Случайная величина, распределенная по нормальному закону

Определение. Случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

,

где и – параметры нормального распределения: параметр является математическим ожиданием случайной величины, а параметр – ее средним квадратическим отклонением. График этой функции представлен на рисунке 5.

Рис.5

Нормальное распределение называют также Гауссовским. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения вероятностей. О значении этого закона говорит следующая теорема, которая носит название центральной предельной теоремы:

Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

На всех рисунках площадь заштрихованной фигуры равна вероятности попадания значений рассматриваемой случайной величины на указанный отрезок .

 

Задачи

77. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить ряд распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

78. Охотник дважды стреляет по цели. Вероятность попадания стрелка при одном выстреле равна 0, 7. Составить ряд распределения числа попаданий стрелка в цель и построить многоугольник полученного распределения.

79. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8, а второго – 0,7. Составьте ряд распределения числа попаданий в цель.

80. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

Х
Р	0,3		0,5

 

81. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

Х
Р	0,4	0,3

 

82. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин из задач 76 – 78.

 

. 83. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

 

Х
Р	0,2	0,3	0,2	0,3

 

Найдите функцию распределения и постройте ее график.

84. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

 

 

Найдите плотность распределения и постройте ее график.

85. Случайная величина равномерно распределена на отрезке

[-2,3]. Запишите выражение для функции распределения этой случайной величины.

86. Время горения красного сигнала светофора 20 сек. Автомобиль остановился на перекрестке на красный свет. Найдите вероятность того, что он уедет с перекрестка позднее, чем через 15 секунд.

87. Рейсовый автобус движется по маршруту строго по расписанию с интервалом 10 мин. Найдите вероятность того, что случайно подошедший к остановке пассажир будет ожидать автобуса менее 2 минут.

88. Рейсовый автобус движется по маршруту строго по расписанию с интервалом 12 мин. Найдите вероятность того, что случайно подошедший к остановке пассажир будет ожидать автобуса менее 3 минут. Найдите также математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания автобуса.