Классический метод анализа переходных колебаний в ЭЦ

Пример П1.1

В цепи, схема которой представлена на рис. П1.1, в момент времени t = 0 замыкается ключ. Найдите законы изменения тока i_L (t) и напряжения u_L (t) для t ³ 0, если до коммутации в цепи был режим постоянного тока.


Рис. П1.1	Рис. П1.2

Решение

Найдем начальные условия задачи. В данном случае это ток через индуктивность при t = 0. Закон коммутации позволяет найти этот ток в момент t = 0_–, когда ключ был еще разомкнут, и в цепи имел место режим постоянного тока, при котором напряжение на зажимах индуктивности равно нулю, что эквивалентно короткому замыканию ее зажимов (рис. П1.2):

Рис. П1.3

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации (рис. П1.3):

Преобразуем составленную систему уравнений методом подстановок в одно дифференциальное уравнение с переменной i_L, для которой выполняется закон коммутации.

Для этого выразим все токи через i_L и подставим в уравнение, содержащее задающее напряжение источника:

Полученное дифференциальное уравнение удобно привести к виду

где коэффициент переменной i_L – 2 R / L = 1/t, что позволяет проверить правильность составления этого уравнения, определив постоянную времени цепи t = L / R _э по схеме.

Решение неоднородного дифференциального уравнения запишем в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:

i_L (t) = i_L _вын + i_L _св = i_L _вын + Ae^pt.

Рис. П1.4

Вынужденную составляющую решения i_L _вын найдем при t ® ¥, когда цепь будет в режиме постоянного тока (рис. П1.4):

Постоянную интегрирования A найдем из закона коммутации по известным начальным условиям задачи:

при t = 0 i_L (0_–) = i_L (0₊),

i_L (0_–) = i_L _вын + A,

Характеристическое уравнение цепи p + 2 R / L = 0 имеет корень p = –2 R / L, постоянная времени цепи t = –1/ p = L /2 R.

Таким образом, ток через индуктивность после коммутации изменяется по закону

Тогда

Аналогичный результат можно получить, используя общую формулу, в которой для рассматриваемого примера

f (0) = i_L (0) = U ₀/3 R; f (¥) = i_L _вын = U ₀/4 R; t = L / R _э = L /2 R,

Рис. П1.5

где R _э рассчитано относительно зажимов индуктивности при условии, что U ₀ = 0 (рис. П1.5):

На рис. П1.6 представлены примерные графики зависимостей тока и напряжения на индуктивности от времени.

Рис. П1.6

Пример П1.2

Рис. П1.7

В цепи, схема которой представлена на рис. П1.7, в момент времени t = 0 ключ размыкается. Найдите законы изменения напряжения u_C (t) и тока i_C (t) для t ³ 0, если до коммутации в цепи был режим постоянного тока.

Решение

Найдем начальные условия задачи, в данном случае – значение u_C (0). До коммутации (t < 0), когда ключ был замкнут, и в цепи был режим постоянного тока, ток через емкость был равен нулю, что эквивалентно размыканию ветви с емкостью (рис. П1.8), тогда

Рис. П1.8

Рис. П1.9

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации (рис. П1.9):

Преобразуем составленную систему уравнений методом подстановок в одно дифференциальное уравнение с переменной u_C, для которой выполняется закон коммутации.

Для этого выразим все токи через u_C и подставим в уравнение, содержащее ток источника:

Полученное дифференциальное уравнение удобно привести к виду

где коэффициент переменной u_C – 5/4 RC = 1/t, что позволяет проверить правильность составления этого уравнения, определив постоянную времени цепи t = R _э C по схеме.

Решение неоднородного дифференциального уравнения запишем как сумму свободной и вынужденной составляющих:

u_C (t) = u_C _вын + u_C _св = u_C _вын + Ae^pt.

Рис. П1.10

Вынужденную составляющую решения найдем при t ® ¥, когда в цепи будет режим постоянного тока (рис. П1.10):

Постоянную интегрирования A найдем из закона коммутации по известным начальным условиям задачи:

при t = 0, u_C (0_–) = u_C (0₊),

u_C (0_–) = u_C _вын + A,

Характеристическое уравнение цепи p + 5/4 RC = 0 имеет корень p = –5/4 RC, постоянная времени цепи t = –1/ p = 4 RC /5 = 0,8 RC.

Таким образом, напряжение на емкости после коммутации изменяется по закону

Тогда

Аналогичный результат можно получить, используя общую формулу, в которой для рассматриваемого примера

f (0) = u_C (0) = I ₀ R /2; f (¥) = u_C _вын = I ₀ R /5; t = R _э C = 4 RC /5,

Рис. П1.11

где R _э рассчитано относительно зажимов емкости при условии, что I ₀ = 0 (рис. П1.11):

На рис. П1.12 представлены примерные графики зависимостей напряжения и тока на емкости от времени.

Рис. П1.12

Пример П1.3

Рис. П1.13

Составьте систему линейных дифференциальных уравнений по методу переменных состояния в нормальной форме для цепи на рис. П1.13, используя законы Кирхгофа. Запишите полученную систему уравнений состояния в матричной форме.

Решение

Переменными состояния, определяющими общий запас энергии цепи на рис. П1.13, являются: напряжение на емкости u_C, токи в индуктивностях i_L ₁ и i_L ₂. Порядок системы линейных дифференциальных уравнений по методу переменных состояния для данной цепи равен числу реактивных элементов, а значит – 3.

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа с учетом выбранных положительных направлений переменных состояния u_C, i_L ₁, i_L ₂ и обхода контуров на рис. П1.13:

Преобразуем полученную систему уравнений, если известно:

i_C = i_L ₁ – i_L ₂; i_C = Сu_C / dt; u_L ₁ = L ₁ di_L ₁/ dt; u_L ₂ = L ₂ di_L ₂/ dt.

Тогда

Полученную неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать относительно производных от переменных состояния в нормальной форме:

Матричная форма записи полученной системы уравнений переменных состояния имеет вид

Приложение 2