Розглянемо наступну загальну задачу. Маємо випадкову величину Х, закон розподілу якої має невідомий параметр а. Потрібно на основі даних вибірки знайти добру оцінку параметру а

Нехай а^* - статистична оцінка невідомого параметру а теоретичного розподілу (генеральної сукупності). Припустимо, що по вибірці об’єму n знайдена оцінка .

Повторимо експеримент, тобто візьмемо знову вибірку об’єму n з генеральної сукупності і по ній знайдемо оцінку і т.д. Таким чином оцінку а^* можна розглядати як випадкову величину, що має закон розподілу, який залежить, по-перше, від закону розподілу випадкової величини Х, по-друге, від числа експериментів n, а числа - як її можливі значення.

Припустимо, що оцінка а^* дає наближене значення а з надлишком; тоді кожне знайдене за даними вибірок число більше істинного значення а. Зрозуміло, що в цьому випадку і математичне сподівання (середнє значення) випадкової величини а^* більше, ніж а, тобто M[a^*]>a. Теж саме, очевидно, якщо а^* дає оцінку з недостачею, то M[a^*]<a.

Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне сподівання якої не рівне оцінюючому параметру, привело б до систематичних (одного знаку) похибок. Тому потрібно вимагати, щоб математичне сподівання оцінки було рівне шуканому параметру. Хоча дотримання цієї вимоги не усуне похибку, проте похибки різних знаків будуть взаємно компенсуватись. Тобто дотримання умови M[a^*]=a гарантує відсутність систематичних похибок.

Незміщеною називають статистичну оцінку а^*, математичне сподівання якої дорівнює параметру, що оцінюється при будь-якому об’ємі вибірки, тобто

M[a^*]=a. (1)

Зміщеною будемо називати статистичну оцінку, для якої порушується умова (1), тобто .

Проте помилково було б вважати, що незміщена оцінка завжди дає добрі наближення оціненого параметру. Справа в тому, що можливі значення а^* можуть бути сильно розсіяні навколо свого середнього значення. Наприклад, може виявитися дуже віддалено від середнього значення , а значить, і від самого параметру а; прийнявши за наближене значення а, ми допустилися б грубої похибки. Отже, необхідно вимагати, щоб дисперсія а^* була малою. По цій причині до статистичної оцінки ставиться вимога ефективності.

Ефективною називається статистична оцінка, яка при заданому обсязі вибірки n має найменшу дисперсію.

При вибірці великого обсягу (n велике) до статистичних оцінок ставляться вимоги змістовності.

Змістовною (спроможною) називають статистичну оцінку, яка при прямує за ймовірністю до параметру, що оцінюється:

. (2)

Для виконання вимоги (2) досить, щоб дисперсія оцінки прямувала до нуля, коли , тобто, щоб виконувалась умова

, (3)

і, крім того, щоб оцінка була незміщеною. Від формули (2) легко перейти до виразу (3), якщо скористатись нерівністю Чебишева.

Прикладом змістовної оцінки можуть слугувати закони великих чисел, наприклад, теорема Бернуллі. Очевидно, такій умові повинна задовольняти всяка оцінка, придатна для практичного використання.

Як уже згадувалось, для генеральної сукупності, заданої розподілом (для простоти обмежимось випадком дискретної випадкової величини):

xi	x1	x2	…	xk
Ni	N1	N2	…	Nk

середня генеральна розраховується за формулою

.

Аналогічна формула справедлива і для вибірки

.

Але зауважимо, що вибіркова середня, знайдена за даними вибірки є певним (випадковим) числом. При інших вибірках з тієї ж генеральної сукупності, середня вибіркова, взагалі кажучи, змінює свої значення, тобто характеристику можна розглядати як випадкову величину і тому говорити про її розподіл (теоретичний чи емпіричний), а також про числові характеристики цього розподілу, зокрема, про числа та .

Крім того, в теоретичних міркуваннях значення вибірки x₁,x₂,…x_k випадкової величини Х, одержані в результаті незалежних випробувань, розглядаються як випадкові величини X₁,X₂,…X_k, що мають ті ж числові характеристики і той же розподіл, що й Х. Звідси, як для однаково розподілених випадкових величин .

З іншої сторони, як для однаково розподілених випадкових величин

.

Тобто ,а це свідчить, що вибіркова середня є незміщеною оцінкою генеральної середньої.

Якщо допустити, що вибіркові величини Х₁,...Х_k мають обмежені дисперсії, то за теоремою Чебишева для однаково розподілених випадкових величин

для довільного , а це вказує на те, що оцінка для є також і змістовною. Отже, при збільшенні об’єму вибірки n вибіркова середня прямує до . В цьому і полягає властивість стійкості вибіркових середніх.

Дисперсії розраховуються за формулами:

.

Перетворимо вирази до вигляду:

, (1)

, (2)

де .

Перший доданок рівності (1) збігається за ймовірністю до , а другий до , тобто вся права частина до правої частини рівності (2), значить, статистична дисперсія D_r є змістовною оцінкою дисперсії D_В.

Якщо ж в ролі оцінки генеральної дисперсії взяти вибіркову дисперсію, то ця оцінка буде приводити до системних похибок (одного знаку, бо ), даючи занижене значення генеральної дисперсії. Отже, вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії, тобто математичне сподівання вибіркової дисперсії не рівне генеральній дисперсії, а рівне:

. (3)

Легко “виправити” вибіркову дисперсію так, щоб її математичне сподівання було рівне генеральній дисперсії. Для цього досить помножити D_В на , тим самим отримавши виправлену дисперсію, яку звичайно позначають через S²:

. (4)

Виправлена дисперсія є незміщеною оцінкою генеральної дисперсії. Дійсно,

.

Зауважимо, що і “виправлене” середнє квадратичне відхилення:

. (5)

є незміщеною оцінкою. Крім того, при великих об’ємах вибіркова і виправлена дисперсії відрізняються мало. На практиці користуються виправленою дисперсію приблизно при n<30. У цьому випадку значення множника , що стоїть перед D_В є більшим за число .

Приклад. З булочок, що їх випікає хлібозавод, зроблено вибірку. Зважування булочок, що попали у вибірку, дало такі результати (в грамах):

100,3 101,2 99,6 102,4 100,3 100,4

102,7 98,6 101,2 98,3 99,5 101,2

100,7 99,8 100,7 100,6 99,2 99,7

100,4 101,1 100,1 100,7 99,3 98,9

100,2 98,8 98,9 98,2 97,6

99,2 98,3 99,7 101,3 98,7

99,7 101,6 103,2 99,4 101,5

Знайти:

Рішення. Результати вибірки та їх обчислення зводимо в таблицю:

№ п/п	Інтервал xi-1<X<xi		ni
1	97-97,5	97,25	1	194,5	37830,25	194,5	37830,25
2	97,5-98,0	97,75	1	195,5	38220,25	195,5	38220,25
3	98,0-98,5	98,25	3	196,5	38612,25	589,5	38612,25
4	98,5-99,0	98,75	4	197,5	39006,25	790	156025
5	99,0-99,5	99,25	5	198,5	39402,25	992,5	197011,25
6	99,5-100,0	99,75	6	199,5	39800,25	1197	238801,5
7	100,0-100,5	100,25	7	200,5	40200,25	1403,5	281401,75
8	100,5-101,0	100,75	4	201,5	40602,25	806	162409
9	101,0-101,5	101,25	4	202,5	41006,25	810	164025
10	101,5-102,0	101,75	2	203,5	41412,25	402	82824,5
11	102,0-102,5	102,25	1	204,5	41820,25	204,5	211820,75
12	102,5-103,0	102,75	1	205,4	42230,25	205,5	42290,25
13	103,0-103,5	103,25	1	206,5	42642,25	200,5	42642,25
	n=0,5	100,25	40			8002	40026949

 

;

.

Для знаходження М_о будемо користуватись формулою:

, (6)

де x_r – ліва межа модального інтервалу, n_r –частота модального інтервалу; n_r-1, n_r+1 – частоти відповідного попереднього і наступного інтервалів; h - ширина модального інтервалу. В нашому прикладі: x_r=100,0, n_r=7, n_r-1=6, n_r+1=4, h=0,5. А тому

.

Для знаходження Ме припускаємо рівномірний розподіл ознаки в медіанному інтервалі, тому

. (7)

Маємо: x_r=99,5; n_r=6, n_r+1=14, h=0,5;

.

 

§2. Інтервальні статистичні оцінки параметрів

 

Статистичні оцінки діляться на точкові та інтервальні. Точковою називається оцінка, яка визначається одним числом. Такими були оцінки з §І. При вибірці малого обсягу точкові оцінки можуть значно відхилятись від параметру, тобто приводять до грубих похибок. Тому більш точними є інтервальні оцінки.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Нехай знайдена по даних вибірки статистична характеристика а^* служить оцінкою невідомого параметру а. Будемо вважати а постійною величиною (може бути і випадковою). Зрозуміло, що а^* тим точніше визначає параметр а, чим менша абсолютна величина різниці . Іншими словами, якщо і , то чим менше , тим точніша оцінка. Таким чином, додатне число характеризує точність оцінки.

В зв’язку з тим, що вибіркові параметри (середні, дисперсія і т.д.) є випадковими величинами, то і їх відхилення від генеральних параметрів (похибки) також будуть випадковими величинами. Таким чином, задачу про оцінку цих відхилень носить ймовірнісний характер і полягає в оцінці ймовірності , наприклад:

чи і т.д. Ймовірність (як правило ) називається надійністю, а інтервали і т.д. називаються надійними інтервалами, або довірчими інтервалами. В загальному випадку надійністю оцінки а по а^* називається ймовірність , з якою здійснюється нерівність , а інтервал , який з заданою надійністю накриває невідомий параметр а і називається довірчим інтервалом.

 

1. Довірчі інтервали для оцінки математичного

сподівання при відомому

Припускаючи, що випадкова величина Х розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення цього розподілу відоме. Потрібно оцінити невідоме математичне сподівання по вибірковій середній x_В, тобто поставимо задачу знаходження довірчого інтервалу, що накриває параметр m з надійністю .

Так як величина є сума n незалежних однаково розподілених випадкових величин Х_і, то згідно центральної граничної теореми її закон розподілу близький до нормального. Параметри розподілу такі:

.

Вимагаємо, щоб виконувалась рівність:

,

де - задана надійність.

Як відомо , а замінивши Х на і на , отримаємо:

, (1)

де .

Знайшовши з останньої рівності , можна записати

.

Зауважимо, що ймовірність Р (надійність) задана, і рівна , тому маємо

.

Смисл одержаного співвідношення такий: з надійністю можна стверджувати, що довірчий інтервал накриває невідомий параметр m; точність оцінки .

Поставлена задача розв’язана, причому зауважимо, що число t визначається з рівності , або і по таблиці (2) функції Лапласа (див. додаток) знаходять аргумент t, якому відповідає значення функції Лапласа, рівне .

З класичної оцінки випливає, що коли об’єм вибірки n зростає, то точність оцінки збільшується, а із збільшенням надійності збільшується t (Ф(t) – зростаюча функція), тобто зменшується точність.

Приклад 1. Статистичні дослідження рівня доходу на працюючого в день дали такі результати:

 

Дохід в грн. хі
Число трудящих ni

 

З надійністю при значенні побудувати інтервал довір’я для математичного сподівання.

Рішення. Допустимо, що рівень доходу розподілений за нормальним законом. Тоді побудова інтервалу довір’я здійснюється за формулою

де

,

9,676<m<11,244

 

2. Довірчі інтервали для математичного сподівання

при невідомому

Нехай тепер випадкова величина Х генеральної сукупності розподілена нормально, але середнє квадратичне відхилення невідоме. Потрібно оцінити невідоме математичне сподівання з допомогою довірчих інтервалів, тобто задача пункту 1), але тепер невідоме.

Перш ніж розв’язувати цю задачу, введемо деякі поняття. Незалежні умови, що накладаються на n_i (чи W_i), називаються в’язами. Наприклад, - тобто вимога того, щоб співпадали теоретичні та вибіркові значення середнього арифметичного та дисперсії і т.д. Різниця між числом інтервалів та числом в’язей називається числом ступенів вільності k=n-r, де r – число в’язей.

Отже, користуючись розподілом Стьюдента, можна знайти довірчий інтервал:

, (2)

що накриває параметр m з надійністю . Тут та S шукається по вибірці, а по таблиці 3 (див. додаток) по заданих n можна знайти .

Приклад 2. вибіркове обслідування прибутків за місяць підприємців дало результати, дані яких записані у вигляді розподілу:

 

Прибуток (тис.грн.) хі	11	33	44	55	66	77
Частота ni	11	11	22	33	22	11

 

Побудувати інтервал довір’я для математичного сподівання m, допустивши, що генеральна сукупність Х розподілена нормально з надійністю .

Рішення.

Обчислимо

.

За надійністю і числом ступенів вільності k=10-1=9 за таблицею 3 знаходимо . Тоді згідно формули (2):

.

 

§3. Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення

 

Нехай випадкова величина Х генеральної сукупності розподілена нормально. Потрібно оцінити невідомий параметр – генеральне середнє квадратичне відхилення за “виправленим” вибірковим середнім відхиленням S_В. Поставимо перед собою задачу знаходження довірчого інтервалу, що накриває параметр , з заданою надійністю .

Вимагаємо виконання рівності , або .

Для того, щоб можна було користуватись таблицею 4 (див. додаток), перетворимо нерівність

в рівносильну нерівність .

Поклавши , отримаємо

. (1)

Залишається знайти q. Практично для знаходження q користуються таблицею додатку 4. Для цього по вибірці обчислюємо S і по таблиці q, а згідно (1) знаходимо довірчий інтервал, що накриває з заданою надійністю .

Приклад 1. (приклад 2 з §2) n=10, .

Рішення. З таблиці 4 знайдемо по , .

Зауваження. Якщо q>1, то .