Операторные передаточные функции и временные характеристики электрических цепей

Под операторной передаточной функцией H (p) понимают отношение L -изображения реакции цепи к L -изображению воздействия, подведенного к цепи, при нулевых начальных условиях задачи. Воздействием на цепь может быть задающее напряжение или задающий ток источника, реакцией – любой ток или напряжение в цепи.

В соответствии с этим возможны следующие виды передаточных функций:

Операторная передаточная функция представляет собой дробную рациональную функцию с вещественными коэффициентами

,

степень числителя которой обычно не превышает степени знаменателя, т. е. m £ n.

L -изображение переходной характеристики, связано с операторной передаточной функцией зависимостью

h (t) £ .

L -изображением импульсной характеристики цепи является операторная передаточная функция, т. е.

g (t) £ H (p).

Комплексная передаточная функция может быть получена из операторной заменой p = j w. При этом модуль комплексной передаточной функции | H (j w)| представляет собой амплитудно-частотную характеристику цепи, а аргумент q(w) – ее фазочастотную характеристику

H (j w) = | H (j w| e^{j q(w)}.

3.1. Связь операторной передаточной функции
пассивной цепи 1-го порядка
с ее временными характеристиками
[1, c. 243–246, 260–261, 266–267; 2, c. 196–204]

Рис. 3.1

3.1.0. Найдите операторную передаточную функцию цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, и соответствующие переходную h (t) и импульсную g (t) характеристики, если L = 4 мГн, R ₁ = R ₂ = 1 кОм. Постройте примерный график переходной характеристики h (t).

В задачах 3.1.1–3.1.25 найдите операторную передаточную функцию H (p), вид которой определяется указанными в схеме цепи реакцией u ₂(t) либо i ₂(t) и воздействием u ₀(t) либо i ₀(t). Найдите для полученной H (p) соответствующие переходную h (t) и импульсную g (t) характеристики цепи. Постройте примерный график переходной характеристики h (t).

Таблица 3.1

Вариант	Схема цепи	Вариант	Схема цепи
3.1.1	C = 0,2 мкФ; R 1 = R 2 = 4 кОм	3.1.2	L = 0,3 мГн; R 1 = R 2 = R 3 = 1 кОм
3.1.3	C = 0,05 мкФ; R 1 = R 2 = 1 кОм	3.1.4	L = 4 мГн; R 1 = R 2 = 2 кОм

Продолжение табл. 3.1

Вариант	Схема цепи	Вариант	Схема цепи
3.1.5	C = 0,1 мкФ; R 1 = R 2 = 5 кОм; R 3 = 10 кОм	3.1.6	L = 2 мГн; R 1 = R 3 = 2 кОм; R 2 = 4 кОм
3.1.7	C = 0,02 мкФ; R 1 = R 2 = 5 кОм	3.1.8	L = 2 мГн; R 1 = R 2 = 4 кОм
3.1.9	C = 2 нФ; R 1 = R 2 = 10 кОм; R 3 = 20 кОм	3.1.10	L = 1,5 мГн; R 1 = R 2 = R 3 = 1 кОм
3.1.11	C = 0,05 мкФ; R 1 = R 3 = 2 кОм; R 2 = 1 кОм	3.1.12	L = 2 мГн; R 1 = R 2 = 1 кОм; R 3 = 2 кОм

 

 

Продолжение табл. 3.1

Вариант	Схема цепи	Вариант	Схема цепи
3.1.13	C = 0,25 мкФ; R 1 = R 3 = 1 кОм; R 2 = 0,5 кОм	3.1.14	L = 8 мГн; R 1 = R 2 = 1 кОм
3.1.15	C = 2000 пФ; R 1 = R 2 = 2 кОм	3.1.16	L = 6 мГн; R 1 = R 2 = R 3 = 2 кОм
3.1.17	C = 1000 пФ; R 1 = R 2 = 10 кОм	3.1.18	L = 10 мГн; R 1 = R 2 = 5 кОм; R 3 = 2,5 кОм
3.1.19	C = 0,125 мкФ; R 1 = R 3 = 2 кОм; R 2 = 4 кОм	3.1.20	L = 4 мГн; R 1 = R 2 = 500 Ом; R 3 = 1 кОм

 

Окончание табл. 3.1

Вариант	Схема цепи	Вариант	Схема цепи
3.1.21	C = 0,125 мкФ; R 1 = R 2 = 4 кОм	3.1.22	L = 6 мГн; R 1 = R 2 = 3 кОм
3.1.23	C = 2000 пФ; R 1 = R 2 = 2 кОм	3.1.24	L = 8 мГн; R 1 = R 2 = 4 кОм
3.1.25	C = 2500 пФ; R 1 = R 3 = 4 кОм; R 2 = 2 кОм

3.2. Анализ нестационарных колебаний
в цепи с использованием переходной характеристики
[1, c. 267–273; 2, c. 204–206]

Рис. 3.2

В задачах 3.2.0–3.2.25 найдите реакцию цепи, заданной в задачах 3.1.0–3.1.25, на видеоимпульс напряжения или тока прямоугольной формы. В зависимости от вида воздействия в цепи выберите соответствующий вид импульса: для источника напряжения – рис. 3.2, а, для источника тока – рис. 3.2, б. Постройте примерный график реакции, полагая t _и = 2t.

3.3. Связь между временными и частотными характеристиками
активной RC -цепи 2-го порядка
[1, c. 234–236, 245–248, 302–305; 2, c. 229–232]

3.1.0. Найдите операторную передаточную функцию ARC- цепи, схема которой приведена на рис. 3.3, и соответствующую ей переходную характеристику h (t), если

Рис. 3.3

R = 100 кОм, C ₁ = 1,75 нФ, C ₂ = 1 нФ. Найдите комплексную передаточную функцию H (j w) и соответствующие АЧХ и ФЧХ цепи. Постройте примерные графики h (t) и АЧХ цепи и оцените связь между ними. Убедитесь в устойчивости цепи по критерию Найквиста.

В задачах 3.3.1–3.3.25

1. Найдите операторную передаточную функцию ARC- цепи 2-го порядка.

1.1. Нарисуйте операторную схему замещения цепи, заменив условное изображение операционного усилителя (ОУ) его схемой замещения в виде ИНУН из табл. 3.2. Коэффициент усиления может быть либо сколь угодно большим (m ® ¥), либо конечным положительным или отрицательным числом K.

1.2. Составьте для операторной схемы замещения систему узловых уравнений для L -изображений колебаний и, решив ее, найдите H (p).

2. Найдите по операторной передаточной функции H (p) переходную характеристику h (t), комплексную передаточную функцию H (j w) и соответствующие амплитудно-частотную ½ H (j w)½ и фазочастотную Q(w) характеристики цепи.

3. Постройте примерные графики h (t) и АЧХ цепи и оцените связь между ними, проверив выполнение соотношений между граничными значениями переходной характеристики цепи (при t = 0 и t ® ¥) и ее АЧХ (при w = 0 и w ® ¥):

.

Таблица 3.2

Наименование элемента	Схемное изображение по ГОСТ	Схемное изображение в стандартных программах для ПК	Схемы замещения
Дифференциальный операционный усилитель
Инверсный операционный усилитель
Усилитель с конечным усилением
Усилитель с конечным усилением
Усилитель-повторитель напряжения

4. Постройте на ПК графики h (t) и АЧХ с использованием программ MathCad либо FASTMEAN:

для получения графиков с помощью программы MathCad возьмите функции h (t) и H (p) либо H (j w) c цифровыми коэффициентами;

при использовании FASTMEAN:

4.1. Изобразите на экране дисплея схему заданной цепи, заземлите базисный узел (как показано на схеме) и определите нумерацию узлов, заданную программой.

4.2. Подключите ко входу цепи источник гармонических колебаний, постройте и зарисуйте АЧХ и ФЧХ в линейном масштабе, определите по графику и запишите граничные значения АЧХ:

.

Источник гармонических колебаний отключите.

4.3. Смодулируйте и подключите ко входу цепи источник напряжения в виде единичного ступенчатого воздействия 1(t), постройте и зарисуйте переходную характеристику h (t), определите по графику и запишите величину периода свободных колебаний T _св и граничные значения h (t):

.

При построении графиков АЧХ и h (t) выберите начальные и конечные значения переменных w и t такими, чтобы на экране были видны особенности характеристик.

5. Убедитесь в устойчивости ARC -цепи по критерию Найквиста.

5.1. Нарисуйте схему цепи при закороченных входных зажимах (U ₁ = 0) и разрыве цепи на входе ОУ и ее операторную схему замещения.

5.2. Найдите операторную передаточную функцию B (p) цепи с разомкнутой петлей ОС (петлевое усиление), составив систему узловых уравнений.

5.3. Запишите комплексное выражение B (j w) = B (p)| _{p = j w} и рассчитайте значение частоты w₀, при которой Jm B (j w₀) = 0, величину Re B (j w₀) и сделайте вывод об устойчивости ARC -цепи.

5.4. Постройте на ПК годограф петлевого усиления B (j w) на комплексной плоскости при изменении частоты 0 £ w £ ¥:

• при использовании программы MathCad возьмите функцию B (p) либо B (j w) с цифровыми коэффициентами;

• при использовании программы FASTMEAN нарисуйте схему с разомкнутой петлей ОС, подключите генератор гармонических колебаний к входному зажиму ОУ и постройте годограф.

6. Для вариантов, цепи которых построены на усилителях с конечным усилением K, рассчитайте значение коэффициента усиления K, при котором цепь будет находиться строго на границе устойчивости, и частоту собственных колебаний при этом.

Таблица 3.3

Вариант	Схема ARC -цепи	Параметры
3.3.1		R = 100 кОм С = 2 нФ K = 3,4
3.3.2		R = 100 кОм С = 1, нФ K = 1,1
3.3.3		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 4,3

 

Продолжение табл. 3.3

Вариант	Схема ARC -цепи	Параметры
3.3.4		R = 100 кОм С 1 = 1 нф C 2 = 10 нФ m ® ¥
3.3.5		R 1 = 5 кОм R 2 = 100 кОм С = 1 нФ m ® ¥
3.3.6		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 34
3.3.7		R = 100 кОм С = 2,4 нФ K = 3,2
3.3.8		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 2,33

 

Продолжение табл. 3.3

Вариант	Схема ARC -цепи	Параметры
3.3.9		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 61
3.3.10		R = 100 кОм С = 1,4 нФ K = 1,2
3.3.11		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 3,1
3.3.12		R 1 = 25 кОм R 2 = 100 кОм С = 1 нФ m ® ¥
3.3.13		R = 100 кОм С = 1,4 нФ K = 2,5

Продолжение табл. 3.3

Вариант	Схема ARC -цепи	Параметры
3.3.14		R 1 = 100 кОм R 2 = 10 кОм С = 1 нФ m ® ¥
3.3.15		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 3
3.3.16		R = 100 кОм С = 2,8 нФ K = 30
3.3.17		R = 100 кОм С = 0,5 нФ K = 34
3.3.18		R = 100 кОм С 1 = 4,5 нФ С 2 = 1 нФ m ® ¥

Продолжение табл. 3.3

Вариант	Схема ARC -цепи	Параметры
3.3.19		R = 100 кОм С 1 = 10 нФ С 2 = 0,5 нФ m ® ¥
3.3.20		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 3,3
3.3.21		R 1 = 10 кОм R 2 = 100 кОм С = 1 нФ m ® ¥
3.3.22		R = 100 кОм С 1 = 3,7 нФ С 2 = 0,5 нФ m ® ¥
3.3.23		R 1 = 100 кОм R 2 = 10 кОм С = 1 нФ m ® ¥

Окончание табл. 3.3

Вариант	Схема ARC -цепи	Параметры
3.3.24		R = 100 кОм С = 1 нФ K = 19
3.3.25		R = 100 кОм С 1 = 0,5 нФ С 2 = 10 нФ m ® ¥

3.4. Операторные передаточные функции
пассивных цепей 3-го порядка
[1, c. 243–246; 2, c. 196–199]

Рис. 3.4

3.4.0. Найдите операторную передаточную функцию цепи, схема которой представлена на рис. 3.4. Представьте ее в виде

и рассчитайте коэффициенты функции H (p), если L = 1 мГн, C ₁ = 0,02 мкФ, С ₂ = 0,01 мкФ, R = 5 Ом.

В задачах 3.4.1–3.4.25 найдите операторную передаточную функцию H (p), вид которой определяется указанными в схеме цепи реакцией u ₂(t) либо i ₂(t) и воздействием u ₁(t) либо i ₁(t). Рассчитайте коэффициенты функции H (p) по заданным параметрам.

Проверьте правильность полученного выражения, используя блок символьного анализа в программе FASTMEAN.

Постройте амплитудно-частотную | H (j w)|, фазочастотную Q(w) и переходную h (t) характеристики цепи на ПК, используя одну из программ: MathCad либо FASTMEAN.

Для получения характеристик при помощи программы MathCad возьмите функцию H (p) либо H (j w) с цифровыми коэффициентами.

Для получения характеристик при помощи программы FASTMEAN выполните рекомендации п. 4 задачи 3.3.

По графикам АЧХ и h (t) оцените связь между ними, проверив выполнение соотношений между их граничными значениями.

Таблица 3.4

Вариант	Схема RLC -цепи	Вариант	Схема RLC -цепи
3.4.1	L 1 = L 2 = 1 мкГн; C = 10 нФ; R = 10 Ом	3.4.2	L 1 = L 2 = 1 мкГн; C = 10 нФ; R = 10 Ом
3.4.3	C 1 = С 2 = 10 нФ; L = 10 мкГн; R = 10 Ом	3.4.4	C 1 = С 2 = 20 нФ; L = 2 мкГн; R = 10 Ом
3.4.5	C 1 = С 2 = 0,125 мкФ; L = 4 мкГн; R = 5 Ом	3.4.6	L 1 = L 2 = 1 мкГн; C = 0,5 мкФ; R = 4 Ом
3.4.7	L 1 = L 2 = 0,4 мкГн; C = 0,2 мкФ; R = 1 Ом	3.4.8	C 1 = С 2 = 66,6 нФ; L = 15 мкГн; R = 12,5 Ом

Продолжение табл. 3.4

Вариант	Схема RLC -цепи	Вариант	Схема RLC -цепи
3.4.9	L 1 = L 2 = 0,2 мкГн; C = 0,1 мкФ; R = 0,5 Ом	3.4.10	L 1 = L 2 = 5 мкГн; C = 0,2 мкФ; R = 4 Ом
3.4.11	L 1 = L 2 = 2 мкГн; C = 1 мкФ; R = 1 Ом	3.4.12	L 1 = L 2 = 8 мкГн; C = 0,5 мкФ; R = 2 Ом
3.4.13	L 1 = L 2 = 0,5 мкГн; C = 5 нФ; R = 5 Ом	3.4.14	C 1 = С 2 = 50 нФ; L = 20 мкГн; R = 10 Ом
3.4.15	C 1 = С 2 = 10 нФ; L = 10 мкГн; R = 10 Ом	3.4.16	C 1 = С 2 = 0,25 мкФ; L = 2 мкГн; R = 5 Ом
3.4.17	L 1 = L 2 = 2 мкГн; C = 0,25 мкФ; R = 5 Ом	3.4.18	C 1 = С 2 = 0,5 мкФ; L = 4 мкГн; R = 10 Ом

 

 

Окончание табл. 3.4

Вариант	Схема RLC -цепи	Вариант	Схема RLC -цепи
3.4.19	C 1 = С 2 = 50 нФ; L = 20 мкГн; R = 20 Ом	3.4.20	L 1 = L 2 = 0,2 мкГн; C = 0,1 мкФ; R = 0,5 Ом
3.4.21	L 1 = L 2 = 8 мкГн; C = 0,25 мкФ; R = 2 Ом	3.4.22	C 1 = С 2 = 0,25 мкФ; L = 2 мкГн; R = 1 Ом
3.4.23	L 1 = L 2 = 10 мкГн; C = 10 нФ; R = 8 Ом	3.4.24	C 1 = С 2 = 10 нФ; L = 1 мкГн; R = 10 Ом
3.4.25	L 1 = L 2 = 2 мкГн; C = 10 нФ; R = 5 Ом

Контрольные вопросы

1. Что называют операторной передаточной функцией цепи?

2. Какие цепи называют устойчивыми? Каковы основные свойства их передаточных функций?

3. Какова связь между операторной и комплексной передаточными функциями?

4. Что называется АЧХ и ФЧХ цепи? Как они связаны с комплексной передаточной функцией?

5. Что называют единичным импульсным воздействием?

6. Что называется импульсной характеристикой цепи?

7. В свободном или вынужденном режиме протекает переходный процесс в цепи при воздействии на нее единичного импульса?

8. Выполняются ли в цепи законы коммутации при импульсном воздействии?

9. Что называют единичной ступенчатой функцией?

10. Что называется переходной характеристикой цепи?

11. Какими соотношениями связана операторная передаточная функция с временными характеристиками цепи?

12. Какими соотношениями связаны временные характеристики между собой?

13. Какими соотношениями связаны граничные значения временных и частотных характеристик?

14. Какие цепи называют цепями с обратной связью?

15. Что называют петлевым усилением?

16. Что понимают под критерием устойчивости Найквиста?

17. Как убедиться в устойчивости цепи по критерию Найквиста?