§1. Схема Бернуллі
Нехай проводиться серія випробувань, в результаті якої може відбутись подія А з певною ймовірністю. Якщо ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називаються незалежними відносно події А.
Поставимо задачу.
Знайти ймовірність того, що в результаті проведення n незалежних випробувань подія А відбудеться рівно m раз, якщо в кожному із цих випробувань дана подія відбувається з постійною ймовірністю 
.
Шукану ймовірність позначають 
. Наприклад, 
означає ймовірність того, що при 8-ми випробуваннях подія А відбудеться 4 рази.
Такі випробування називають послідовними незалежними випробовуваннями Бернуллі. Прикладами можуть бути послідовні підкидання монети (подія А – випадання герба, 
), послідовні підкидання грального кубика (подія А – випадання 5 очок, 
).
Дану задачу можна розв’язати з допомогою теорем додавання і множення ймовірностей, але це призводить до дуже громіздких обчислень.
Тому виникає необхідність застосування простіших методів розрахунку. Одним з таких методів є формула Бернуллі.
Нехай в однакових умовах проводиться n випробувань, результатом кожного з них подія А може відбутися з ймовірністю , або ж 
з ймовірністю 
. Позначимо через 
появу події А в і-му випробуванні. Тоді:
,
Нас цікавить ймовірність того, що подія А при n випробуваннях відбудеться m раз, а в решті n-m випробуваннях відбудеться подія (подія А не відбудеться).
Так як подія А в n випробуваннях може появитись m раз в різних послідовностях або комбінаціях, то число таких комбінацій є 
.
Наприклад, така сполука (позначимо її подіїю В) є:
коли подія А відбулася m раз підряд, починаючи з першого випробування.
Знайдемо її ймовірність:
Так як всі комбінації події, аналогічні комбінації В, є подіями
несумісними і нам байдуже, в якій саме послідовності з’явиться подія А та , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей для несумісних подій, отримаємо:
. (1)
Формула (1) носить назву формули Бернуллі і має важливе значення в теорії ймовірності, бо вона зв’язана з повторенням випробувань в однакових умовах, тобто з такими умовами, в яких якраз і проявляються закони теорії ймовірності.
Набір чисел 
називається біномним розподілом, а саму формулу (1) називають біномною, оскільки її права частина є загальним членом розкладу бінома Ньютона 
. Зауважимо, що події 
є попарно несумісні, тому
тобто
Приклад 1. Податкова адміністрація виявила, що 40% декларацій про доходи осіб – платників податку – містить принаймі одну похибку. Яка ймовірність того, що з 10 наугад відібраних декларацій, 4 буде з похибкою?
Рішення. Ймовірність, що декларація має похибку 
а 
. Тоді:
