Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести формулу (1.4)

Задача 1. Довести формулу (1.4).

Розв’язання. За визначенням (1.1) знаходимо

Запишемо цю формулу, розклавши детермінант за елементами першого стовпця:

…

 

Через незалежність змінних маємо:

.

Отже, в правій частині розкладення зберігається лише перший доданок, тобто

що й потрібно було довести.

 

Задача 2. Нехай кожна із змінних є диференційованою функцією двох інших, що розглядаються як незалежні. Довести:

а) ,

б)

Розв’язання. а)Виразимо залежність між у симетричній формі:

.

Повний диференціал функції задовольнятиме рівнянню:

.

Покладемо ; тоді і з останньої рівності знайдемо

Аналогічно, вважаючи послідовно і , одержимо

і .

Перемножуючи останні три рівності, після скорочень в правій частині отримаємо шуканий результат:

б) Розглянемо отриману в попередньому завданні рівність

Через симетрію між та переставлення цих змінних дає самостійний результат:

з чого й випливає рівність

 

Задача 3. Показати, що умова існування інтегруючого множника для форми

Має вигляд

Розв’язання. Припустимо, що інтегруючий множник існує. Тоді з необхідністю маємо:

; ; .

Диференціюючи ці співвідношення, запишемо шість можливих змішаних похідних:

З урахуванням прирівнюючи відповідні праві частини отриманих рівностей, можна записати:

Домножуючи першу з цих рівностей на , другу на , третю на і додаючи, отримуємо після скорочень шуканий результат. Якщо розглядати як компоненти векторного поля в декартових координатах цей результат можна зобразити у вигляді

 

Задача 4. Довести теорему Ейлера про однорідні функції (формула (1.15)).

Розв’язання. Диференціюючи рівність (1.14) за , отримаємо:

або

Вважаючи , знаходимо

що й потрібно було довести.

 

Задачі для самостійного розв’язування

1.1. Перевірити, що якобіан перетворення

дорівнює нулю. Знайти функцію що відповідає рівнянню (1.9).

 

1.2. Використовуючи правило диференціювання складної функції, перевірити властивість (1.6) для випадку .

 

1.3. Перевірити тотожність (Якобі)

,

де

 

1.4. Отримати результати а) та б) задачі 2, використовуючи властивості якобіанів.

 

1.5. Показати, що коли форма

є повним диференціалом, то виконується рівність

 

1.6. Проінтегрувати диференціальні форми

і

за відрізками прямих ліній послідовно між точками:

а) ; б)

Результат пояснити.

 

1.7. Знайти в загальному вигляді інтегруючий множник для форми

Визначити для випадку: ; .

 

1.8. За допомогою перетворення Лежандра перейти у повному диференціалі

від незалежних змінних , , до незалежних змінних , , .

 

1.9. Показати, що функція

,

де являє собою однорідну функцію степеня –1 відносно змінних

 

1.10. Знайти криву, на яку лягають вершини сім’ї парабол

Розділ 2