):
Преобразуем составленную систему уравнений методом подстановок в одно дифференциальное уравнение с переменной iL, для которой выполняется закон коммутации.
Для этого выразим все токи через iL и подставим в уравнение, содержащее задающее напряжение источника:
Полученное дифференциальное уравнение удобно привести к виду
,
где коэффициент переменной iL – 2 R / L = 1/t, что позволяет проверить правильность составления этого уравнения, определив постоянную времени цепи t = L / R э по схеме.
Решение неоднородного дифференциального уравнения запишем в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:
iL (t) = iL вын + iL св = iL вын + Aept.
|
| Рис. П1.4 |
Вынужденную составляющую решения iL вын найдем при t ® ¥, когда цепь будет в режиме постоянного тока (рис. П1.4):
Постоянную интегрирования A найдем из закона коммутации по известным начальным условиям задачи:
при t = 0 iL (0–) = iL (0+),
iL (0–) = iL вын + A,
Характеристическое уравнение цепи p + 2 R / L = 0 имеет корень p = –2 R / L, постоянная времени цепи t = –1/ p = L /2 R.
Таким образом, ток через индуктивность после коммутации изменяется по закону
Тогда
.
Аналогичный результат можно получить, используя общую формулу, в которой для рассматриваемого примера
f (0) = iL (0) = U 0/3 R; f (¥) = iL вын = U 0/4 R; t = L / R э = L /2 R,
|
| Рис. П1.5 |
где R э рассчитано относительно зажимов индуктивности при условии, что U 0 = 0 (рис. П1.5):
На рис. П1.6 представлены примерные графики зависимостей тока и напряжения на индуктивности от времени.
Рис. П1.6
Пример П1.2
|
| Рис. П1.7 |
В цепи, схема которой представлена на рис. П1.7, в момент времени t = 0 ключ размыкается. Найдите законы изменения напряжения uC (t) и тока iC (t) для t ³ 0, если до коммутации в цепи был режим постоянного тока.
Решение
Найдем начальные условия задачи, в данном случае – значение uC (0). До коммутации (t < 0), когда ключ был замкнут, и в цепи был режим постоянного тока, ток через емкость был равен нулю, что эквивалентно размыканию ветви с емкостью (рис. П1.8), тогда
|
| Рис. П1.8 |
|
| Рис. П1.9 |
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации (рис. П1.9):
Преобразуем составленную систему уравнений методом подстановок в одно дифференциальное уравнение с переменной uC, для которой выполняется закон коммутации.
Для этого выразим все токи через uC и подставим в уравнение, содержащее ток источника:
Полученное дифференциальное уравнение удобно привести к виду
,
где коэффициент переменной uC – 5/4 RC = 1/t, что позволяет проверить правильность составления этого уравнения, определив постоянную времени цепи t = R э C по схеме.
Решение неоднородного дифференциального уравнения запишем как сумму свободной и вынужденной составляющих:
uC (t) = uC вын + uC св = uC вын + Aept.
|
| Рис. П1.10 |
Вынужденную составляющую решения найдем при t ® ¥, когда в цепи будет режим постоянного тока (рис. П1.10):
Постоянную интегрирования A найдем из закона коммутации по известным начальным условиям задачи:
при t = 0, uC (0–) = uC (0+),
uC (0–) = uC вын + A,
Характеристическое уравнение цепи p + 5/4 RC = 0 имеет корень p = –5/4 RC, постоянная времени цепи t = –1/ p = 4 RC /5 = 0,8 RC.
Таким образом, напряжение на емкости после коммутации изменяется по закону
Тогда
Аналогичный результат можно получить, используя общую формулу, в которой для рассматриваемого примера
f (0) = uC (0) = I 0 R /2; f (¥) = uC вын = I 0 R /5; t = R э C = 4 RC /5,
|
| Рис. П1.11 |
где R э рассчитано относительно зажимов емкости при условии, что I 0 = 0 (рис. П1.11):
На рис. П1.12 представлены примерные графики зависимостей напряжения и тока на емкости от времени.
Рис. П1.12
Пример П1.3
|
| Рис. П1.13 |
Составьте систему линейных дифференциальных уравнений по методу переменных состояния в нормальной форме для цепи на рис. П1.13, используя законы Кирхгофа. Запишите полученную систему уравнений состояния в матричной форме.
Решение
Переменными состояния, определяющими общий запас энергии цепи на рис. П1.13, являются: напряжение на емкости uC, токи в индуктивностях iL 1 и iL 2. Порядок системы линейных дифференциальных уравнений по методу переменных состояния для данной цепи равен числу реактивных элементов, а значит – 3.
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа с учетом выбранных положительных направлений переменных состояния uC, iL 1, iL 2 и обхода контуров на рис. П1.13:
Преобразуем полученную систему уравнений, если известно:
iC = iL 1 – iL 2; iC = СuC / dt; uL 1 = L 1 diL 1/ dt; uL 2 = L 2 diL 2/ dt.
Тогда
Полученную неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать относительно производных от переменных состояния 
в нормальной форме:
Матричная форма записи полученной системы уравнений переменных состояния имеет вид
Приложение 2
