Статично невизначувані системи

Розрахунок рами методом сил

Побудуємо епюри М, Q і N для рами, зображеної на рис. 11.1. Для цієї рами , тобто рама два рази статично невизначувана.

Як приклад за основну систему візьмемо ламаний брус, закріплений правим кінцем. Будуємо одиничні й вантажні епюри згинальних моментів для основної системи (рис. 11.1). Напишемо канонічні рівняння методу сил:

Розрахуємо переміщення:

;

;

 

;

 

 

Рис. 11.1

При обчисленні переміщень були використані інтеграл Мора і правило Верещагіна.

Підставивши знайдені значення переміщень у канонічні рівняння і скоротивши на спільний множник , отримаємо:

, .

Розв’язавши цю систему рівнянь, знайдемо:

Переходимо до визначення згинальних моментів. У цьому випадку

.

Отже,

;

;

.

Розглянемо ригель АВ рами (рис. 11.2).

Для визначення згинального моменту між опорами А і В скористаємося формулою

(11.1)

В даному випадку ця формула має вигляд

Рис. 11.2

;

, звідки ;

.

Розглянемо стояк ВС (рис. 11.3). За формулою (11.1) знаходимо згинальний момент у перерізі під силою Р. Маємо:

Рис. 11.3

.

За одержаними даними будуємо епюру (рис. 11.1).

Для визначення поперечних сил використаємо формулу

Для ригеля АВ маємо:

Звідси при х = 0

при х = а .

Для стояка ВС (рис. 11.3) маємо:

За отриманими даними будуємо епюру Q (рис. 11.1).

Рис. 11.4

Для визначення поздовжніх сил скористаємося способом вирізання вузлів (рис. 11.4). Склавши рівняння рівноваги всіх сил, прикладених до вузла В, отримаємо:

 

; ,

звідки

.

За одержаними даними будуємо епюру N (рис. 11.1).

Виконаємо статичну перевірку отриманих результатів. Перевіримо рівновагу всієї системи. Для цього відкинемо всі опори і замінимо їхній вплив на систему реакціями цих опор (рис. 11.5). Складемо рівняння рівноваги:

; ;

.

Рис. 11.5

Таким чином, умови рівноваги задовольняються.

Виконаємо деформаційну перевірку, для чого перемножимо кожну з одиничних епюр і на остаточну епюру М. На основі рівняня

маємо:

;

Отже, деформаційна перевірка також задовольняється. Під час обчислення переміщень і було застосовано правило Верещагіна, а також таблицю інтегралів Мора (табл. Дод. 5).

Методичнi рекомендації

Приступаючи до вивчення розрахунку статично невизначуваних систем, у першу чергу слід визначити, які пружні системи називаються статично визначуваними, а які статично невизначуваними, навчитися визначати ступінь статичної невизначуваності системи і вибрати найбільш раціональні основні системи при використанні методу сил. Слід мати на увазі, що основну систему можна отримати різними способами. Для розкриття статичної невизначуваності заданої системи використовуються канонічні рівняння методу сил. Необхідно усвідомити фізичний зміст канонічних рівнянь, розібратися, в якій послідовності треба виконувати розрахунок рами методом сил. При цьому потрібно звернути увагу на побудову остаточних епюр згинального моменту M, поперечної Q і нормальної N сил. Для перевірки вірності остаточних епюр M, Q і N використовують дві перевірки: статичну і деформаційну.

Запитання для самоперевiрки

1. Які системи називаються статично невизначуваними?

2. Що називається ступенем статичної невизначуваності системи?

3. Яка система називається геометрично незмінною?

4. Чому дорівнює ступінь статичної невизначуваності замкнутого контура?

5. Що являє собою основна система?

6. Напишіть систему канонічних рівнянь.

7. Що означають величини ?

8. Що виражає кожне з канонічних рівнянь?

9. Які переміщення називаються головними і побічними і які властивості їм характерні?

10. В якій послідовності виконують розрахунок статично невизначуваних систем?

11. Перемноженням яких епюр визначають коефіцієнти і вантажні члени системи канонічних рівнянь?

12. Як визначають значення невідомих ?

13. За допомогою яких засобів можна побудувати остаточну (сумарну) епюру згинальних моментів?