Розв’язання. Запишемо рівняння Ван-дер-Ваальса у вигляді
Розкладаючи в ряд за степенями 
(з урахуванням: 
отримаємо
Порівнюючи з віріальною формою термічного рівняння стану (0.15), знаходимо другий:
і третій:
віріальні коефіцієнти газу Ван-дер-Ваальса.
Задача 5. Визначити рівняння політропи ідеального газу в координатах 
вважаючи 
Розв’язання. Скористаємося диференціальним рівнянням політропи (2.11). В нашому випадку 
Для ідеального газу з рівняння Менделєєва-Клапейрона знаходимо
Підставляючи цей вираз в (2.11) і розділяючи змінні, отримуємо
або
де 
- так званий показник політропи.
У результаті інтегрування маємо рівняння політропного процесу в координатах (V; T):
або, насамкінець
Для переходу до координат 
підставимо в попередній результат значення 
з рівняння Менделєєва-Клапейрона. Отримаємо:
Через те, що 
- константи, остаточно знаходимо рівняння політропи в змінних (V; P):
Відзначимо, що, зокрема, для адіабати 
і остання рівність переходить в так зване рівняння Пуассона: 
Задача 6. Яку долю кількості теплоти, що передається ідеальному газу, становить здійснювана ним робота W в процесі політропного розширення.
Розв’язання. Нехай у результаті політропного розширення ідеальний газ змінює свій об’єм від значення 
до 
. При цьому кількість теплоти 
, що була ним отримана, відповідно до першого начала дорівнюватиме
де 
– зміна внутрішньої енергії газу, 
– початкова температура, 
– кінцева температура. Шуканою величиною в умові є відношення 
Для політропного процесу (див. попередню задачу) можна записати 
де 
- константа. Отже, роботу 
знаходимо у вигляді
.
З рівняння Менделєєва-Клапейрона знаходимо початкову і кінцеву температури ідеального газу: 
; або з урахуванням рівняння політропи: 
Маючи це на увазі, зміну внутрішньої енергії 
можна записати:
У результаті, підставляючи 
і 
в шукане відношення 
, отримуємо
Для 
моль (див. задачу 3 розділу 2) маємо 
, що остаточно дає
де, нагадуємо, 
.
Задача 7. Визначити, виразивши через 
, теплоємність ідеального газу в процесі 
Розв’язання. Звернемо увагу, що цей процес є політропним з показником політропи 
Розв’язуючи рівняння
відносно 
, знаходимо:
Задача 8. Отримати рівняння адіабати для ідеального парамагнетика, термічне рівняння стану якого виражається законом Кюрі: 
а 
; тут 
– напруженість магнітного поля, 
- намагніченість, 
- константи.
Розв’язання. Як відомо з електродинаміки, елементарна робота 
(віднесена до одиниці об'єму) по збільшенню ізотропною парамагнітною системою своєї намагніченості на величину 
визначається (у гаусовій системі одиниць) формулою
Звідси бачимо, що функцію зовнішнього параметра несе тут величина 
, а функцію відповідної узагальненої сили – напруженість магнітного поля. Знак “-“ у цій формулі означає, що збільшення намагніченості відбувається за рахунок здійснення роботи над системою.
Скористаємось рівністю (2.7), яка при 
перетворюється на диференціальне рівняння адіабати. Отже, в нашому випадку рівняння (2.7) набирає вигляду
Для ідеального парамагнетика 
; крім того на підставі (2.8) і з умови задачі маємо
, 
З урахуванням цих рівностей вихідне диференціальне рівняння адіабати отримуємо у вигляді
Розділяючи змінні і інтегруючі, знаходимо шукане рівняння адіабати ідеального парамагнетика в координатах 
:
Використовуючи термічне рівняння стану 
, можна переписати одержане рівняння у координатах 
або 
.
Ми розглянули ідеальний парамагнетик. Для нього правомірне дослідження асимптотики 
. Як видно з результату, в цьому випадку адіабатному процесу притаманний ефект насичення намагніченості. Елементарний математичний аналіз показує, що при 
, починаючи з деякого значення температури рівняння адіабати не визначає параметрів 
і . Це свідчить про те, що вихідні припущення, покладені в умові задачі, справедливі лише для досить високих температур.
Задача 9. Знайти рівняння процесу з ідеальним газом, теплоємність якого є лінійною функцією абсолютної температури: 
Розв’язання. З умови маємо
З урахуванням формул (2.7) і (2.8) диференціальне рівняння цього процесу можна записати у вигляді
Оскільки для ідеального газу 
це рівняння набирає вигляду
Розділяючи змінні, отримуємо
звідки після інтегрування остаточно знаходимо рівняння процесу в змінних 
Задача 10. Яку кількість теплоти потрібно додати одному молю газу Ван - дер-Ваальса, щоб при розширенні в порожнечу від об’єму до його температура залишалася незмінною? Вважати 
Розв’язання. При розширенні газу в порожнечу робота не здійснюється. Отже, для вказаного процесу з першого начала термодинаміки можна записати 
Відповідно до формули (0.30) внутрішня енергія одного моля газу Ван-дер-Ваальса має вираз
Тоді зміну 
отримаємо у вигляді (з урахуванням 
)
Оскільки в умові 
, остаточно знаходимо шукану кількість теплоти:
